23 强化课 平面向量数量积的应用 课后达标 检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）
2026-02-07
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学人教A版必修第二册 |
| 年级 | 高一 |
| 章节 | 6.4 平面向量的应用 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 2.19 MB |
| 发布时间 | 2026-02-07 |
| 更新时间 | 2026-03-20 |
| 作者 | 高智传媒科技中心 |
| 品牌系列 | 学霸笔记·高中同步精讲 |
| 审核时间 | 2026-02-07 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/56375763.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学课件聚焦平面向量的运算与应用，涵盖模长、数量积、投影向量及坐标运算等核心知识点。通过从基础向量概念到几何图形（如直角梯形、正方形）和实际情境（如八卦图、自行车结构）的题目设计，构建从单一运算到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。
其亮点在于以现实情境（如八卦图、自行车结构）和几何问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过坐标法与几何法的结合，发展数学思维，如第5题利用正八边形性质转化向量数量积，第13题通过三角函数求最值。多样化题型和详细解析助力学生提升向量应用能力，也为教师提供丰富的教学素材和情境化例题。
内容正文：
第六章
强化课
课后达标 检测
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一、选择题
1.（2024·浙江杭州期中）已知向量，，且与 的夹角
，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 选C.根据题意，向量 ，
则 ，
则有 ，
所以 .
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2.（2023·全国甲卷）已知向量，，则 ,
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.因为，，所以 ，
，,，所以 ，
.故选B.
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3.已知向量，，若在上的投影向量为 ，则
( )
B
A. B. C. D.
【解析】 选B.因为，，所以在 上的投影向量为
，所以 .因为
，所以 .
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4.在直角梯形中，，，，，是
的中点，则 ( )
C
A.32 B.48 C.80 D.64
【解析】 选C.因为 ，过点C作
于点（图略），所以 ，
.
同理可得 ，
所以 .
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5.（2024·山东淄博期中）《易经》是阐述天地世间关
于万象变化的古老经典.如图所示的是由《易经》中记载
的八卦图抽象出的几何图形.图中正八边形代表八卦，中
间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表
八卦田.已知正八边形的边长为，点 是
B
A. B. C. D.4
正八边形边上的一点，则 的最小值是( )
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【解析】 选B.如图，过点作直线的垂线 ，垂足
为， ,
， .
当点在线段上时，， 取得最小值，
不妨取点在点上，此时，，则 ，则
，，故 的最小值为
.故选B.
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6.在直角梯形中，，，且， .若线段
上存在唯一的点满足，则线段 长度的取值范围是
( )
B
A. B. C. D.
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【解析】 选B.如图所示，以A为坐标原点，和 的方
向分别为轴和 轴的正方向建立平面直角坐标系.
则，，设的长为，则 ，
则， ，
所以 ，
解得或，由题意知点存在于线段 上且唯一，
可知线段长度的取值范围是 ，故选B.
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7.已知向量与的夹角为 ，，， ，
，在时取得最小值.当时，夹角 的取值
范围为( )
C
A.， B.， C.， D.，
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【解析】 选C.由题意可得 ，
，所以，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，又 ,所以
.故选C.
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8.（多选）如图，正方形的边长为2，动点 在正方形内部及边上运
动， ，则下列结论正确的是( )
AC
A.点在线段上时， 为定值
B.点在线段上时， 为定值
C. 的最大值为2
D.使的点轨迹的长度为
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【解析】 选 .
以点A为坐标原点，，所在直线分别为轴、 轴建立
如图所示的平面直角坐标系，设点
，则 ，
，，，当点在线段 上时，
，，故A正确；当点在线段上时， 不
是定值，不为定值，故B错误；由 得，
，则， ，所以
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，故当时，即当点与点C重合时， 取得
最大值2，故C正确；由得，，直线交 轴于
点，交轴于点，，所以使的点轨迹为线段 ，且
，故D错误.
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9.（多选）（2024·福建福州月考）已知向量，，
是与 同向的单位向量，则下列结论正确的是( )
BD
A.与 共线
B.单位向量，
C.向量在向量上的投影向量为
D.若，，则
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【解析】 选.对于A，因为，所以不存在实数 ，使得
，则与 不共线，A错误；
对于B，， ，B正确；
对于C，在 上的投影向量为
, ，C错误；
对于D，因为，所以，D正确.故选 .
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10.（多选）设，均为单位向量，对任意的实数 有
恒成立，则( )
BD
A.与的夹角为 B.
C.的最小值为 D.的最小值为
【解析】 选.对于A，设，的夹角为 ， ，
两边平方可得 ，即
对任意 恒成立，故可得
，即，则 ，
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即，又，故 ，故A错误；对于B，
，故B正确；对于C，
，
当且仅当 时取等号，故C错误；对于D，
，令
，当且仅当时，取得最小值，故
的最小值为，故D正确.故选 .
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二、填空题
11.已知向量,满足，,令，的夹角为 ，
则 _ ____.
解析：因为 ，
，
所以， ，
所以， ，
，
所以 .
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12.在中，，，若为中点，则 _____.
解析：由题意得 ，
所以 ，
故 ，
又 ，
两式相减得 ，
所以，所以 .
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13.如图是某自行车的平面结构示意图，圆 （前轮）、圆
（后轮）的半径均为，，以 为坐标原点，建
立如图所示的平面直角坐标系，设
为后轮上的一点，则在骑行的过程中，
当取得最小值时，点 到地面的距离为____.
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解析：由题图中坐标系可得，， ，
，所以
，，所以，当，即 时， 取得最小值为
，此时点的坐标为，故此时点到地面的距离为圆 的
半径，为 .
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14.已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，， ，
，且的最小值为，则实数 ____，向量
的取值范围是__________________.
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解析：设与的夹角为 ，则 ，
，当 时，上式有最小值为
，因为的最小值为，所以 的最小值为3，
所以，解得.又，所以 ，
，此时.因为与的夹角为 ，且 ，
，，所以不妨设 ，
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，，，所以 ，所以向量
的取值范围是 .
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三、解答题
15.已知点，， .
（1）若最小，求实数 的值；
解：由已知得 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以当时， 取最小值.
所以实数 的值为3.
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（2）若与夹角的余弦值为，求实数 的值.
解：， ，
化简得 ，
解得或 .
经检验，和均满足，所以实数 的值为4或
.
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16.在平面直角坐标系中，已知点，， .
（1）求 的值；
解：由题意可知， ，
所以 ，
所以 .
（2）若点是直线上的动点，求 的最小值.
解：如图所示，易知直线的方程为 ，不妨设
，则 ，当且仅当
时取等号，即时，取得最小值 .
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17.如图，圆是边长为4的正方形的内切圆，为圆周上一点，过
作，的垂线，垂足分别为，.设， .
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（1）求 的取值范围；
解：如图，以为原点，平行于的直线为 轴，平行于
的直线为 轴建立平面直角坐标系.
设点，由题可知 ，
，
，， ，
则， ，
， ，
则， ，
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所以
.
令， ，
则， ，
所以当时，有最小值为，当
时， 有最大值0，
所以的取值范围是 .
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（2）求 的最小值.
解： ，
令 ，
原式
，
当且仅当，即 时等号成立.
所以的最小值为 .
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