专题01二次根式（期中复习专项训练）2025-2026学年八年级数学下学期（人教版）

专题01二次根式（期中复习专项训练） 题型导览 题型1 二次根式及其性质 题型2 利用二次根式的性质化简 题型3 二次根式的乘法 题型4 二次根式的除法 题型5 二次根式的乘除混合运算 题型6 最简二次根式 题型7 能合并的二次根式 题型8 二次根式的加减混合运算 题型9 二次根式的混合运算 题型10 化简求值 题型11 比较二次根式的大小 题型12 二次根式的应用 题型汇总 题型1 二次根式及其性质 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果． 【详解】解：∵ 选项A中被开方数，∴不是二次根式； ∵ 选项B中的符号不确定，当时被开方数为负数，∴ 不一定是二次根式； ∵ ，∴ ，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴ 选项C是二次根式； ∵ 选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．被开方数，无意义，不是二次根式； B．根指数为2，且被开方数，满足二次根式定义，是二次根式； C．式子的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； D．的符号不确定，当时，无意义，不一定是二次根式． 3．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）使代数式有意义的的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定被开方数需大于0，列出不等式求解即可得到的取值范围. 【详解】解：由题意，，解得 . 4．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解． 【详解】代数式有意义， ，， 且， 则实数x的取值范围是且． 5．（25-26八年级上·广西桂林·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，直接将代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 7．（21-22八年级下·河南濮阳·期中）已知是正整数，则满足条件的最小整数n为_____． 【答案】5 【分析】先根据二次根式的性质化简，再结合是正整数的条件，判断出为完全平方数，结合二次根式有意义的条件即可求出满足条件的最小整数． 【详解】解：∵，且是正整数， ∴是正整数，即是完全平方数， 又二次根式有意义时被开方数非负，可得，即， 是正整数，故， 满足条件的最小整数为， 题型2 利用二次根式的性质化简 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简等式得到的符号，最后根据象限坐标特征判断点的位置． 【详解】解：∵二次根式有意义，且为非零实数 ∴ 化简等式左边： ∵， ∴左边 由题意得 ∵，， ∴ 两边同时除以得 ，即 ∵为非零实数， ∴ ∵，，点横坐标为负，纵坐标为正，因此点在第二象限． 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____． 【答案】 【分析】根据数轴上的点右边的数总是大于左边的数，根据数轴即可确定a，b的符号，以及绝对值的大小，即可进行化简． 【详解】解：根据数轴可知：， 所以，， 所以， ． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴ ． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各个等式的规律： ；；；… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)_______，_______； (2)猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题干找出规律即可； （2）对等号左边被开方数进行通分计算，再根据完全平方公式以及二次根式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：由；；； 可得；； （2）解：猜想的第个等式：， 证明： ． 12．（25-26八年级下·福建·期中）计算：（1）______；（2）______ 【答案】 3 2 【分析】利用二次根式的运算性质直接计算即可． 【详解】解：（1）根据二次根式的性质：当时，，得． （2）根据二次根式的性质：，得． 13．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间的距离公式确定的值，再代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可； （2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于、的方程，解方程求出、，继而得到的值，再根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点表示，且一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数，，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值的意义，二次根式的性质，平方根的定义，掌握平方根的定义和二次根式的性质是解题关键． 题型3 二次根式的乘法 14．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，推导得出原式的取值区间． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴估计的值在和0之间． 15．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的计算及二次根式的乘法，需根据算术平方根的非负性和立方根的性质及二次根式的乘法法则逐一判断各选项． 【详解】A：∵表示49的算术平方根，∴，故A错误． B：∵，故B错误． C：∵，故C错误． D：，故D正确． 故选：D 16．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算______ 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．根据二次根式的乘法法则计算，再化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 17．（25-26八年级下·广西南宁·期中）长方形的长为，宽为，则长方形的面积为___________． 【答案】12 【分析】本题根据长方形的面积公式列出算式，运用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：长方形的面积为（）． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某小区有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小长方形喷泉（阴影部分），其余空地种植花草，小长方形喷泉的长为，宽为．求种植花草的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 用长方形空地的面积减去小长方形喷泉的面积即可． 【详解】解：种植花草的面积 ． 19．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)24 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得，即可解答； （2）根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得； （2）解：； （3）解：长方形的长为，宽为， ， 答：这个长方形的面积为16． 题型4 二次根式的除法 20．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法是解题的关键；利用二次根式的除法性质，将除法转化为根号内的除法进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 21．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：A． 22．（25-26八年级上·全国·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握是解题关键． 根据二次根式的除法运算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·河北唐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 24．（23-24八年级下·河南·月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ∴． 题型5 二次根式的乘除混合运算 25．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】矩形的长为 ，面积为 ， 矩形的宽为 ， ，，， ， 正方形的最大边长为矩形的宽 ， 正方形的最大面积为 ， 故选：C． 26．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 27．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 28．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键． 根据二次根式的运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ． 29．（25-26八年级上·湖南常德·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题主要考查分式的化简求值和二次根式的运算，根据分式运算的法则和二次根式运算的法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，得 原式 ． 30．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 31．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 【答案】(1)；2． (2)①；②每秒个单位长度． 【分析】本题考查轴上的几何问题，重点在于理解正方形和等腰直角三角形的性质，以及如何在数轴上表示和计算点的位置和距离．同时，需要运用速度和时间的关系来求解甲虫的爬行距离和速度． （1）根据正方形面积计算出边长，即是点到原点的距离，且点在原点右侧，注意符号；是等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理可以求出长度． （2）①甲虫爬行的距离可以根据图像将甲虫走过的线段长度求和； ②根据相遇位置，求出甲虫所走过的距离，从而得到两只甲虫相遇的时间，再根据甲虫走过的距离，求出甲虫的爬行速度． 【详解】（1）解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， 点表示的数为． 为等腰直角三角形， ． 故答案为：，2． （2）解：①根据题意，甲虫爬行的距离； ②甲虫，相遇时，甲虫爬行距离为， 则甲虫爬行时间为秒， 甲虫爬行距离为， 爬行速度为， 甲虫的爬行速度为每秒个单位长度． 题型6 最简二次根式 32．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意， B．是最简二次根式，符合题意， C．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意， D．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意． 33．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 34．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有______个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 35．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 36．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 37．（23-24八年级下·广东江门·月考）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是2． 故答案为：2 题型7 能合并的二次根式 38．（22-23八年级下·山西朔州·期中）下列根式中，化简后能与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简，分母有理数化的运算即可求解． 【详解】解：选项，，故选项不符合题意； 选项，，故选项不符合题意； 选项，，故选项不符合题意； 选项，，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的知识，掌握二次根式的性质化简，分母有理数的运算是解题的关键． 39．（24-25八年级下·山东临沂·月考）若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把化简成最简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可． 【详解】解：化简：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得： 40．（22-23八年级下·河北保定·期中）已知是最简二次根式． （1）当时，在数，，中，能与合并的是_________； （2）当时，计算的值为_________． 【答案】 【分析】（1）先化简各个二次根式，再判断是否为同类二次根式，即可求解； （2）先运用二次根式的乘法公式化简即可得解； 【详解】（1）当时，， 而， 故能与合并的是； （2）， 故值为： 【点睛】本题主要考查二次根式的化简计算，熟练掌握二次根式的乘法法则及二次根式的性质是解题的关键． 41．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 【答案】(1) (2)① ；②1 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）①只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；②利用二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得； （2）①， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ②由①可得：． 42．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 43．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 【答案】(1)； (2)；3 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；利用二次根式的除法法则求解即可． 【详解】（1）解：∵式子有意义， ∴， 解得； （2）解：， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ∵， ∴． 题型8 二次根式的加减混合运算 44．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，结合平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A计算正确，不符合要求； B． ，即选项B计算正确，不符合要求； C．，即选项C计算正确，不符合要求； D．，即选项D计算错误，符合要求． 45．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，则______． 【答案】12 【分析】先化简二次根式，从而求出的结果，进而得到和b的值，最后计算的结果． 【详解】解：， ， 又∵， ∴，， ． 46．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查零指数幂，绝对值二次根式的加减，立方根，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算零指数幂，绝对值，再进行二次根式的加减即可； （2）先计算立方根，二次根式运算，绝对值，再进行二次根式的加减即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 48．（25-26八年级上·贵州·期中）细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用题目中的等式反映的规律写出，然后分母有理化； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 49．（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质及二次根式加减运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化的计算步骤是解决问题的关键． （1）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程直接求解即可得到答案； （2）由题中二次根式进行分母有理化的计算过程先逐项分母有理化，再消去中间项，最后由二次根式性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型9 二次根式的混合运算 50．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列计算过程正确个数（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的运算等知识点，能正确根据二次根式的性质和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 根据二次根式的运算法则和性质逐个判断式子正误，统计正确个数即可． 【详解】解：① ，，，①正确． ② ，，，②错误． ③ 原式有意义，可得且，即，或，；当，时，不成立，③错误． ④ ，，④错误． 综上，正确的式子共1个． 故选：A． 51．（25-26八年级下·广西南宁·期中）读取表格信息，解决问题．满足的可以取得的最小整数是_________． 【答案】6 【分析】先分别求出，，，再根据规律可得，然后代入不等式整理得出，最后根据乘方的运算得出答案即可． 【详解】解：； ； ； ． ∵， ∴， ∴， 即， 则， ∵， ∴n可以取得最小正整数是6． 52．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 53．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：，，求： (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果； （2）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 54．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据正方形的面积公式求出阴影正方形的边长，进而求出阴影长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴ ； （2）解：由题意可得阴影正方形的边长为， ∴阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的面积为． 55．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【方法应用】 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， ． 题型10 化简求值 56．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 57．（24-25八年级下·广东阳江·期中）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将代数式通过完全平方公式化简为，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 58．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，则______． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，， ∴． 59．（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则_______；_______． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为：；15． 60．（20-21八年级下·湖北黄石·期中）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 61．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 62．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 63．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 题型11 比较二次根式的大小 64．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 65．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 66．（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 67．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 68．（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算； （2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小； （3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 69．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：___________； (2)①的有理化因式是___________， ②请利用的有理化因式化简：； (3)比较大小：___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) (2)①；② (3)> 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）①利用有理化因式的定义求解即可； ②根据二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：． ②． 故答案为：． （3）解：∵ ， ， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． 题型12 二次根式的应用 70．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定公式分别表示出和，再计算的比值即可得到结果． 【详解】解：由题意得 ，， ． 71．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题直接利用题目给出的海伦公式计算三角形面积，先求出半周长，再代入公式化简即可得到结果。 【详解】解：∵三边长分别为 ， ∴半周长 代入海伦公式计算得： ． 72．（25-26八年级上·全国·期中）若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，将长和宽相乘，利用二次根式的乘法法则计算． 【详解】解：长方形的面积公式为， 所以． 计算过程： ， ， 因此． 故答案为：． 73．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 74．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． (1)求长方形广场的周长； (2)除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形广场的周长为 (2)购买地砖需要花费元 【分析】（1）根据长方形周长公式求出广场周长； （2）用广场面积减去绿地面积得到铺地砖区域的面积，然后乘以地砖单价算出总花费． 【详解】（1）解：根据题意，得． 故长方形广场的周长为． （2）解：根据题意，铺地砖区域的面积为， 故购买地砖的花费为（元）． 75．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，勾股定理求得，利用海伦公式求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴周长的一半为 ∴ ∴四边形的面积为 76．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图1是一个由个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为． (1)若，则这个魔方的棱长为_______； (2)在（1）的条件下，图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)如图2，在（2）的条件下，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，边再次回到数轴上时，那么点在数轴上表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)阴影部分的面积，边长为 (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，二次根式的性质化简，实数与数轴，熟知立方根和算术平方根的求解方法是解题的关键． （1）正方体的体积等于棱长的立方，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出魔方的棱长，进而求出每个小立方体的边长，再利用割补法求出对应的面积即可； （3）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到的长，进而得到滚动前点D表示的数，再求出滚动一周的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为； 当时，， 即这个魔方的棱长为 故答案为：． （2）∵这个魔方的棱长为 ∴每个小立方体的边长为， ∴； 边长为 （3）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴， ∴点D表示的数为， ∵，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，滚动的距离为， ∴边再次回到数轴上时，点在数轴上表示的数是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式（期中复习专项训练） 题型导览 题型1 二次根式及其性质 题型2 利用二次根式的性质化简 题型3 二次根式的乘法 题型4 二次根式的除法 题型5 二次根式的乘除混合运算 题型6 最简二次根式 题型7 能合并的二次根式 题型8 二次根式的加减混合运算 题型9 二次根式的混合运算 题型10 化简求值 题型11 比较二次根式的大小 题型12 二次根式的应用 题型汇总 题型1 二次根式及其性质 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）使代数式有意义的的取值范围是_______． 4．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．（25-26八年级上·广西桂林·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 7．（21-22八年级下·河南濮阳·期中）已知是正整数，则满足条件的最小整数n为_____． 题型2 利用二次根式的性质化简 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如果非零实数a，b满足，那么点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各个等式的规律： ；；；… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)_______，_______； (2)猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 12．（25-26八年级下·福建·期中）计算：（1）______；（2）______ 13．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 题型3 二次根式的乘法 14．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 15．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）计算______ 17．（25-26八年级下·广西南宁·期中）长方形的长为，宽为，则长方形的面积为___________． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某小区有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小长方形喷泉（阴影部分），其余空地种植花草，小长方形喷泉的长为，宽为．求种植花草的面积． 19．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 题型4 二次根式的除法 20．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D． 21．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·全国·期中）计算：__________． 23．（24-25八年级下·河北唐山·期中）计算：． 24．（23-24八年级下·河南·月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 题型5 二次根式的乘除混合运算 25．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 27．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 28．（25-26八年级上·上海虹口·期中）计算：． 29．（25-26八年级上·湖南常德·期中）先化简，再求值：，其中． 30．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 31．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 题型6 最简二次根式 32．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 33．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有______个． 35．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 36．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是______． 37．（23-24八年级下·广东江门·月考）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是______． 题型7 能合并的二次根式 38．（22-23八年级下·山西朔州·期中）下列根式中，化简后能与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·山东临沂·月考）若与最简二次根式可以合并，则的值为_________． 40．（22-23八年级下·河北保定·期中）已知是最简二次根式． （1）当时，在数，，中，能与合并的是_________； （2）当时，计算的值为_________． 41．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的x的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求x的值；②求与的乘积． 42．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 43．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 题型8 二次根式的加减混合运算 44．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，则______． 46．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）计算： (1)； (2)． 47．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2) 48．（25-26八年级上·贵州·期中）细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______=______=______； (2)利用以上规律计算：… 49．（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程： ； ； ． (1)请根据题目，化简； (2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 题型9 二次根式的混合运算 50．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列计算过程正确个数（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．（25-26八年级下·广西南宁·期中）读取表格信息，解决问题．满足的可以取得的最小整数是_________． 52．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)． (2)． 53．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：，，求： (1)； (2) 54．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 55．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【方法应用】 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 题型10 化简求值 56．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 57．（24-25八年级下·广东阳江·期中）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．7 C．9 D． 58．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，则______． 59．（25-26八年级上·四川成都·期中）设，，则_______；_______． 60．（20-21八年级下·湖北黄石·期中）已知，求下列各式的值 (1) (2) 61．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 62．（25-26八年级上·北京延庆·期末）已知：，求代数式的值． 63．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 题型11 比较二次根式的大小 64．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 65．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 66．（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 67．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 68．（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 69．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：___________； (2)①的有理化因式是___________， ②请利用的有理化因式化简：； (3)比较大小：___________．（填“>”“<”或“=”） 题型12 二次根式的应用 70．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 71．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 72．（25-26八年级上·全国·期中）若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为__________． 73．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为__________． 74．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）在长方形广场的中间修建两块形状大小相同的长方形绿地，每块长方形绿地的长为，宽为，已知，． (1)求长方形广场的周长； (2)除去修建绿地的地方，其他地方需要铺满造价为元的地砖，则购买地砖需要花费多少元？ 75．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 76．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图1是一个由个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为． (1)若，则这个魔方的棱长为_______； (2)在（1）的条件下，图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)如图2，在（2）的条件下，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，将正方形沿着数轴顺时针滚动一周，边再次回到数轴上时，那么点在数轴上表示的数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $