对数函数的单调性问题、最值与值域问题、实际应用问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

对数函数的单调性问题、最值与值域问题、实际应用问题专项训练 对数函数的单调性问题、最值与值域问题、实际应用问题专项训练 考点目录 对数函数的单调性问题 对数函数的最值与值域问题 对数函数的实际应用问题 考点一 对数函数的单调性问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化，结合的单调性得到，再由指数函数的性质得，利用的单调性得，最后由对数函数的单调性即可得. 【详解】由，且， 由对勾函数单调性在上单调递增，都在内， 所以， 由，结合指数函数的单调性知，则， 由在上单调递减， 所以，则， 所以， 综上，. 例2．（25-26高三下·江苏连云港·月考）已知实数，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，换元，，利用复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，利用二次函数的单调性列出不等式求出答案. 【详解】， 令，则， 因为且在上单调递增，所以， 因为函数在区间上单调递减，且， 所以函数在区间上单调递减， 又函数为开口向下的抛物线，对称轴为， 因此， 所以. 例3．（25-26高三上·上海·月考）函数的严格减区间为____________. 【答案】. 【分析】由对数函数的定义域以及复合函数的单调性可知且是减函数，可得到，由此求得函数的减区间. 【详解】因为对数函数底数，外函数为增函数， 故函数的减区间即为内函数在定义域内的减区间， 即且是减函数， ， 解得， 故函数的严格减区间为： . 例4．（25-26高三上·贵州遵义·月考）函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，然后根据二次函数的单调性及复合函数单调性判断原则进行判断即可. 【详解】令，解得或，所以的定义域为， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在定义域上为减函数， 所以的单调增区间为. 变式1．（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 变式2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造且，并应用导数得到，结合即可得. 【详解】令且，则， 所以在上单调递减，则， 即， 由于， 且， 所以， 所以. 变式3．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】 令，不等式转化为，， 当时，， 解得， 当时，显然不成立， 所以， 即. 变式4．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解. 【详解】因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 考点二 对数函数的最值与值域问题 例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 例2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为对恒成立，再利用判断式法即可得到的范围，最后利用符复合函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得对恒成立， 则，解得. 则， 根据复合函数单调性知在上单调递减，则. 故选：C. 例3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定的函数式及函数值求出，再判断代入求出目标值. 【详解】函数，当时，， 当时，，由，得，则，解得， 所以. 故答案为： 例4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 【答案】 【分析】利用复合函数的定义域的求法求得的定义域，进而利用的单调性可求得值域. 【详解】由于，故，所以的定义域为， 而单调递增，则值域为． 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，,要使函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】令，则, 令, 所以函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：， 解得：, 所以实数的取值范围是 故选：A 变式2．（25-26高三上·山东枣庄·月考）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D．,2] 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：B 变式3．（25-26高一上·江西宜春·期末）若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 【答案】或 【分析】由是单调函数可确定最值取在区间端点，列绝对值方程求解. 【详解】因为是单调函数，所以是单调函数，其最大值和最小值分别取在区间的两个端点处， 所以，即， 所以或，解得或， 故答案为：或 变式4．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】分，，，，，六种情况分别讨论说明函数在对应区间上的函数值的变化情况求解即可. 【详解】当时，第一段函数在为增函数，函数值的范围为，无最小值，不满足题意； 当时，第一段函数为常函数；第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，即， ，即 所以，时，函数的值域范围为，不存在最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以函数的值域为，无最小值； 当时，第一段函数在为减函数， 函数值的范围为，且， 第二段函数与第三段函数在对应的区间上的函数值为非负数， 所以，函数的值域为，无最小值. 综上，函数有最小值，实数的取值范围是. 故答案为： 考点三 实际应用问题 例1．（25-26高一上·安徽宣城·期末）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 【答案】A 【分析】依题意得，，即可求解． 【详解】某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，即进入消除期， 则， 得， 得， 故选：A 例2．（24-25高三上·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 例3．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D. 【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 例4．（2025·辽宁·模拟预测·多选）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 【答案】ABD 【分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可判断各选项. 【详解】记表示震级为级地震的能量， 对于项，若，则，所以，故A项正确； 对于B项，若，则，所以，故B项正确； 对于C项，，则，故C项错误； 对于D项，，则，故D项正确. 故选：ABD. 例5．（25-26高三上·福建厦门·月考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则_____． 【答案】9 【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 例6．（25-26高三上·广东惠州·月考）某飞行器启动反冲装置后，运动速率与时间近似满足指数函数模型（为常数）.已知某飞行器启动反冲装置后，经过1个单位时间，飞行器的运动速率衰减，若经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的，则的最小值为______.（参考数据：） 【答案】8 【分析】设飞行器的运动速率在启动反冲装置时的原始量为1，经过个单位时间后，该飞行器的运动速率为，可得，结合指数函数的单调性、换底公式可求得的最小值. 【详解】设飞行器的运动速率在启动反冲装置时的原始量为1，经过个单位时间后，该飞行器的运动速率为， 则由题意可得函数模型， 因为当经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的， 所以， 故， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 变式1．（2025·广东·模拟预测）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 变式2．（25-26高三上·江苏扬州·月考）阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算的值，即可得解. 【详解】因为， 所以，估计以内的素数个数为. 故选：B. 变式3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测·多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 【答案】AC 【分析】本题首先要读懂公式，然后根据题意合理代入数据进行对数运算对选项进行一一检验即可得到答案. 【详解】设为地震震级加1级的地震震级，新的地震的能量，新的最大振幅为， 设为地震震级加2级的地震震级，新的地震的能量， 因为，所以，故A正确； 因为， 所以，所以B错误； 因为， 所以， 所以C正确； 因为， 所以， 所以D错误. 故选：AC. 变式4．（2026·河南南阳·模拟预测·多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算性质逐项求解判断. 【详解】对于A，响度级增加10方对应的响度为，则， 因此，即，则响度级每增加10方，响度约增加一倍，A正确； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，解得，C错误； 对于D，当时，，解得，D正确. 故选：ABD 变式5．（24-25高一上·北京延庆·期末）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【分析】对于①，由求出即可；对于②，利用复合函数的单调性判断即可；对于③，令，，分别求出，，计算即可；对于④，令，，分别求出，，计算即可. 【详解】对于①，由即，可得， 因此等级为0dB的声音强度为，故①正确； 对于②，令，则，易知和在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确； 对于③，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确； 对于④，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误. 故答案为：①②③. 变式6．（25-26高三上·四川内江·月考）某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型推导出函数关系为，k为正的常数，其中物体原来的温度和环境温度为、（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟）.现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，当时，则这壶开水冷却到40℃大约需要______分钟（参考数据：） 【答案】28 【分析】根据冷却模型公式可以将数据代入直接就算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为：28. 2 学科网（北京）股份有限公司 $对数函数的单调性问题、最值与值域问题、实际应用问题专项训练 对数函数的单调性问题、最值与值域问题、实际应用问题专项训练 考点目录 对数函数的单调性问题 对数函数的最值与值域问题 对数函数的实际应用问题 考点一 对数函数的单调性问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·江苏连云港·月考）已知实数，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·上海·月考）函数的严格减区间为____________. 例4．（25-26高三上·贵州遵义·月考）函数的单调递增区间是______． 变式1．（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）已知函数，则不等式的解集为______. 变式4．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 考点二 对数函数的最值与值域问题 例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为__________. 例4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，则的值域为___________． 变式1．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·山东枣庄·月考）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D．,2] 变式3．（25-26高一上·江西宜春·期末）若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为______. 变式4．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 考点三 实际应用问题 例1．（25-26高一上·安徽宣城·期末）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 例2．（24-25高三上·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·辽宁·模拟预测·多选）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 例5．（25-26高三上·福建厦门·月考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则_____． 例6．（25-26高三上·广东惠州·月考）某飞行器启动反冲装置后，运动速率与时间近似满足指数函数模型（为常数）.已知某飞行器启动反冲装置后，经过1个单位时间，飞行器的运动速率衰减，若经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的，则的最小值为______.（参考数据：） 变式1．（2025·广东·模拟预测）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（25-26高三上·江苏扬州·月考）阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（    ）（素数即质数，，计算结果取整数） A． B． C． D． 变式3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测·多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 变式4．（2026·河南南阳·模拟预测·多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 变式5．（24-25高一上·北京延庆·期末）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是______. 变式6．（25-26高三上·四川内江·月考）某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型推导出函数关系为，k为正的常数，其中物体原来的温度和环境温度为、（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟）.现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，当时，则这壶开水冷却到40℃大约需要______分钟（参考数据：） 2 学科网（北京）股份有限公司 $