6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 第六章　平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 3.能用坐标表示平面向量共线的条件. 重点：向量加、减运算与数乘运算的坐标表示. 难点：对向量的坐标表示的理解. 学习目标 知识梳理 3.平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 前提条件 其中 结论 当且仅当 时，向量，共线 4.平面向量共线的坐标表示 一、平面向量的坐标表示 常考题型 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝，＝.四边形OABC为平行四边形. （1）求向量的坐标； （2）求向量的坐标； （3）求点B的坐标. 【解】（1）如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝，AM＝OA·sin 45°＝4×＝. ∴ A（，），故a＝（，）. ∵ ∠AOC＝180°-105°＝75°，∠AOy＝45°，∴ ∠COy＝30°. 又∵ OC＝AB＝3，∴，∴＝＝， 即b＝. （2）＝-＝. （3）＝+＝（，）+＝， ∴ 点B的坐标为. ◆求点和向量坐标的常用方法 1.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的相应向量的坐标. 2.在求一个向量的坐标时，可以首先求出表示这个向量的有向线段的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 训练题 1. 已知向量＝（5，12），将绕原点O按逆时针方向旋转90°得到，则＝ （　　） A.（-5，13） B.（-5，12） C.（-12，13） D.（-12，5） 2.如图所示，若向量是一组单位正交向量，则向量2在平面直角坐标系中的坐标为 （　　） A.（3，4） B.（2，4） C.（3，4）或（4，3） D.（4，2）或（2，4） D A 二、平面向量的坐标运算及其应用 1.平面向量的坐标运算 例2 已知向量的坐标分别是（-1，2），（3，-5），求的坐标. 【解】　＝（-1，2）+（3，-5）＝（2，-3）， ＝（-1，2）-（3，-5）＝（-4，7）， 3＝3（-1，2）＝（-3，6）， 2+3＝2（-1，2）+3（3，-5）＝（-2，4）+（9，-15）＝（7，-11）. ◆平面向量坐标运算的方法 （1）若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及数乘的坐标运算法则求解. （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解. 训练题 1. 已知＝（1，），＝2，若点A（2，1），则点B的坐标是（　　） A.（-1， -1） B.（0， -1） C.（4， +1） D.（3， +1） 2. 设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为 （　　） A.（3，1） B.（1，-1） C.（3，1）或（1，-1） D.（3，1）或（1，1） C C 2.与坐标运算有关的求参问题 例3 对n个向量，如果存在不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1+k2+…+kn＝0，则称线性相关，若已知＝（1，1），＝（3，-2），＝（3，-7）是线性相关的，则k1∶k2∶k3＝　　　　. 【解析】　因为线性相关，故存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得k1+ k2+k3＝0， 即k1（1，1）+k2（3，-2）+k3（3，-7）＝（0，0）， 整理得k2＝-2k3，k1＝3k3， 故k1∶k2∶k3＝3∶（-2）∶1. 【答案】　3∶（-2）∶1 ◆方程思想解求参问题 1.依据题中所给条件建立关于参数的方程（组）； 2.解方程（组）求出参数. 训练题 已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝-+（λ∈R），则λ＝（　　） A.-1 B.2 C.1 D.-2 C 三、平面向量共线的坐标表示及其应用 1.向量共线的判定与证明 例4 已知A（-3，0），B（9，-3），C（3，6）三点，＝，＝. 求证：∥. 【证明】　∵＝（3，6）-（-3，0）＝（6，6），＝＝（2，2）， ∴ 点E坐标为（-3，0）+（2，2）＝（-1，2）. ∵＝（3，6）-（9，-3）＝（-6，9），＝＝（-2，3）， ∴ 点F坐标为（9，-3）+（-2，3）＝（7，0）. ∴＝（7，0）-（-1，2）＝（8，-2）. 又＝（9，-3）-（-3，0）＝（12，-3）， ∴ 由8×（-3）-12×（-2）＝0，得∥. ◆两个向量共线的几种表示方法 已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），且. （1） //（λ∈R）.这是几何运算，体现了向量与向量的长度及方向之间的关系. （2）//x1 y2-x2 y1＝0.这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征. （3）当x2 y2≠0时，//＝，即两个向量的相应坐标成比例.这种形式不易出现搭配错误. 训练题 1.下列各组向量中，共线的是 （　　） A.＝（-2，3），＝（4，6） B.＝（2，3），＝（3，2） C.＝（1，-2），＝（7，14） D.＝（-3，2），＝（6，-4） 2.已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，-3）.判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ D 解：共线.＝（0，4）-（2，1）＝（-2，3）， ＝（5，-3）-（1，3）＝（4，-6）. ∵ （-2）×（-6）-3×4＝0且（-2）×4<0， ∴与共线且方向相反. 2.已知平面向量共线求参数 例5 （1）已知＝（1，2），＝（-3，2），当实数k为何值时，∥ ？这两个向量的方向是相同还是相反？ （2）已知点A（x，0），B（2x，1），C（2，x），D（6，2x）. ①求实数x的值，使向量与 共线； ②当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？ 【解】（1）∵＝（1，2），＝（-3，2）， ∴ ＝（k-3，2k+2），＝（10，-4）. 由题意得（k-3）（-4）-10（2k+2）＝0，解得k＝-. 此时， ∴ 当k＝-时，∥，并且它们的方向相反. （2）①＝（x，1），＝（4，x）. ∵∥，∴ x2＝4，x＝±2. ②由已知得＝（2-2x，x-1），当x＝2时，＝（-2，1），＝（2，1）， ∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上； 当x＝-2时，＝（6，-3），＝（-2，1）， ∴∥，此时A，B，C三点共线. 又∥，∴ A，B，C，D四点在一条直线上. 综上，当x＝-2时，A，B，C，D四点在一条直线上. ◆根据向量共线条件求参数的思路 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1＝0求解. 解：（1）∵ ∴ ＝（10，k+7）. 令1×（k+7）-2×10＝0，解得k＝13，∴ 当k＝13时，∥（）. （2）当k＝1时，＝（2，1）. 由得（8，7）＝（m+2n，2m+n）， ∴解得 训练已知， （1）当k为何值时，//； （2）当k＝1时，求满足的实数m，n. 3.三点共线问题 例6 （1）已知＝（3，4），＝（7，12），＝（9，16），求证：A，B，C三点共线. （2）设向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？ （1）【证明】∵＝-＝（4，8），＝-＝（6，12）， ∴＝，即与共线. 又∵与有公共点A，∴ A，B，C三点共线. （2）【解】若A，B，C三点共线，则，共线. ∵＝-＝（4-k，-7），＝-＝（10-k，k-12）， ∴ （4-k）（k-12）+7（10-k）＝0.解得k＝-2或k＝11.  ◆三点共线的实质与证明步骤 （1）实质：三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的. （2）证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点. 训练题 ［2019·湖北省荆州中学高一期末］已知向量＝（3，-4），＝（0，-3），＝（5-m，-3-m），若点A，B，C 不能构成三角形，则实数m的值为　　　　. 四、利用坐标运算求解平面几何问题 例7 已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明： （1）DE∥BC； （2）D，M，B三点共线. 【证明】如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令||＝1，则||＝1，||＝2. ∵ AD⊥AB，AD⊥DC，CE⊥AB，AD＝DC，∴ 四边形AECD为正方形. ∴ E（0，0），B（1，0），C（0，1），D（-1，1）. （1）∵＝（-1，1）-（0，0）＝（-1，1）， ＝（0，1）-（1，0）＝（-1，1）， ∴＝，∴∥，即DE∥BC. （2）连接MB，MD.∵ M为CE的中点，∴， ∴＝（-1，1）-＝， ＝（1，0）-＝. ∴＝-，∴∥. 又与有公共点M，∴ D，M，B三点共线. ◆应用向量共线的坐标表示求解几何问题的一般步骤 训练题 1.已知直角坐标平面上四点A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形. 证明：由已知得，＝（4，3）-（1，0）＝（3，3）， ＝（0，2）-（2，4）＝（-2，-2）. ∵ 3×（-2）-3×（-2）＝0，∴与共线. ＝（0，2）-（1，0）＝（-1，2），＝（2，4）-（4，3） ＝（-2，1）， ∵ （-1）×1-2×（-2）≠0，∴与不共线. ∴ 四边形ABCD是梯形. 2. 已知三点A（a，0），B（0，b），C（2，2），其中a>0，b>0. （1）若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值. （2）若A，B，C三点共线，试求a+b的最小值. 解：（1）因为四边形OACB是平行四边形， 所以＝，即（a，0）＝（2，2-b）， 所以解得 （2）因为＝（-a，b），＝（2，2-b）， 由A，B，C三点共线，得∥， 所以-a（2-b）-2b＝0，即2（a+b）＝ab. 因为a>0，b>0，所以2（a+b）＝ab≤， 即（a+b）2-8（a+b）≥0，解得a+b≥8或a+b≤0. 因为a>0，b>0，所以a+b≥8， 即a+b的最小值是8. 当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立. 小结 $