2 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的正交分解及坐标表示、加减运算的坐标表示，通过“如何用坐标表示向量”的问题导入，衔接平面直角坐标系中点的坐标知识，搭建从点到向量的认知支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过斜面上木块重力分解抽象正交分解，结合即时练、例题及跟踪训练，培养数学眼光与思维。课堂小结梳理知识联系与方程思想，助力学生提升抽象能力与运算能力，为教师提供系统教学资源与分层练习设计。

6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 1 新课导入 学习目标 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)来表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示． 2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量加、减的坐标运算法则． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 返回导航 提示：该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. 返回导航 [知识梳理] 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) (2)零向量的坐标是(0，0).(　　) (3)相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．(　　) (4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) × √ √ √ 返回导航 2．若与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}为基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　) A．第一、二象限　　　　　 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 返回导航 返回导航 0 返回导航 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向． (3)求一个向量的坐标实际上是把该向量的起点平移到坐标原点，其终点的坐标即是该向量的坐标． 返回导航 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 返回导航 返回导航 [知识梳理] 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 类别 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a＋b＝_______________ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a－b＝________________ 和 (x1＋x2，y1＋y2) 差 (x1－x2，y1－y2) 返回导航 终点 起点 返回导航 [例1] (1)若a＝(2，1)，b＝(－1，0)，则a－b的坐标是(　　) A．(1，－1) B．(－3，－1) C．(3，1) D．(2，0) 【解析】　a－b＝(2＋1，1－0)＝(3，1). √ 返回导航 (0，－1) 返回导航 平面向量加、减坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减的运算法则进行运算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 返回导航 [跟踪训练1] (1) 已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b＝(　　) A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0) 解析： b＝(a＋b)－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2). √ 返回导航 (－12，8) 返回导航 返回导航 (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 返回导航 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． 返回导航 －2 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 1．(教材P30T1改编)已知平面向量a＝(－2，3)，b＝(4，－2)，则a＋b＝(　　) A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(2，1) D．(－6，5) 解析：因为向量a＝(－2，3)，b＝(4，－2)，所以a＋b＝(－2，3)＋(4，－2)＝(2，1). √ 返回导航 √ √ √ 返回导航 同理B错误； 当B是原点时，A点的坐标是(2，－4)，故C错误； 当A是原点时，B点的坐标是(－2，4)，故D正确． 返回导航 3．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)(m，n∈R)，若a＋b＝(9，－8)，则m－n＝________． －3 返回导航 返回导航 1．已学习：平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示． 2．须贯通：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同；解题中应用了方程思想与数形结合的思想． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　平面向量的正交分解及坐标表示) 思考　如图，在光滑斜面上的一个木块，其重力可以分解为哪两个力的作用？这些力之间有什么关系？ 解析：x2＋x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋ eq \f(3,4)>0，x2－x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋ eq \f(3,4)>0，因此a对应的坐标满足x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，所以向量a对应的坐标位于第四象限． 3．(对接教材例3)如图，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为i，j，以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j))作为基底，若|a|＝ eq \r(3)，θ＝ eq \f(π,6)，则向量a的坐标为________． 解析：由题意得， a＝( eq \r(3)cos eq \f(π,6))i＋( eq \r(3)sin eq \f(π,6))j＝( eq \f(3,2)， eq \f(\r(3),2)). ( eq \f(3,2)， eq \f(\r(3),2)) 4．已知向量 eq \o(OP,\s\up16(→))＝( eq \f(\r(3),2)， eq \f(1,2))，将向量 eq \o(OP,\s\up16(→))绕原点O沿逆时针方向旋转 eq \f(π,3)到 eq \o(OP′,\s\up16(→))的位置，则点P′的横坐标为________． 解析：因为 eq \o(OP,\s\up16(→))＝( eq \f(\r(3),2)， eq \f(1,2))，所以向量 eq \o(OP,\s\up16(→))与x轴正方向的夹角为 eq \f(π,6)，向量 eq \o(OP,\s\up16(→))绕原点O沿逆时针方向旋转 eq \f(π,3)到 eq \o(OP′,\s\up16(→))的位置，则 eq \o(OP′,\s\up16(→))与x轴正方向的夹角为 eq \f(π,2)，此时点P′在y轴上，点P′的横坐标为0. eq \a\vs4\al(二　平面向量加、减运算的坐标表示) 思考1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 思考2　如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求 eq \o(AB,\s\up16(→))的坐标？ 提示： eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(OB,\s\up16(→))－ eq \o(OA,\s\up16(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 类别 文字描述 符号表示 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的____的坐标减去____的坐标 已知A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(xB－xA，yB－yA) (2)在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知点A(－1，1)，向量 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－2)，则 eq \o(OB,\s\up16(→))＝________． 【解析】　因为A(－1，1)，则 eq \o(OA,\s\up16(→))＝(－1，1)，又 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－2)，所以 eq \o(OB,\s\up16(→))＝ eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1，1)＋(1，－2)＝(0，－1). (2) 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，则 eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))的坐标为________． 解析： eq \o(AD,\s\up16(→))＝(－3，5)， eq \o(BD,\s\up16(→))＝(－4，2)， eq \o(CD,\s\up16(→))＝(－5，1)，所以 eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8). eq \a\vs4\al(三　平面向量坐标运算的应用) [例2] (对接教材例5)如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3). (1)写出向量 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))的坐标； 【解】　 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3，2)－(2，1)＝(－5，1)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1，3)－(2，1)＝(－3，2)， eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－1，3)－(－3，2)＝(2，1). 【解】　设D(x，y)，则 eq \o(AD,\s\up16(→))＝(x－2，y－1)，由 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2＝2，,y－1＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))故D(4，2). [跟踪训练2] (1)若向量 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，4)， eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2，n)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(0，2)，则n＝________． 解析：因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))，即(2，4)＋(－2，n)＝(0，4＋n)＝(0，2)，所以4＋n＝2，解得n＝－2. (2)已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足 eq \o(GA,\s\up16(→))＋ eq \o(GB,\s\up16(→))＋ eq \o(GC,\s\up16(→))＝0的G的坐标为_______________． 解析：设G的坐标为(x，y)，且A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，因为 eq \o(GA,\s\up16(→))＋ eq \o(GB,\s\up16(→))＋ eq \o(GC,\s\up16(→))＝0，可得(－1－x，4－y)＋(2－x，6－y)＋(3－x，－y)＝(4－3x，10－3y)＝(0，0)， 可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－3x＝0，,10－3y＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(10,3)，))所以G的坐标为( eq \f(4,3)， eq \f(10,3)). ( eq \f(4,3)， eq \f(10,3)) 2．(多选)(教材P36习题6.3T3改编)已知 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－2，4)，则下列选项中错误的是(　　) A．A点的坐标是(－2，4) B．B点的坐标是(－2，4) C．当B是原点时，A点的坐标是(－2，4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2，4) 解析：由题意，向量 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－2，4)与终点、起点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是(－2，4)，故A错误； 解析：因为a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，)) 所以m－n＝2－5＝－3. 4．在▱ABCD中，AC为一条对角线．若 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，4)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1，3)，求 eq \o(BD,\s\up16(→))的坐标． 解：因为 eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1，3)， eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，4)， 所以 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1，－1)， 所以 eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3，－5). 3．应注意：(1)向量的坐标不一定是终点的坐标； (2) eq \o(AB,\s\up16(→))的坐标一定是终点B的坐标减去起点A的坐标． $