精品解析：河南信阳高级中学国际部高考班2025-2026学年高二下学期04月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则=（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 7. 若椭圆C的焦距是短轴长的倍，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 平行于同一个平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一平面 10. 关于椭圆，下列结论正确的有（ ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为4 C. 焦距为4 D. 离心率为 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的导函数为__________． 13. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式___________.（结果用数值表示） 14. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和为． （1）求的展开式中含的项； （2）若，求． 16. 如图，已知三角形是等腰三角形，，，C，D分别为，的中点，将沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E． （1）求证：平面PAD； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形. （1）求的方程； （2）直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并运算的定义，结合已知条件，直接写出结果即可. 【详解】因为，，故. 故选：B. 2. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义逐项判断即可求解. 【详解】对于A，令，所以的定义域为，， 所以为偶函数，故A正确； 对于B，令，所以的定义域为，， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，令，且， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 3. 已知，则（    ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由， 得， 所以. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以． 故选：C 5. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 6. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则=（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 7. 若椭圆C的焦距是短轴长的倍，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，得到，即. 8. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 平行于同一个平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】两个平面平行，两个平面内的直线可能平行也可能异面. 【详解】由面面平行的判定定理和性质知A，B，D正确； 对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面. 10. 关于椭圆，下列结论正确的有（ ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为4 C. 焦距为4 D. 离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程判断其焦点位置，求出的值，即可逐一判断. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，离心率为. 故A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的导函数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 由题意得：. 13. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式___________.（结果用数值表示） 【答案】48 【解析】 【分析】由分步计算原理求解即可 【详解】由题意，可分步进行， 第一步，安排公益广告，不同的安排方式有种， 第二步，安排商业广告，不同的安排方式有种， 故总的不同安排方式有种， 故答案为：48 14. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，可得，结合二倍角公式，求出直线的斜率，联立直线、可得点坐标，根据在椭圆上，可得关于的齐次方程，结合的关系，解方程可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 易知，， 设，则，因为，所以. 因为，所以， 所以直线的斜率为：. 所以直线：；直线：. 由得：. 因为点在椭圆：上， 所以， 所以， 又，所以. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到与的关系，进一步得到直线与的方程，从而得到点坐标. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和为． （1）求的展开式中含的项； （2）若，求． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和可得出关于的等式，解出的值，再利用二项展开式通项可求出展开式中含的项. （2）令可得出的值，令可得出的值，即可得出的值． 【小问1详解】 由题意得的展开式的二项式系数和为，解得． 展开式的通项公式为， 令，解得，代入通项公式得． 【小问2详解】 因为， 所以令，得， 令，得， 所以． 16. 如图，已知三角形是等腰三角形，，，C，D分别为，的中点，将沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E． （1）求证：平面PAD； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取PA中点F，连接DF，EF， ∵E为PB的中点，则，，∴，， 又∵C，D分别为，的中点，∴，， ∴，， ∴四边形CDEF为平行四边形，∴． ∵平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）取PA中点F，连接DF，EF，即可证，，得到四边形CDEF为平行四边形，则，再由线面平行的判定可得平面PAD； （2）通过题目条件证得AD，CD，PD两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以AD，CD，PD所在直线为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ECA，平面ECB的法向量，再由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知，，， ∴，则， ∵在中，，C，D分别为，的中点， ∴，∴，， ∴AD，CD，PD两两互相垂直． 如图所示，以D为坐标原点，分别以AD，CD，PD所在直线为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面ECA，平面ECB的法向量分别为，， 则，取，可得； ，取，得． ∴． 设二面角的平面角为，则． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，是面积为2的等腰直角三角形. （1）求的方程； （2）直线与交于M、N两点，为坐标原点.若上存在点，使得四边形为平行四边形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合椭圆性质列式求得，进而可得和椭圆方程； （2）联立方程，结合韦达定理可得，，根据平行四边形可得，代入椭圆方程即可得解. 【小问1详解】 因为是面积为2的等腰直角三角形， 则，解得，可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 联立方程，消去y可得， 则，解得， 设，则，， 可得， 又因为， 若四边形为平行四边形， 则，即， 因为点在椭圆上，则，解得， 所以. 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）是，理由如下： 因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $