9.1.2分层随机抽样 9.1.3获取数据的途径课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.1　随机抽样 9.1.2分层随机抽样 9.1.3获取数据的途径 第九章 统计 学习目标 1.通过实例了解分层随机抽样的特点和适用范围. 2.了解分层随机抽样的必要性. 3.掌握各层样本量化比例分配的方法. 重点：分层随机抽样的方法及计算. 难点：实际问题中抽样方法的选择与操作. 知识梳理 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 一、分层随机抽样的概念 二、分层随机抽样的特点 （1）从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况. （2）分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于 . （3）分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛. 三、分层随机抽样的实施步骤 （1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层； （2）根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k＝ ； （3）确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k（Ni为第i层所包含的个体数），使得各ni之和为n； （4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本.   总体平均数和为 ， 样本平均数 . 四、分层随机抽样中的平均数 1.通过调查获取数据：对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据. 2.通过试验获取数据：通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础. 五、数据获取途径 3.通过观察获取数据：通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，其中蕴含着所观察现象的本质信息，这些信息十分宝贵，统计学理论和方法是挖掘这些信息的强有力的工具之一. 4.通过查询获得数据：我们可以收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.我们往往把这样获得的数据叫做二手数据.随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式.但从网络上查找的数据，因为数据来历和渠道多样，所以质量会参差不齐，必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真，为进一步的数据分析奠定基础. 例 一　分层随机抽样的理解 常考题型 从某地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查.经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （　　） A.抽签法 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.随机数法 【解析】　∵ 小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异， ∴ 学段对统计结果影响较大.∵ 同一学段男女生肺活量差异不大， ∴ 性别对统计结果无明显影响， ∴ 最合理的抽样方法是按学段分层随机抽样. 故选C. 【答案】　C 解题方法 分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则 （1）前提：分层随机抽样的适用前提是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小. （2）遵循的两个原则： ①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； ②分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比. 选择抽样方法的思路 （1）若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层随机抽样. （2）若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样.当总体中的个体数较小时，宜用抽签法；当总体中的个体数较大、样本量较小时，宜用随机数法. 训练题 B　 D　 解题方法 分层随机抽样中各层样本量的求法 （1）已知总体中的个体数、样本量及各层的个体数时，首先确定抽样比 ，其中N为总体中的个体数，n为样本量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni× ，其中Ni为第i（i＝1，2，…，k）层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数. （2）已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n× （i＝1，2，…，k）. 训练题 A　 C　 解题方法 分层随机抽样中有关量的求解技巧 （1） ＝ . （2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比. 对于分层随机抽样中求总体中的个体数，样本量，某层个体数及某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解. 训练题 A　 200　 训练题 训练题 B　 训练题 D　 小结 1.分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则 （1）前提：分层随机抽样的适用前提是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小. （2）遵循的两个原则： ①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则； ②分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比. 2.确定各层样本量的方法 4.分层随机抽样平均数的计算 3.分层随机抽样的步骤 5.数据获取途径 1.［2020·广东深圳市福田区红岭中学高一联考］对一个容量为N的总体抽取容量为n（n≥2）的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p1，某个个体第一次被抽中的概率为p2；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率分别为p3，则 （　　） A.p2<p1<p3 B.p1＝p2＝p3 C.p2<p1＝p3 D.p1，p2，p3，没有关系 2.［2020·海南中学高三检测］某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2 400人，中部丘陵地区的学生有1 600人，西部山区的学生有1 000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （　　） A.随机数法 B.按性别分层随机抽样 C.抽签法 D.按地区分层随机抽样 二、分层随机抽样的相关计算 1.求各层样本量 例［2020·天津七中高一期中］一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2∶3∶5，若用分层随机抽样的方法抽取样本量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为（　　） A.100 B.80 C.60 D.40 【解析】　由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2∶3∶5， 采用分层随机抽样的方法抽取容量为200的样本， 所以高三学生抽取的人数为200×＝100， 故选A. 【答案】　A 1.［2020·宁夏石嘴山市第三中学高三一模］某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是 （　　） A.12 B.15 C.20 D.21 2.［2019·山东昌乐一中高二联考］某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为k∶5∶3，现用分层随机抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为 （　　） A.24 B.30 C.36 D.40 2.求总体中的个体数 例［2019·天津河北区高三二模］相关部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N的值为　　　　. 【解析】　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人， 所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝， 所以驾驶员的总人数N＝（12+21+25+43）÷＝808. 【答案】　808 1.［2020·新疆阿克苏市实验中学高二期末］从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为 （  ） A.120 B.200 C.100 D.150 2.［2020·湖北武汉二中高二期末］ 某校有高级教师25人，中级教师100人，其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层随机抽样从该校的所有教师中抽取40人进行调查，已知从其他教师中共抽取了15人，则该校共有教师　　　　人. 三、分层随机抽样的方案设计 例 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 【解】　用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下： （1）分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工，35岁至49岁的职工，50岁及50岁以上的职工.（2）确定抽样比：抽样比为＝. （3）确定每层抽取个体的个数. 在不到35岁的职工中抽取125×＝25（人）；在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56（人）； 在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19（人）. （4）在各层分别按简单随机抽样或随机数法抽取样本.（5）汇总每层抽样，组成总样本. 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程. 解：（1）按3个区分成三层，用分层随机抽样来抽取样本. （2）确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5， 所以抽取的学生人数分别是200×＝40，200×＝60，200×＝100. （3）在各层分别按随机数法抽取样本. （4）综合每层抽样，组成容量为200的样本. 四、分层随机抽样的平均数 例 为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机抽样的方法，从全区320名正科级干部和1 280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表： 分组 人数 平均成绩 正科级干部组 a 97 副科级干部组 b 95 （1）求a，b； （2）求这40名科级干部预测成绩的平均分. 【解】　（1）样本量与总体中的个体数的比为＝， 则抽取的正科级干部人数a＝320×＝8， 副科级干部人数b＝1 280×＝32. （2）这40名科级干部预测成绩的平均分＝＝95.4. 解题方法 分层随机抽样平均数的计算方法 （1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别 为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为和，则样本平均数 为＝+＝+. （2）设有N个个体的总体可划分成n个有明显差异的部分，抽取的样本中不同层的 平均数分别为1， 2，…， n，对应各层的频数分别为f1，f2，…，fn ，则样本平均数 为＝fii. 1.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高为（　） A.1.57 m B.1.56 m C.1.55 m D.1.54 m 2.假设某大学有2万名学生，其中女生占70%，按性别分层随机抽样，并分别在男生、女生层中各随机抽取100人进行调查，得到男生的月平均消费水平为1 200元，女生的月平均消费水平为1 000元，试估计全校学生月平均消费水平. 2解： 30%×1 200+70%×1 000＝1 060（元）. 题组五　 获取数据的途径 例 “中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是我国自主知识产权的射电望远镜.建造 “中国天眼”的目的是 （　　） A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据 【答案】C 1.下列数据一般是通过试验获取的是 （　　） A.1988年济南市的降雨量 B.2019年新生儿人口数量 C.某学校高一年级同学的数学测试成绩 D.某种中成药的配方 2.为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台私家车限行的政策，为此要进行民意调查.某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗？ 2解：（1）一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益.为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民. （2）调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿.因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机地抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民. $