专题05 一次方程（组）及其应用（题型专练）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 一次方程（组）及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的定义与解法 题型02 二元一次方程（组）的定义与解的判断 题型03 代入消元法解二元一次方程组 题型04 加减消元法解二元一次方程组 题型05 含参数的一次方程（组）问题 题型06 一次方程的实际应用（和差倍分、行程、工程） 题型07 二元一次方程组的实际应用（销售、调配、配套） 题型08 一次方程与整式、分式的综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的定义与解法 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义得到，，求解可得答案． 本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ，， ． 故选：D． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 1.一元一次方程 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 2.一元一次方程的一般形式 ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 3.解一元一次方程 （1）去分母：在方程两边同乘所有分母的最小公倍数． 注意：①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，去分母后要加括号；③当分母中含有小数时，先将小数化为整数，再去分母． （2）去括号：先去小括号，后去中括号，再去大括号，运用乘法分配律展开括号． 注意：① 括号前是负号时，括号内各项要变号；② 括号前的数要乘括号内的每一项． （3）移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边． 注意：①移项时不要漏项；②移项要变号，未移项的项不变号． （4）合并同类项：分别合并等号两边的同类项，将方程化为 ax=b(a≠0)的形式． （5）系数化1：在方程两边同除以未知数的系数a，得解x=． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化1的顺序求解即可． 【详解】解：去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化1得，， 故答案为：． 题型02 二元一次方程（组）的定义与解的判断 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得，解方程组求出的值即可求解． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ， 解得：， ． 故答案为：． 【典例02】（2025·辽宁·模拟预测）若是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解的概念，将方程的解代入方程求解未知数是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，把代入方程，进而求出的值． 【详解】解：将 和 代入方程 ， 得 ， 即 ， 两边同时除以 ，得 ， 分母有理化，得 ． 故答案为：． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 1.二元一次方程 含有两个未知数，且未知数的次数均为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 2.二元一次方程的一般形式 ax+by+c=0 (a≠0,b≠0) ． 3.二元一次方程组 由两个或两个以上的一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）一共有两个或两个以上的方程，每个方程都是一次方程。 4.二元一次方程组的一般形式 （、不同时为0，、不同时为0） 5.二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 3 … … 3 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 3 … … … 则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】知识点：二元一次方程组的解的定义．方法：根据 “方程组的解同时满足两个方程”，对比两个方程的解表格，找出公共解．关键：明确 “相同x对应相同y” 是判断方程组解的核心标准．易错点：混淆单个方程的解与方程组的解，误选仅满足一个方程的解． 通过两个表格分别确定能够同时满足方程 和 的解． 【详解】从第一个表格中，的解中，当 时，； 从第二个表格中，的解中，当 时， 因此，同时满足两个方程的解为 ． 故选：C． 【变式02】（2025·辽宁·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 把x与y的值代入方程组求出，即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 题型03 代入消元法解二元一次方程组 典例引领 【典例01】（2025·辽宁铁岭·三模）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果． 【详解】解：将①式代入②式得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 题型04 加减消元法解二元一次方程组 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·一模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键在于熟练掌握加减消元法和代入消元法．用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①，得③， ，得， 解得，， 将代入①，得， 方程组的解是． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 解二元一次方程组的方法选择： 当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知方程组，则的值为 ． 【答案】9 【分析】把第一个方程减去第二个方程即可得到x+3y的值． 【详解】解：， ①-②得，x+3y=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的解法．解题的关键是掌握二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法． 题型05 含参数的一次方程（组）问题 典例引领 【典例01】小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据小明错误去分母得到的方程，将代入求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：∵小明去分母时，左边的1没有乘以10， ∴错误方程为：， 将代入错误方程， ， 解得， 那么原方程为：， 那么， 解得， ∴方程正确的解为， 故选：B． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 把已知解代入到原方程（组）中求出参数，再根据解方程（组）的正确步骤，解除方程（组）的正确的解。 变式演练 【变式01】甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错c，解得，则a = ，b = ，c = ． 【答案】 -5 【分析】先把代入cx-3y=-2求出c的值，再把和分别代入求解即可． 【详解】试题分析：把代入cx-3y=-2解得c=-5． 再把和分别代入得， 解得， 故答案为；；-5． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对二元一次方程组知识点的掌握．把已知解分别代入原方程组组合出新的二元一次方程组为解题关键． 题型06 一次方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 【典例02】（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 工作量=工作效率×工作时间． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·一模）班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的1.5倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需120元． (1)求甲，乙两种笔记本的销售单价各是多少元； (2)该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过340元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】(1)甲种笔记本的单价为15元，乙种笔记本的单价为10元 (2)该班级最多可以购买甲种笔记本8本 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙笔记本销售单价为元，则甲笔记本的单价为元，利用总价＝单价×数量，结合“甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设可以购买甲笔记本本，则购买乙笔记本本，利用总价＝单价×数量，结合总费用不超过340元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1） 解：设乙笔记本销售单价为元，则甲笔记本的单价为元， 依题意得：， 解得：，   ， 答：甲种笔记本的单价为15元，乙种笔记本的单价为10元． （2）解：设可以购买甲笔记本本，则购买乙笔记本本， 依题意得：， 解得：． 答：该班级最多可以购买甲种笔记本8本． 【变式02】（2025·辽宁本溪·三模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 题型07 二元一次方程组的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时，根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时． 根据题意，得 解得 所以，甲乙两地的距离为千米． 故选：B． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 （1）行程问题：路程=速度×时间． （2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （3）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （4）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （5）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 题型08 一次方程与整式、分式的综合应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【答案】(1)原来每天修路； (2)以后几天内平均每天至少要修路． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式． （1）设原来每天修路，根据工程队用天完成任务，列一元一次方程，解一元一次方程即可求出原来每天修多少千米； （2）设以后几天内平均每天要修路，根据至少比计划提前天完成任务，列关于的不等式，解不等式即可求出以后几天内平均每天至少要修路． 【详解】（1）解：设原来每天修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：原来每天修路； （2）解：设以后几天内平均每天要修路， 根据题意可得：， 解得：，答：以后几天内平均每天至少要修路． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 （1）列方程解应用题的一般步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案． （2）设未知数的常见方法： ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁铁岭·二模）近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A 型充电宝比2个B 型充电宝的生产成本多400元． (1)求1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． (2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的多1000个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A 型充电宝？ 【答案】(1)1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元 (2)4200 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程组和不等式是解题的关键． （1）设1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元，根据题意列出方程组求解即可． （2）设生产m个A 型充电宝，则生产个B型充电宝，根据“公司要求生产部门生产总费用不超过500000元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元， 则， 解得：， 答：1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元； （2）解：设生产m个A 型充电宝，则生产个B型充电宝，， 则， 解得：， 答：最多可生产4200个A 型充电宝． 题●型●训●练 1．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．2或3 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，有两个未知数，含有未知数的项的次数必须为1，且系数不为0，求解即可． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， 解得：， 故选：C． 3．墨墨在解方程●时，不小心用橡皮把其中的一项擦掉了，他只记得那一项是不含x的，看答案知道这个方程的解是，那么“●”处的数应该是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定理，“●”用a表示，把，代入方程得到一个关于a的方程，即可求解． 【详解】解：“●”用a表示，把，代入方程，得：， 解得：． 故选：B． 4．一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的，结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得： 故答案为：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，花了40元钱买了甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本4元，乙种笔记本每本8元，则张老师购买笔记本的方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】设购买甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买甲种笔记本x本，乙种笔记本y本， 依题意得：， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 6．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设开始高度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设开始高度为， 根据题意得，， 故选：． 7．某地有x间仓库及y件货物，若每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库；若每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库．以下等式：①；②；③；④．其中符合题意的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库和每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库分别表示出对应的货物总数和仓库数，进而分别建立方程即可得到答案． 【详解】解：∵每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库， ∴货物总数为件，仓库总数为间， ∵每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库， ∴货物总数为件，仓库总数为间 ∴，， ∴符合题意的有②③， 故选：C． 8．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 9．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元． (1)求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？ (2)若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？ 【答案】(1)甲种读本每本8元，乙种读本每本10元 (2)学校最多能购买乙种读本20本 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元”列方程组求解； （2）根据“总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的”列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲种读本每本x元，乙种读本每本y元．根据题意，得： ， 解这个方程组，得， 答：甲种读本每本8元，乙种读本每本10元． （2）解：设学校购买乙种读本m本，则购买甲种读本3m本． 根据题意，得， 解这个不等式，得 答：学校最多能购买乙种读本20本． 10．在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； (1)请求出该校共有多少名学生参加活动？ (2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 【答案】(1)该校共有270名学生参加活动 (2)租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）该校原计划租车x辆，根据两种租车方式的总人数相等列方程求解即可； （2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据题意列出不等式，化简为，根据，分别取，，，，求出相应租车费用进行比较即可． 【详解】（1）解：该校原计划租车x辆， 根据题意得：， 解得， （人）， 答：该校共有270名学生参加活动． （2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 所以， 化简得， 由（1）可知， 必须租2种车， ， 当时，，n最少为1，总租金为 ； 当时，，n最少为2，总租金为； 当时，，n最少为4，总租金为； 当时，，n最少为5，总租金为； 综上所述，租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． (1)这两种中国结各编织了几个？ (2)如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 【答案】(1)大号的中国结2个，小号的中国结4个 (2)5个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米进行列式计算，即可作答． （2）先根据小芳编织这两款中国结共15个，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合“50米的绳子”这个条件进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， ∴（个）， ∴大号的中国结2个，小号的中国结4个； （2）解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， 则50米的绳子最多可以编织个大号的中国结． 12．阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）本题先得，在求得，然后即可求解； （2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解； 【详解】（1）解：①②得：，即③， ③：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：猜测关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， ①②得：，即③， ③得：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， ∴这个方程组的解是． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次方程（组）及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的定义与解法 题型02 二元一次方程（组）的定义与解的判断 题型03 代入消元法解二元一次方程组 题型04 加减消元法解二元一次方程组 题型05 含参数的一次方程（组）问题 题型06 一次方程的实际应用（和差倍分、行程、工程） 题型07 二元一次方程组的实际应用（销售、调配、配套） 题型08 一次方程与整式、分式的综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的定义与解法 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 1.一元一次方程 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 2.一元一次方程的一般形式 ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 3.解一元一次方程 （1）去分母：在方程两边同乘所有分母的最小公倍数． 注意：①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，去分母后要加括号；③当分母中含有小数时，先将小数化为整数，再去分母． （2）去括号：先去小括号，后去中括号，再去大括号，运用乘法分配律展开括号． 注意：① 括号前是负号时，括号内各项要变号；② 括号前的数要乘括号内的每一项． （3）移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边． 注意：①移项时不要漏项；②移项要变号，未移项的项不变号． （4）合并同类项：分别合并等号两边的同类项，将方程化为 ax=b(a≠0)的形式． （5）系数化1：在方程两边同除以未知数的系数a，得解x=． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）方程的解为 ． 题型02 二元一次方程（组）的定义与解的判断 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【典例02】（2025·辽宁·模拟预测）若是方程的一个解，则 ． 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 1.二元一次方程 含有两个未知数，且未知数的次数均为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 2.二元一次方程的一般形式 ax+by+c=0 (a≠0,b≠0) ． 3.二元一次方程组 由两个或两个以上的一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）一共有两个或两个以上的方程，每个方程都是一次方程。 4.二元一次方程组的一般形式 （、不同时为0，、不同时为0） 5.二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 3 … … 3 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 3 … … … 则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·辽宁·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则 ． 题型03 代入消元法解二元一次方程组 典例引领 【典例01】（2025·辽宁铁岭·三模）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（    ） A． B． C． D． 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·一模）解方程组：． 题型04 加减消元法解二元一次方程组 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·一模）解方程组： 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 解二元一次方程组的方法选择： 当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知方程组，则的值为 ． 题型05 含参数的一次方程（组）问题 典例引领 【典例01】小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 把已知解代入到原方程（组）中求出参数，再根据解方程（组）的正确步骤，解除方程（组）的正确的解。 变式演练 【变式01】甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错c，解得，则a = ，b = ，c = ． 题型06 一次方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【典例02】（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 工作量=工作效率×工作时间． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·一模）班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的1.5倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需120元． (1)求甲，乙两种笔记本的销售单价各是多少元； (2)该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过340元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【变式02】（2025·辽宁本溪·三模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（    ） A． B． C． D． 题型07 二元一次方程组的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 （1）行程问题：路程=速度×时间． （2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （3）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （4）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （5）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 题型08 一次方程与整式、分式的综合应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 方法透视 考向解读 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 方法技能 （1）列方程解应用题的一般步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案． （2）设未知数的常见方法： ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量． 变式演练 【变式01】（2025·辽宁铁岭·二模）近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A 型充电宝比2个B 型充电宝的生产成本多400元． (1)求1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． (2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的多1000个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A 型充电宝？ 题●型●训●练 1．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 2．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．2或3 3．墨墨在解方程●时，不小心用橡皮把其中的一项擦掉了，他只记得那一项是不含x的，看答案知道这个方程的解是，那么“●”处的数应该是（    ） A． B．1 C．2 D． 4．一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 5．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，花了40元钱买了甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本4元，乙种笔记本每本8元，则张老师购买笔记本的方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．某地有x间仓库及y件货物，若每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库；若每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库．以下等式：①；②；③；④．其中符合题意的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 9．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元． (1)求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？ (2)若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？ 10．在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； (1)请求出该校共有多少名学生参加活动？ (2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． (1)这两种中国结各编织了几个？ (2)如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 12．阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $