2026年中考数学专项训练：一次函数与二元一次方程（组）

2026年中考数学专项训练：一次函数与二元一次方程（组） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．在平面直角坐标系中，直线（b为常数，）和直线（k为常数，）的交点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知直线与直线交于x轴上一点，则（   ） A．2 B． C．6 D． 3．已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 7．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则______． 9．如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，则点的坐标为______． 10．小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h． 11．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A． (1)求k的值及点B的坐标． (2)连接，求． 12．已知，一次函数与分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)点F是线段上一点，且线段把的面积分成两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 13．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，连接．设点的横坐标为， ①线段__________（用含的代数式表示） ②求面积的最大值． 【求直线围成的图形面积】 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 16．将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 17．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 18．如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； (2)连接，，则的面积为______． (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 19．如图，一次函数与x轴交于点，与反比例函数交于，C两点． (1)求m，n，k的值； (2)点M在y轴上，若，求点M的坐标． 20．如图，直线与双曲线分别交于点，点B，与x轴交于点C，过点A作线段垂直x轴于点D，，连接． (1)求直线与双曲线的解析式； (2)求的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于点和点，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求和的值； (2)将该一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求的面积． 22．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点，连接、． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①的面积为______； ②当时，自变量x的取值范围为______． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． (1)求n的值，以及直线对应的函数表达式． (2)若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数与坐标轴分别交于点，．若点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，直接写出的面积． 【图象法解二元一次方程组】 27．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小红根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程的解为； ③； ④方程组的解为，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 29．阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学专项训练：一次函数与二元一次方程（组）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 14 15 16 答案 C D A A C C C A B D 题号 17 27 28 答案 A A C 1．C 【分析】先确定一次函数图象经过的象限，再确定正比例函数经过的象限，即可判断交点所在象限． 【详解】解：∵直线（b为常数，），, ∴直线经过第二、三、四象限， ∵直线（k为常数，）, ∴其图象经过第一、三象限， ∵两个函数图象都经过第三象限， ∴交点在第三象限． 故选：C． 2．D 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，先求出第二条直线与x轴的交点坐标，再将交点代入第一条直线方程，即可求出a的值． 【详解】解：∵两条直线交点在x轴上，x轴上点的纵坐标都为0， ∴在直线中，令，可得方程，解得 ∴交点坐标为， ∵该交点也在直线上， ∴， 解方程得． 3．A 【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴该点的坐标同时满足两个函数的方程， ∴关于、的方程组，即的解为． 4．A 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴，的二元一次方程组的解为， 二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点的坐标为：． 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查两条直线的交点与二元一次方程组的解的关系，理解图示，掌握两条直线的交点的特点是解题的关键． 根据两直线的交点的特点即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象交于点， 点的横纵坐标是关于，的二元一次方程组的解， 即二元一次方程组的解为， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； B、方程的解是，原选项不符合题意； C、∵一次函数经过点，点， 解得： ∴一次函数解析式为，当时，， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； D、当时，，原选项不符合题意． 7．C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 8．2 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，理解图示，掌握交点的含义是关键． 根据题意得，，由此即可求解． 【详解】解：直线与直线的图象交于点，点的横坐标为， ∴， ∴， 故答案为： ． 9． 【分析】先求出和，再联立方程组求解即可； 【详解】解： 在双曲线上， ， ， 在正比例函数上， ， ， 正比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得：或， 两个函数的交点为，， ． 10． 【分析】运用待定系数法求出小云距A地的距离y与时间x的函数关系式，当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式，联立两个关系式，即可求解． 【详解】解：设小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 由图可得该函数图象过点， ∴，解得， ∴小云距A地的距离y与时间x的函数关系式为． 当时，设小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 由图可得该函数图象过点，， ∴，解得， ∴当时，小涛距A地的距离y与时间x的函数关系式为， 解方程组，得， ∴两人相遇的时间为． 11．(1)，点B的坐标为 (2) 【分析】（1）先求得点A坐标，进而可求得k值，得到，联立方程组可求得点B坐标； （2）设直线与轴交于点D，先求得点D坐标，再利用求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴， 联立方程组，解得或， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，设直线与轴交于点D， 令，则， ∴点D的坐标为，则， ∴． 12．(1)点E的坐标为 (2)点F的坐标为或 【分析】（1）根据题意可得，得到，即可确定两直线交点的坐标； （2）先求直线与x轴交点，计算得出面积为；设，分和两种情况，根据面积公式列方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵两直线相交于点E， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴，即． ∴ ， ∵在直线上， ∴设， ∴的面积为：， 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故； 当两部分的面积比为时，则， ∴ 解得， ∴， 故， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题以一次函数为载体，结合交点求解与面积分割问题，通过联立方程组求交点、分类讨论面积比例，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． 13．(1) (2)①；②27 【分析】（1）联立两条直线解析式，求出点P坐标； （2）①设点的横坐标为，、，进而求出的值； ②先求出C点坐标，得到，求出，再利用三角形面积公式得到，最后利用二次函数的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， 解得， 点的坐标为； （2）①解：设点的横坐标为，轴， 、， ； ②解：点为直线与轴的交点，点是线段上的一个动点， 将代入直线得：， 解得， ， ， 由①可得， 面积为： ， 当时，面积有最大值，最大值为27． 14．A 【分析】先确定，，，根据，求解即可． 【详解】解：直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点， 当时，，当时，， 故 ； 根据题意，得， 解得， 故． 当时，， 解得， 故， ， ． 15．B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 16．D 【分析】灵活运用“上加下减”的平移规律求出平移后的直线解析式是解题的关键．根据平移规律得到平移后直线的解析式，进而求出该直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求出与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向上平移个单位长度， 平移后直线解析式为， 当时，，即平移后直线与轴交点为； 当时，，解得，即平移后直线与轴交点为， 直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为和， 三角形面积为． 17．A 【分析】先根据平移性质得到的解析式．再求出两条直线与轴的交点，以及和的交点，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，得到的解析式为， 令，分别求两条直线与轴的交点坐标： 对，，解得 ， 即与轴的交点为； 对，， 解得， 即与轴的交点为； ∴三角形在轴上的底边长为． 联立与的方程求交点： 解得，即两直线交点纵坐标为，三角形的高为． ∴三角形面积． 18．(1)点A的坐标为，点B的坐标为， (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质． （1）依据点A、B在反比例函数图象上，求出点A、B的坐标，再根据点B在一次函数图象上求出一次函数解析式； （2）依据题意，分别作轴于点D，作轴于点E，从而可得，结合A，B两点的坐标，分别求得，，，进而计算可以得解； （3）依据题意，根据一次函数和反比例函数图象，可得当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方．进而可以判断得解． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， ∴点A的坐标为 把点代入中，得： ∴点B的坐标为 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数的解析式为 （2）如图，分别作轴于点D，作轴于点E， ∴ ． 又∵，， ∴，，． ． 故答案为：． （3）根据一次函数和反比例函数图象，得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， ∴的解集为或． 19．(1)5，4，4 (2)或 【分析】（1）把A代入一次函数，求出m的值，然后把B的坐标代入一次函数解析式求出n的值，最后把B的坐标代入求出反比例函数解析式即可； （2）根据，得出，再求出，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：把代入一次函数得： ， 解得：， 把代入一次函数得： ， 解得：， 把代入反比例函数， ； （2）解：， ， ， 点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积计算，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． 20．(1)直线的解析式为；双曲线的解析式为 (2) 【分析】（1）根据锐角三角函数求出，得出，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）联立解析式求出交点坐标，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵直线经过点A，C， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． ∵双曲线经过点， ∴． ∴双曲线的解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴． ∴． 21．(1)， (2) 【分析】（1）先利用一次函数的解析式求出点，进而求出，再利用反比例函数的解析式求出点，最后求出的值； （2）作于点，由平移规律可得新函数，从而求得点，容易判断轴，则，，直接计算的面积即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，作于点， 向下平移个单位长度所得新函数， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．(1)，； (2)①；②或 【分析】（1）先将点代入求出反比例函数解析式，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）①先求出点的坐标，再结合求解即可；②由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方，即可得解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数可得，， 解得：， 反比例函数， 当时，， 解得：， ， 将点，代入一次函数可得， ，解得：， 一次函数； （2）解：①令，则， ， ②由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 则当时，自变量x的取值范围为或． 23．(1)；的面积为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两直线解析式可得点A的坐标，然后再根据列式计算即可； （2）求出，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的表达式为， 联立， 解得， ∴点， 对于直线， 令，则， ∴点 令，则， ∴点， ， 对于直线， 令，则， ∴点， ∴， ； （2）点在线段AB上，点，点，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴的值随t的增大而减小， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 24．(1)， (2)4 【分析】（1）先将点代入反比例函数，求出的值，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）设，求出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， 设直线的函数表达式为， 将点，代入上式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 解得， ∴点M的横坐标为． 25．(1)，； (2)存在，或． 【分析】（1）利用点的坐标求出一次函数的表达式，进而求出点的坐标，再利用点的坐标求出反比例函数的表达式； （2）先求出点和点，设点，则，利用割补法表示出的面积，解方程求出的值． 【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为， 将代入，得， ∴一次函数的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：假设存在，如图，设点的坐标为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 化简，得， ∴， 解得或， ∴假设成立，点的坐标为或． 26．(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)8 【分析】（1）将点和点的坐标代入直线解析式即可求出m、n； （2）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出； （3）利用直线解析式求出点C坐标，根据，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵点和点在一次函数的图象上， ∴把点代入，得； 把点代入，得，解得； ∴，． （2）解：把代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵点为一次函数的图象与轴的交点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为8． 27．A 【分析】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答． 【详解】解：由图象可知：的值随着值的增大而减小， 故结论①错误； 一次函数的图象过点， ， ， ， 当时，， ∴， 方程的解为， 故结论②错误； 直线过， ， ， ； 故结论③错误； 由图象可知：方程组的解为， 故结论④正确 正确的结论有1个； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键． 28．C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． 29．(1)B (2) (3)只有一个实数根，理由见解析 【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与二元一次方程(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可． （3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可， 【详解】（1）解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：B （2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， ∵直线：与直线：交于点， 则， ∴两条直线的交点为， ∴方程组的解是， 故答案为：． （3）一元三次方程有1个实数根． 由方程得 ， ∴， ∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题， 如图所示： ， 两个函数图像只有一个交点， ∴一元三次方程只有一个实数根． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $