精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期04月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 2. 是为奇函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在点 处的切线为 ，若 与圆相切，则的值为（    ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知点为椭圆上任意一点，直线 过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点， 为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 若平面，则动点 的轨迹是一条线段 C. 若平面，则动点 的轨迹的长度为 D. 若，则动点 的轨迹长度为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 10. 将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的对称轴过的对称中心 D. ，使得 11. Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（ ） A. 函数在定义域上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子” D. ，当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前 项和为，且，，则______． 13. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 14. 若关于x的方程至少有2个不同的根，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为的内角所对的边，且． （1）求； （2）已知 是边 的中点，求 的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面 ，，平面和平面的交线为 ，且. （1）求证：平面； （2）若直线和平面所成角的正弦值为，求平面和平面 所成角的正切值. 17. 2024年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 18. 的顶点，，且的周长为6，记点 的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点的动直线 与交于点，证明：恒为钝角． 19. 已知函数为无理数且 （1）求在区间的最值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）对于，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合 ，再结合交集、子集的定义，即可求解. 【详解】由，则，元素个数为3个， 则集合的子集个数为个； 故选：C 2. 是为奇函数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断可得答案. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称， 时的定义域不一定关于原点对称， 所以不是为奇函数的充分条件； 如果为奇函数在 处有定义时有， 在 处没有定义时没有， 所以不是为奇函数的必要条件； 综上，是为奇函数的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 4. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种． 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵，∴增加两个样本点后 的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 6. 已知函数在点 处的切线为 ，若 与圆相切，则的值为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线 的方程，再由直线与圆相切的判断方法列方程，即可求出参数的值. 【详解】由求导得：，则函数在点 处的切线斜率为， 又，故切线方程为：， 由题意，圆心到直线的距离为， 解得：. 故选：C. 7. 已知点为椭圆上任意一点，直线 过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量运算可得，再由椭圆可知，即可得结果. 【详解】因为，圆心，半径为1，则， 可得， 由椭圆方程可知：，即 恰为椭圆 的右焦点， 则，所以. 故选：A. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点， 为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 若平面，则动点 的轨迹是一条线段 C. 若平面，则动点 的轨迹的长度为 D. 若，则动点 的轨迹长度为 【答案】A 【解析】 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点 、 ，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点 的四等分点 ，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点 的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得 在平面内轨迹，同理可得点 所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A：由四边形为正方形， 故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为， ， 故， 又，则， 故，，因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B：取与中点 、 ，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点 的轨迹是除去点，故B错误； 对于C：取靠近点 的四等分点 ，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故 ， 故，又，、平面， 故平面，又平面，故动点 的轨迹为线段， ，故C错误； 对D：若平面，因为平面，平面， 故，由，则， 即点 的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 同理可得，点 也可为以 为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 点 也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 对于A， 的虚轴长，A正确； 对于B， 的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误； 对于D，直线的斜率为，而点 不在 上，点在 上，则直线PF的斜率不等于，D正确. 故选：AD 10. 将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于y轴对称，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的对称轴过的对称中心 D. ，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平移法则结合得到，得到A正确B错误；计算对称轴代入函数得到C正确，根据范围计算两个函数的值域得到D错误，得到答案. 【详解】，的图像与的图像关于y轴对称， ，即，，，经检验，满足题意，故选项A正确，选项B不正确； ，，的对称轴满足，即，，即的对称轴过的对称中心，故选项C正确； 当时，，的值域为， 当时，，的值域为，，故选项D不正确． 故选：AC 11. Swish函数和函数是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是（ ） A. 函数在定义域上单调递增 B. 不等式的解集为 C. 若函数满足恒成立，则称为“可交换算子”，Swish函数和ReLU函数是“可交换算子” D. ，当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得，令，求得，得到单调递增，由，存在，使得，求得函数的单调性，可判定A错误；由函数其图象，结合，列出不等式组，可判定B正确；分别求得和的解析式，可判定C正确；当时，得到，结合，可判定D正确． 【详解】对于A中，由函数， 可得， 令，可得，所以单调递增， 因为， 由零点存在定理，存在，使得， 当时，，即，函数递减，所以A错误； 对于B中，由函数 ，则函数其图象（如图所示）， ，则满足或 解得或，所以B正确； 对于C中，已知，对于函数， 当时，，所以； 当时，，所以， 即， 对于函数， 当时，，所以； 当时，，所以， 即，可得， 所以函数和函数是“可交换算子”，所以C正确． 对于D中，当时，可得，因为， 所以对任意，存在使得时，使得，即误差小于，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前 项和为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 13. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数． 【详解】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 14. 若关于x的方程至少有2个不同的根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简转化为至少有2个不同的根，再构造函数，结合导函数得出函数单调性，结合得出参数范围. 【详解】因为不是方程的根， 又，故，方程化为， 记，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以原命题等价于在上至少有2个不同的根， 所以或，即或， 令，则， 所以单调递增；单调递减； 且当，当，当， 所以，作出函数的草图： 当时，与有一个交点，与有一个交点，所以或有两个根符合题意； 当时，与有一个交点，与有一个交点，所以或有两个根符合题意； 当时，与有两个交点，与有一个交点，所以或有三个根符合题意； 当时，与有一个交点，与有两个交点，所以或有三个根符合题意； 所以或， 所以实数a的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为的内角所对的边，且． （1）求； （2）已知 是边 的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理、辅助角公式进行求解即可； （2）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理有 ． 因为， 所以 ， ， 则有， ． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理可知 ，当且仅当时，“ ”成立． 是 的中点，， 两边平方得，即， 由（1）知，代入得， ， ， 所以的最大值为． 16. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，平面和平面的交线为 ，且. （1）求证：平面； （2）若直线和平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角的正切值. 【答案】（1）因为，，， 即. 又因为平面平面且平面 平面， 所以平面， 又因为 平面，所以， 又因为 ，，所以平面， （2）. 【解析】 【分析】（1）由、 、的长度利用勾股定理逆定理得到，由平面平面，利用平面与平面垂直的性质定理得到平面，从而得到，由线面垂直的判定定理得到平面. （2）由平面平面利用面面平行的性质定理得到平面.由平面 平面 利用面面平行的性质定理得到，从而得到直线和平面所成角的正弦值为.由平面，得到 是直线和平面所成角，又，从而得到的值.如图1，过点作的垂线，垂足为 ，过点 作的垂线，垂足为 ，连接.由平面平面利用平面与平面垂直的性质定理得到，平面，则有是平面和平面所成角.设平面和平面所成角为，从而得到，得到所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，， 所以平面. 又因为平面 平面 ， 所以，则直线和平面所成角的正弦值为. 因为平面， 所以 是直线和平面所成角， 故，解得. 如图1，过点作的垂线，垂足为 ，过点 作的垂线，垂足为 ，连接. 因为平面平面且平面 平面， 所以平面， 所以是平面和平面所成角. 设平面和平面所成角为， 因为，， 所以. 所以平面和平面所成角的正切值为. 17. 2024年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）可应用二项分布求解3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，分别求出，进而可得不同取值时的概率，列出分布列，求出期望即可． 【小问1详解】 记3人中通过第一轮的人数为，由题意可知， 记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件 ， 则． 【小问2详解】 记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为， 则， ， ， 由相互独立可知， ， ， 所以的分布列是： 0 1 2 3 则的数学期望是． 18. 的顶点，，且的周长为6，记点 的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点的动直线 与交于点，证明：恒为钝角． 【答案】（1） （2）证明：当直线 的斜率不存在时，直线 方程为， 代入椭圆：，此时、， 则； 当直线 斜率存在时，设其斜率为 ， 则直线 方程为：，代入椭圆，得， 整理得：， 设、，则， 所以， 代入得， ； 综上：，对任意动直线 恒成立， 故恒为钝角． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可得答案； （2）设过的直线 ，与椭圆联立，利用韦达定理求得，计算，对斜率不存在情况验证亦成立，故恒为钝角． 【小问1详解】 已知的周长为6，所以， 所以点 的轨迹是以为焦点的椭圆，（除去所在直线上的点，因为三点不共线才能构成三角形） 焦距，长轴长， 由， 故的方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知函数为无理数且 （1）求在区间的最值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）对于，证明：． 【答案】（1）． （2） （3）由（2）可知在恒成立， 则有在恒成立， 令，则有恒成立， 所以， 又， 则. 【解析】 【分析】（1）通过二次求导，确定在区间的单调性，即可求解； （2）通过讨论，说明使得 不符合题意，得到，再通过放缩，构造函数，通过二次求导确定单调性即可求解； （3）由（2）得到，推出，再结合，即可求证. 【小问1详解】 ，可知， 令，则， 易得当时， ，当时， ， 即在单调递减，在上单调递增， ，则在单调递增， 所以． 【小问2详解】 构造函数， ， 易知 ，若， 则使得在上单调递减，，与题意矛盾， 则， 此时， 令，只需证 在恒成立即可． ， 令，则， 恒成立，即在单调递增， 在单调递增，则恒成立， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $