10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时）-【名校作业】2025-2026学年七年级下册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦用二元一次方程组解决实际问题，通过“悟空顺风探妖踪”古算题导入，承接方程组解法，为数量、几何、行程问题应用搭建学习支架，梳理从方程到实际应用的知识脉络。 特色在于情境化导入激发兴趣，分类型探究培养数学眼光，步骤归纳训练数学思维，表格辅助分析强化数学语言。如养牛场问题、土地划分问题，帮助学生建立模型意识，提升解决实际问题能力，为教师提供清晰教学流程和多样化例题。

10.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题. 2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题. 3.经历用方程组解决实际图形问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 【过程与方法】 通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会方程解决问题的优越性. 【情感态度与价值观】 进一步培养学生建模解决实际问题的能力，培养严谨缜密的思维习惯，继续渗透方程的数学思想. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时 共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 能够根据题意找出相等关系，根据相等关系列出方程组解决实际问题． 【教学难点】 准确找到实际问题中的相等关系，解释结果的合理性． 五、课前准备 教师：课件. 学生：铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟. 归时四分行六百，风速多少才称雄？ （二）探索新知 1.出示课件4-6，探究列二元一次方程组解答较简单问题 教师出示问题：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20 kg，每头小牛1天需饲料78 kg.你认为李大叔估计的准确吗？ 教师问：题中有哪些未知量？ 学生答：每头大牛1天约用的饲料;每头小牛1天约用的饲料. 教师问：你如何设未知数？ 学生答：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg. 教师问：题中有哪些等量关系？ 教师依次展示学生答案： 学生1答：30头大牛和15头小牛一天约用饲料为675kg. 学生2答：(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天约用饲料为940kg. 教师总结如下：(1)30头大牛和15头小牛一天约用饲料为675kg； (2)(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天约用饲料为940kg. 教师问：你能解答上面的问题吗？ 师生共同解答. 解:设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg. 根据等量关系，列方程组 解方程组，得 答: 每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计大牛1天需饲料18~20千克，每头小牛1天需饲料7~8千克与计算有一定的出入. 教师问：你能总结一下列方程解应用题的步骤吗？ 师生共同解答：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等． 考点1：列二元一次方程组解答数量问题 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?（出示课件7） 学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件8-9） 解：设每餐甲、乙原料各x克，y克. 则有下表: 甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品 其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 35 其中所含铁质 x 0.4y 40 根据题意,得方程组 化简,得 解这个方程组，得 答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要. 归纳总结：（出示课件10） 用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的数量关系； (2)设元：用字母表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正. 2.出示课件12-17，探究列二元一次方程组解答几何问题 教师出示问题：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 教师问：你能把上面的问题转化为数学语言吗？ 师生共同解答：已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2. 教师问：这里研究的实际上是什么问题？ 学生答：长方形的面积分割问题. 教师问：把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？ 师生共同解答：我们可以画出示意图来帮助分析： 教师依次展示学生答案： 学生1答：方法1：竖着画，把长分成两段，则宽不变； 学生2答：方法2：横着画，把宽分成两段，则长不变. 教师问：方法1如何分割长方形呢？ 学生答：竖着画，把长分成两段，则宽不变， 教师问：等量关系式有几个？ 学生答：1.大长方形的长=200m；2.甲、乙两种作物总产量比=3:4. 教师问：方法1如何解答呢？ 学生答：因为宽不变，求出长方形边长比即可. 教师问：如何设未知数呢？ 学生答：设AE＝xm，BE＝ym. 则列方程为x+y=200. 教师问：怎样使甲、乙两种作物总产量比=3:4. 师生一起解答：先求出两种作物的面积. 教师问：长方形ADFE和长方形BCFE的面积分别为多少？ 学生答：SAEFD=100x，SEFCB=100y. 教师问：总产量如何算出来呢？ 学生答：总产量=单位面积产量×面积 教师问：怎么求出两种作物的总产量？ 学生答：甲：100x×1；乙：100y×2. 教师问：你能列出方程吗？ 学生答：100x:200y=3:4 教师问：你觉得该如何答题比较完整呢？ 师生一起解答：解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F. 设AE＝xm，BE＝ym. 根据题意,列方程组为 解这个方程组，得 答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的 两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 教师问：方法2如何解答呢？ 师生共同解答. 解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym. 根据题意列方程组为 解得： 答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物. 考点2：列二元一次方程组解答几何问题 某校现有校舍20000m2计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2 ）（出示课件18） 学生独立思考后，师生共同解答. 解：设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2. 根据题意,得 解这个方程组，得 答：应该拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍. 出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正. 3.出示课件20-23，探究列二元一次方程组解答行程问题. 教师出示问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？ 教师问：你能描述一下小华的行程吗？ 学生答：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.（如下图所示） 教师问：你能找出题目中的数量关系吗？ 教师依次展示学生答案： 学生1答：走平路的时间+走下坡路的时间=__10_. 学生2答：走上坡路的时间+走平路的时间= __15__． 教师总结如下：走平路的时间+走下坡路的时间=__10__， 走上坡路的时间+走平路的时间= __15__． 教师问：行程问题中有什么等量关系？ 学生答：路程=平均速度×时间. 教师问：你会解答这个问题吗？ 师生共同解答. 方法一（直接设元法） 解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m. 平路时间 坡路时间 总时间 上学 10 放学 15 根据题意，可列方程组 解这个方程组，得 300+400=700（m）. 所以小华家离学校700m . 方法二（间接设元法） 解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin. 平路距离 坡路距离 上学 60（10-x） 80x 放学 60(15-y) 40y 根据题意，可列方程组 解这个方程组，得 故平路距离：60×（10-5）=300（m）, 坡路距离：80×5=400（m）, 300+400=700（m）. 答：小华家离学校700m. 考点3：列二元一次方程组解答行程问题 张强与李毅二人分别从相距20千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？（出示课件24） 学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件25） 分析：如下图（1）、（2）所示. 解：设张强、李毅每小时各走x, y千米. 根据题意，得 解这个方程组，得 答：张强、李毅每小时各走4, 5千米. 出示课件26-28，学生自主练习后口答，教师订正. 教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧. （三）课堂练习（出示课件29-35） 练习课件第29-35页题目，约用时20分钟. （四）课堂小结（出示课件36） 二元一次方程组的应用 应用 简单的实际问题 几何问题 行程问题 步骤 1.审题：弄清题意和题目中的数量关系 2.设元：用字母表示题目中的未知数 3.列方程组:根据2个等量关系列出方程组 4.解方程组：代入法、加减法 5.检验作答 （五）课前预习 预习下节课（10.3第2课时）的相关内容. 会利用二元一次方程组解答较复杂的问题. 7、 课后作业 教材第102页练习第2,3题,第103页练习题. 8、 板书设计 1.知识梳理 列方程组解决问题 2.考点讲解 考点1 考点2 考点3 九、教学反思 成功之处：通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识. 不足之处：利用二元一次方程组解答实际问题，找出题目中的数量关系是关键，这是学生解答应用问题的难点，课上学生实际操作有点少，需要课下继续训练，提高学生分析问题的能力. 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $