10.3_实际问题与二元一次方程组--学历案（第三课时）2025-2026学年七年级下册人教版数学

人教2024版七年级数学下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 学历案 课时：第3课时（40分钟） 设计者：________ 日期：________ 学生版学历案 班级：______ 姓名：______ 学号：______ 得分：______ 课前3分钟检测 1. 列二元一次方程组解应用题的六步：→____→____→____→____→ 2. 运费=______ 3. 利润=销售额-总成本 学习目标 1. 能用表格法梳理复杂问题的数量关系，列出二元一次方程组 2. 掌握运输利润类问题的解题方法，会统一单位 3. 体会表格在解决多量问题中的作用 核心探究：丝路纺织厂运输利润问题 题目：丝路纺织厂与A、B两地由公路、铁路相连。从A地购进长绒棉运回工厂，制成面料运往B地。已知： · 长绒棉进价：3.08万元/t，面料出厂价：4.25万元/t · 公路运价：0.5元/(t·km)，铁路运价：0.2元/(t·km) · 两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元 问：这批面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？ 步骤1：用表格梳理数量关系 设购买长绒棉，制成纺织面料。 运输里程（km） 运费（元） 公路 铁路 公路 铁路 长绒棉（A地→工厂） 面料（工厂→B地） 合计 5200 16640 步骤2：找等量关系，列方程组 · 等量关系1：长绒棉公路运费 + 面料公路运费 = 总公路运费 · 等量关系2：长绒棉铁路运费 + 面料铁路运费 = 总铁路运费 最终方程组： 步骤3：解方程组 解：化简方程组得： 解得： 步骤4：检验与计算利润 · 检验：代入原方程组，左边=右边，解正确；，，且（原料多于产品），符合实际 · 原料费：万元 = 元 · 总运输费：元 · 销售额：万元 = 元 · 利润差：元 步骤5：作答 答：这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多元。 当堂过关 A组·基础必做（全员完成） 1. 某运输队运送甲、乙两种货物，甲种货物每吨运费20元，乙种货物每吨运费15元。已知运送甲种货物吨，乙种货物吨，共付运费1300元，且甲种货物比乙种货物多10吨。列方程组：______ 2. 解上面的方程组： B组·能力提升（中等以上完成） 3. 一批货物要运往某地，货主租用甲、乙两种货车，两次租用情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车辆数 2 5 乙种货车辆数 3 6 累计运货吨数 15.5 35 现租用3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完。如果每吨运费30元，货主应付运费多少元？ C组·思维拓展（学有余力完成） 4. 若长绒棉的进价上涨0.2万元/t，面料的出厂价上涨0.3万元/t，其他条件不变，利润差会变成多少？ 课后作业 1. 必做：课本P102 习题10.3 第6、7题（写清六步解题过程） 2. 选做：课本P103 第8题 3. 实践：调查家里一次快递的运费标准，设计一个用二元一次方程组解决的运输问题 【教师版·逐分钟教案】 一、基本信息 · 课题：10.3 实际问题与二元一次方程组（第三课时） · 课时：1课时 · 课标依据：2024版义务教育数学课程标准 · 核心素养：数学建模、运算能力、数据分析、应用意识 二、学习目标 1. 能用表格法梳理复杂运输问题的数量关系，提取公路、铁路总运费两个等量关系，列出二元一次方程组 2. 掌握“运费=运价×重量×里程“的建模逻辑，规范完成“审→设→列→解→验→答“六步解题 3. 体会表格在多量复杂问题中的梳理作用，养成先统一单位再计算的严谨习惯 三、评价任务 学习目标 评价方式 达标标准 目标1 课堂提问、小组展示 能独立完成数量关系表格，准确说出两个等量关系 目标2 学生板演、当堂练习 解题步骤完整，单位统一，计算结果正确 目标3 课堂小结、拓展练习 能主动用表格梳理3个及以上数量的实际问题 四、课前准备清单（教师提前1天完成） 1. 打印学生版学历案（每人1张，仅保留学生填空部分） 2. 打印空白数量关系模板卡（每人1张） 3. 打印3张典型错题卡片 4. 黑板提前分三块：左侧知识点、中间核心例题、右侧学生板演区 五、精准课堂时间轴（逐分钟落地） 时间 环节 教师活动 学生活动 设计意图 0-3分钟 课前检测+导入 “上课！完成课前3分钟检测，写完举手。前两节课我们解决了饲料和土地划分问题，今天我们用表格法解决更复杂的运输利润问题。“ 独立完成检测，核对答案，齐读学习目标 快速衔接旧知，点明本节课核心方法 3-9分钟 读题+表格梳理 “默读题目1分钟，圈出所有数字。现在我们一起填表格：第一行填长绒棉的运输里程，第二行填面料的运输里程。谁来说说长绒棉从A地到工厂，公路走了多少公里？“ 默读题目，圈画已知量，跟着问题链一步步填写表格 用问题链引导填表，化繁为简，突破多量混淆难点 9-16分钟 找等量关系+列方程组 “给大家2分钟，小组讨论：总公路运费是哪两部分相加？总铁路运费呢？好，第四组派代表来说。非常好！全班一起把方程组写在学历案上。“ 小组讨论，根据表格推导运费表达式，列出方程组 让学生主动从表格提取信息，自主建构数学模型 16-23分钟 解方程组+规范书写 “3分钟解这个方程组，写完举手。请两位同学到黑板上板演。大家看，先化简再代入是不是计算量小很多？“ 独立解题，两位学生板演，全班互评纠错 强化先化简的计算技巧，规范解题步骤 23-29分钟 检验+计算利润差 “解出来之后，先做双重检验。然后我们分步计算：先算原料费，再算运输费，最后算销售额和利润差。注意单位统一！“ 完成双重检验，分步计算各项费用，得出最终结果 培养严谨的计算习惯，落实问题的最终求解 29-32分钟 总结表格法 “通过这道题，表格法帮我们解决了什么问题？以后遇到有3个以上数量的问题，都可以先用表格梳理。“ 自由发言，总结表格法的优势和适用场景 提炼通用方法，形成解决复杂问题的策略 32-38分钟 当堂过关+分层批改 “A组题所有人5分钟完成，写完举手我来批改。B组题中等以上完成，C组题学有余力思考。“ 独立完成训练题，教师面批学困生，辅导中等生 当堂检测，及时反馈，做到堂堂清 38-40分钟 小结+作业 “今天你学会了什么？解决复杂问题最有效的工具是什么？作业：必做课本第102页第6、7题，写清六步；选做第8题。下课！“ 自由发言，记录作业 梳理知识，布置分层作业 六、教师专用·课堂急救包 【学生常见错误+精准应对话术】 1. 错误1：单位不统一，万元和元直接相加 应对：原料费和销售额的单位是万元，运费是元，计算时要统一成元或者统一成万元，不然结果会差10000倍哦。 2. 错误2：搞反长绒棉和面料的运输里程 应对：我们看地图：长绒棉从A地来，走120km铁路+10km公路；面料运到B地，走20km公路+110km铁路，大家再核对一下表格。 3. 错误3：解完方程组就结束，忘记计算利润差 应对：题目问的是销售额比原料费与运输费的和多多少，所以解出x和y只是第一步，还要计算这三项费用的差哦。 4. 错误4：化简方程组时计算错误（如5200÷5算成104） 应对：化简的时候一定要仔细，多写一步，避免少写0或者多写0。 【分层提问策略】 · 学困生：长绒棉的公路里程是多少公里？每吨长绒棉的公路运费是多少元？ · 中等生：总公路运费怎么用x和y表示？化简第一个方程得到什么？ · 学优生：如果不统一单位，计算结果会有什么错误？你能设计另一种表格来梳理这个问题吗？ 【学困生帮扶策略】 1. 提前发放填好表头和运费表达式的帮扶卡 2. 课堂巡视时，手把手教他们对应表格的行和列 3. 先批改学困生的A组题，及时纠正计算错误 4. 安排同桌一对一帮扶，让中等生检查学困生的表格填写 七、板书设计（最终版） 左侧（红色粉笔写知识点） 中间（白色粉笔写例题） 右侧（学生板演区） # 10.3 实际问题与二元一次方程组（3）六步解题法 审→设→列→解→验→答 核心方法 表格法梳理数量关系 公式 运费=运价×重量×里程 利润=销售额-成本-运费 运输利润问题 设：长绒棉，面料 方程组： 解： 利润差：1258160元 学生板演： 当堂训练第2题 易错点（红色标注）： 1. 单位不统一 2. 搞反运输里程 3. 忘记算利润差 学科网（北京）股份有限公司 $