专题4.3 探索三角形全等的条件 知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共53题-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.3 探索三角形全等的条件『第四章 三角形』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共53题） 〔解析版〕 2 知识点一 全等三角形的判定 2 知识点二直角三角形全等的判定 2 知识点三 全等三角形的判定与性质 2 知识点四 全等三角形的应用 3 重点难点 考点讲练 3 题型1：用SSS证明三角形全等(SSS) 3 题型2：用SSS间接证明三角形全等(SSS) 4 题型3：全等的性质和SSS综合(SSS) 6 题型4：尺规作图一一作三角形 8 题型5：三角形的稳定性及应用 9 题型6：四边形的不稳定性 10 题型7：用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 11 题型8：全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 13 题型9：用SAS证明三角形全等(SAS) 14 题型10：用SAS间接证明三角形全等(SAS) 16 题型11：全等的性质和SAS综合(SAS) 17 题型12：灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 19 题型13：结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 20 题型14：利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 22 中考真题 实战演练 24 难度分层 闯关训练 29 【基础夯实 能力提升】 29 【创新拓展 拔尖冲刺】 36 知识点一 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点二直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点三 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点四 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型1：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【答案】与全等，理由见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的“边边边”判定定理，通过等式性质得出是解题的关键． 与全等，由，依据等式性质两边加上可得，利用“边边边”判定定理即可证明． 【规范解答】解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据题意得出，进而根据证明． 【规范解答】证明：， ，即， 在和中， 题型2：用SSS间接证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【规范解答】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 题型3：全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．先证明，进而得到，再证明，得到，进而得到，即可得出结论． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴；故选项A正确； ∵， ∴；故选项B正确； ∴， ∴；故选项D正确； 在中，为斜边， ∴， ∴；故选项C错误； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，． (1)求证：： (2)用直尺和圆规在直线l上方作出，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)连接，则直线与l的位置关系是 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)平行 【思路点拨】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，可得，则． （2）结合全等三角形的判定，以点E为圆心，的长为半径画弧，以点F为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，即可． （3）结合题意可知，直线与l的位置关系是平行． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，以点E为圆心，的长为半径画弧，以点F为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接， 此时， ∵， ∴， 则即为所求． （3）解：作于点M，作于点N， ∵， ∴， ∴直线与l的位置关系是平行． 故答案为：平行． 题型4：尺规作图一一作三角形 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）用圆规、无刻度直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知线段a，c，．求作，使，，． 【答案】作图见解析 【思路点拨】先作一个角等于已知角，再在角的两边上分别截取对应长度的线段；最后连接端点得到三角形． 【规范解答】解：如图，即为所求． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知与线段，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作，使得，，； 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了作图复杂作图．根据基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【规范解答】解：如图所示，即为所求作． ． 题型5：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26七年级下·江西赣州·月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩固定，这里所用到的几何原理是（   ） A．两点之间距离最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解即可． 【规范解答】解：由题意可知：所用到的几何原理是三角形的稳定性； 故选D． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【思路点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；根据三角形的稳定性进行求解即可． 【规范解答】解：由题意可知：其蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 题型6：四边形的不稳定性 【典例精讲】（24-25七年级下·河北唐山·月考）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了三角形的特性，“三角形具有稳定性”在生活实际中有很重要的应用．首先观察图A，B，都是四边形，由四边形是否具有稳定性，解答即可；对于图C，是由三角形构成的，根据三角形是否具有稳定性解答；对于图D，是由三角形和四边形组成的，根据三角形和四边形的特性解答． 【规范解答】解：A．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意； B．因为四边形不具有稳定性，所以本选项不符合题意； C．因为三角形具有稳定性，所以C符合题意； D．因为四边形不具有稳定性，所以D不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）给出下列图形：其中具有稳定性的是 （把序号填在横线上） 【答案】②③ 【思路点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性质． 利用三角形的稳定性进行判断即可． 【规范解答】解：根据三角形具有稳定性可得， 具有稳定性的图形是②和③， 故答案为：②③． 题型7：用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 通过证明，再通过全等三角形的对应边相等得即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴与，之间的距离相等的是， 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）先证明，再通过证明即可证明结论； （2）过点分别作于点，的延长线于点．由同角的补角可得．同（1）可知，，再通过证明即可证明结论． 【规范解答】（1）解：，， ， ． 平分， ． 在和中， ， ． （2）解：如图，过点分别作于点，的延长线于点． ，， ． 同（1）可知，． 又， 在和中， ， ． 题型8：全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，C，D，A，F四点在同一条直线上，，，，．求EF的长． 【答案】 【思路点拨】先通过线段的和差关系得到，再结合平行线的性质得到角相等，进而证明和全等，利用全等三角形的对应边相等得出的长度． 【规范解答】解：∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． 在和中， ∴ ， ∴ ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 【答案】见解析 【思路点拨】先利用平角的定义和三角形内角和定理，推导出；再结合已知的边和角，证明与全等，从而得到． 【规范解答】解：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 题型9：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26七年级下·河北邯郸·月考）如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出．木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．有三边分别相等的两个三角形全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 根据全等三角形的判定方法即可判断； 【规范解答】解：由题意可知：，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等， 故选D． 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中画出一个与全等的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了画三角形的高，全等三角形的判定： （1）根据三角形高的定义画图即可； （2）取格点，使，由网格特点可得，继而得，结合为公共边，利用即可得，由此即可得． 【规范解答】（1）解：如图所示，高线即为所求； （2）如图所示，即为所求． 题型10：用SAS间接证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，点D在延长线上，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可． （2）证明，，再利用线段的和差计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 题型11：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，连接BD，CE． (1)与全等吗？为什么？ (2)请直接写出BD，CE的位置关系． 【答案】(1)与全等．理由见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定定理，先通过角的和差关系得到对应角相等，再结合已知的边相等条件进行推导； （2）根据全等三角形的性质得到角的关系，再结合直角的条件推导与的位置关系． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：延长交于点． ∵， ∴． ∵， ∴． 即：． 代入，得：． 在中，． ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ACBD中，点P在对角线AB上，连接PC，PD，，．试说明： (1)． (2)． 【答案】(1)说明见解析 (2)说明见解析 【思路点拨】（1）要证明，可利用角边角判定定理，结合已知的角相等和公共边来推导； （2）先通过（1）的全等得到对应边相等，再证明，从而得到． 【规范解答】（1）解：∵， ∴． 在和中，，，， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． 题型12：灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【思路点拨】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【规范解答】解：第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以这块不行； 第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级下·山东泰安·月考）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定方法，构成三角形的条件，一般三角形全等的判定方法有 ，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法判定即可求解． 【规范解答】解：A、边边角不能唯一确定三角形，故原选项不能画出唯一，不符合题意； B、∵，即， ∴原选项不能画出唯一，不符合题意； C、角边角()能唯一确定三角形，故原选项能画出唯一，符合题意； D、角角角不能唯一确定三角形，故原选项不能画出唯一，不符合题意； 故选：C ． 题型13：结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，符合全等三角形判定方法，画出的唯一，该选项不合题意； 、，，，两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，画出的不唯一，该选项符合题意； 故选：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【思路点拨】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【规范解答】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 题型14：利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【典例精讲】（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 ；度数为 ． 【答案】 /90度 /45度 【思路点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【规范解答】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 【变式训练】（2024·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 【答案】45 【思路点拨】连接，根据正方形网格的特征即可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接     ∵图中是的正方形网格 ∴，， ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：45． 1．（2024·贵州黔南·中考真题）如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题考查了直角三角形全等的判定方法，运用分类讨论的思想.设运动x分钟后与全等，则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果. 【规范解答】解：∵于点A，于点B， ∴， 设运动x分钟后与全等 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，，， ∴， ②若，则， 解得，， 此时与不全等. 综上所述：运动4分钟后与全等. 故选：C. 2．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积及等积变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 连接并延长交于，记与交于，连接，，依据，，，可得，进而得出再根据，可得，进而得到． 【规范解答】解：如图，连接并延长交于，记与交于，连接，， ∵点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为， ∴，，，， ， ∴，，， ∴， ∴, ∴， ∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得 ∴， ∴， ∴， ∴与的面积之比为， 故选：B． 3．（2024·全国·中考真题）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 4．（2024·上海·中考真题）如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． 先根据角平分线性质得到角的关系，再通过全等三角形判定证明全等，进而得出对应角相等，最后利用补角性质求出所求角的度数． 【规范解答】解：∵， ， ∴． ∵AD是的角平分线， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（2024·陕西咸阳·中考真题）【问题情境】 如图，在中，点D是上一点，连接，，在上取一点E，使得，点F是延长线上一点，连接．    【思路梳理】 （1）如图1，若，，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，点K为上一点，连接并延长至点H，使得，连接，若，且，则与相等吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）相等，见解析 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，则有，，进而通过证明可进行求解． 【规范解答】解：（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以． （2）相等，理由如下： 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．两点之间线段最短 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； 已知点O分别为线段AC、BD的中点即可得到边相等，根据对顶角相等即可得到角相等，则可判定三角形全等即可得知判定全等的依据. 【规范解答】解：∵O为线段AC、BD的中点 ∴， ∴在和中， ∴ 故选：B. 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】利用判定三角形全等的方法，逐一分析选项中两个三角形的三边是否对应相等． 【规范解答】解：A、在和中，已知，但与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； B、在和中，与、与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意； C、在和中，，，，满足 ，可以判定全等，符合题意； D、在和中，，，但与的关系不明确，无法用判定全等，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【规范解答】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选C． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【规范解答】解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，于是上一点，连接并延长交于．若．则的面积是 ． 【答案】500 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，解题的关键是证明，得出且，再利用三角形面积公式求解．先证明，得到且，再结合的长度，利用三角形面积公式（为底，为高）求出的面积． 【规范解答】解：∵于， 在和中， ∴的面积是500． 故答案为：500． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是 米． 【答案】20 【规范解答】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，，，，且，点P从点B向点A以的速度运动，点Q从点B向点D以的速度运动，点P，Q同时出发，运动 s后，与全等． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论． 设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果． 【规范解答】解：∵于A，于， ∴， 设运动x秒钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，， ∴， ∴； ②若，则， 解得：， ∴， 此时与不全等； 综上所述：运动6秒钟后与全等； 故答案为：6． 8．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，又因为，则，故，即可作答． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 9．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】见解析． 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用“”证明即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：在和中， ， ∴． 10．（23-24七年级下·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【规范解答】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（    ） A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握 全等判定定理及全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据已知条件，寻找能证明三角形全等的要素，通过证明与全等，利用全等三角形的对应边相等，得出的长度． 【规范解答】解：在和中： ∴ ∴ ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接和，根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【规范解答】解：连接和， 由作图过程可知， ，，， 在和中， ， 所以， 所以． 故选：D． 3．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （    ） A．① B．② C．①和② D．①②③ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．直接利用定理即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，再利用定理即可判断②正确；连接，证出，由此即可判断③正确． 【规范解答】解：在和中， ， ，结论①正确； ， ∵，， ，即， 在和中， ， ，结论②正确； 如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 即在的平分线上，结论③正确； 综上，正确的是①②③． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，． 【答案】7或3 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．由 为边上的高，得到，再结合，证明，得到，再根据的位置分情况讨论，分别求出的长，最后结合速度求时间即可． 【规范解答】解：在中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴有以下两种情况： 当点E在的延长线上时，如图1所示： ， ∴点E运动的时间为：， 当点E在的延长线上时，如图2所示： ， ∴点E运动的时间为：， 综上所述：当点E运动7或时，． 故答案为：7或3． 6．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 s时，． 【答案】6或2 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【规范解答】解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，， 故答案为：6或2． 7．（24-25七年级下·辽宁铁岭·月考）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 【答案】/24厘米 【思路点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【规范解答】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点A和点B分别与木墙的顶端重合，点D、C、E在一条直线上，，． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求两堵木墙之间的距离（的长）． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 因为，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为， 所以． （2）解：因为每个小木块的高度都是， 所以，， 因为， 所以，， 所以， 所以两堵木墙之间的距离为． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)①试说明：； ②若，求的度数． (2)设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)①说明见解析；② (2) 【思路点拨】（1）①通过角的等量关系得到，再结合已知边相等，利用判定； ②先由全等得到角的关系，结合等腰直角三角形的性质推导的度数． （2）通过全等三角形的角的关系，结合三角形内角和，推导与的数量关系． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴，即：． 在 和中： ∴． ②∵，， ∴． 由①知，， ∴． ∴． （2）解：由①知，，则． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，BE，CF分别是AC，AB两边上的高，在BE上截取，在CF的延长线上截取，连接AD，AG． (1)试说明：． (2)AD与AG的位置关系如何？请说明理由． 【答案】(1)说明见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】（1）要证明，可通过证明和全等，利用全等三角形对应边相等得出结论； （2）判断与的位置关系，需结合（1）的全等三角形对应角相等，推导角的度数． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题4.3 探索三角形全等的条件『第四章 三角形』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共53题） 〔原卷版〕 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 全等三角形的判定 1 知识点二直角三角形全等的判定 2 知识点三 全等三角形的判定与性质 2 知识点四 全等三角形的应用 2 重点难点 考点讲练 3 题型1：用SSS证明三角形全等(SSS) 3 题型2：用SSS间接证明三角形全等(SSS) 3 题型3：全等的性质和SSS综合(SSS) 4 题型4：尺规作图一一作三角形 5 题型5：三角形的稳定性及应用 5 题型6：四边形的不稳定性 6 题型7：用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 6 题型8：全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 7 题型9：用SAS证明三角形全等(SAS) 8 题型10：用SAS间接证明三角形全等(SAS) 8 题型11：全等的性质和SAS综合(SAS) 9 题型12：灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 10 题型13：结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 11 题型14：利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 闯关训练 14 【基础夯实 能力提升】 14 【创新拓展 拔尖冲刺】 17 知识点一 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点二直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点三 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点四 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 题型1：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，在线段上，若，，，那么与全等吗？为什么？ 【变式训练】（24-25七年级下·山东济南·开学考试）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 题型2：用SSS间接证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式训练】（24-25七年级下·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 题型3：全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，． (1)求证：： (2)用直尺和圆规在直线l上方作出，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)连接，则直线与l的位置关系是 题型4：尺规作图一一作三角形 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）用圆规、无刻度直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知线段a，c，．求作，使，，． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知与线段，尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作，使得，，； 题型5：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（25-26七年级下·江西赣州·月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩固定，这里所用到的几何原理是（   ） A．两点之间距离最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，北盘江大桥获得过中国建筑工程鲁班奖，是世界上最高的大桥，从桥面到谷底的垂直高度达到565米．北盘江大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是 ． 题型6：四边形的不稳定性 【典例精讲】（24-25七年级下·河北唐山·月考）下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）给出下列图形：其中具有稳定性的是 （把序号填在横线上） 题型7：用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·周测）如图，某公园有一条“Z”字形长廊ABCD，其中，在AB，BC，CD三段长廊上各有一座凉亭E，F，G，已知F是BC的中点，E，F，G在一条直线上．凉亭F与G之间有一池塘，下列长度中，与F，G之间的距离相等的是（   ） A．EF B．BE C．CF D．BF 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形ABCD中，AC平分，． (1)如图①，当时，试说明：． (2)如图②，当时，试说明：． 题型8：全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，C，D，A，F四点在同一条直线上，，，，．求EF的长． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 题型9：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26七年级下·河北邯郸·月考）如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出．木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．有三边分别相等的两个三角形全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【变式训练】（24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中画出一个与全等的． 题型10：用SAS间接证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【变式训练】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，点D在延长线上，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型11：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，连接BD，CE． (1)与全等吗？为什么？ (2)请直接写出BD，CE的位置关系． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ACBD中，点P在对角线AB上，连接PC，PD，，．试说明： (1)． (2)． 题型12：灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【变式训练】（25-26七年级下·山东泰安·月考）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 题型13：结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）根据下列条件，画出的不唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    题型14：利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【典例精讲】（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为 ；度数为 ． 【变式训练】（2024·山东济南·二模）如图，在的正方形网格中，求 度． 1．（2024·贵州黔南·中考真题）如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 2．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·全国·中考真题）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为 ． 4．（2024·上海·中考真题）如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为 ． 5．（2024·陕西咸阳·中考真题）【问题情境】 如图，在中，点D是上一点，连接，，在上取一点E，使得，点F是延长线上一点，连接．    【思路梳理】 （1）如图1，若，，求的度数； 【深入探究】 （2） 如图2，点K为上一点，连接并延长至点H，使得，连接，若，且，则与相等吗？为什么？ 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．两点之间线段最短 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，．直接利用“SSS”可以判定（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图是某纸伞截面的示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角，点D、E、F分别在上，为两条支杆，．若支杆断掉需要更换，则只需要测量（   ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 4．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连接、，则的最大值是 ． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，于是上一点，连接并延长交于．若．则的面积是 ． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是 米． 7．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，，，，且，点P从点B向点A以的速度运动，点Q从点B向点D以的速度运动，点P，Q同时出发，运动 s后，与全等． 8．（23-24七年级下·全国·期末）如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 9．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 10．（23-24七年级下·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，为了测量池塘两岸AB的距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O，测得的度数，在OB的另一侧取一点C，使，，且测得BC的长为5m，则A，B之间的距离为（    ） A．2.5m B．5m C．7.5m D．10m 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以点，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，，以点为圆心，以长为半径画弧，在的内部交弧于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏南通·月考）如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （    ） A．① B．② C．①和② D．①②③ 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为 ． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，． 6．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 s时，． 7．（24-25七年级下·辽宁铁岭·月考）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为 ． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，明明同学用10块形状相同的长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，每个小木块的高度都是，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，其中，，点A和点B分别与木墙的顶端重合，点D、C、E在一条直线上，，． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求两堵木墙之间的距离（的长）． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合）．以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)①试说明：； ②若，求的度数． (2)设，，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，BE，CF分别是AC，AB两边上的高，在BE上截取，在CF的延长线上截取，连接AD，AG． (1)试说明：． (2)AD与AG的位置关系如何？请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $