20.2 勾股定理的逆定理及其应用 同步练习 2025-2026学年新人教版数学 八年级下册

勾股定理的逆定理及其应用 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组数中的三个数可作为三边长构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 4．（25-26八年级下·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 5．（25-26八年级下·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 8．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 9．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 10．（25-26八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，△ABC在正方形网格中，若小方格边长为1，则△ABC的形状是_______． 11．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 12．（25-26八年级下·陕西延安·月考）如图，在中，，，．点分别为边上一点，将△BDE沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 三、解答题 13．（25-26八年级下·广东河源·月考）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 14．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)线段的长为______； (2)求点A到边的距离． 15．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 能力提升： 16．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，有一台风中心沿东西方向直线由A行驶向B．已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又．以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理的逆定理及其应用 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组数中的三个数可作为三边长构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系坡度是否构成三角形；根据勾股定理的逆定理，计算每组中两个较小数的平方和，验证是否等于最大数的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A 、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可知的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解：由题意得：， 解得， 满足， ∴该三角形是直角三角形． 3．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 【答案】A 【分析】先用勾股定理的逆定理推出，再结合方位角和平行线的性质求出的度数，即可确定C相对于B的方位角． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 4．（25-26八年级下·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 5．（25-26八年级下·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断△ABC的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴． 6．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，结合条件逐项判断即可． 【详解】解：A、，，， ， 是直角三角形，故A不符合题意； B、， ， 是直角三角形，故B不符合题意； C、， ， ， 是直角三角形，故C不符合题意； D、， 设，则 ，， 由三角形内角和定理得， 解得，三角形最大角不是， 不是直角三角形，故D符合题意． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 8．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 二、填空题 9．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 【答案】7.5 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：. 该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和. 三角形菜地的面积为． 10．（25-26八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 【答案】 直角三角形 【分析】根据正方形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 是直角三角形． 11．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得是等腰直角三角形是解答的关键． 先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：依题意，连接， 则，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴． 12．（25-26八年级下·陕西延安·月考）如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及勾股定理，折叠的性质．首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，且；由中点的定义求出的长；根据折叠的性质可得；设，则，在 中利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形，且． 点是边的中点， ． 由折叠的性质可知，． 设， 则， ． 在中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得 ， ． 三、解答题 13．（25-26八年级下·广东河源·月考）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5；10； (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了网格与勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理即可． （1）根据网格的长度结合勾股定理求解长度即可； （2）结合三条边的长度由勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，； 故答案为：5，10，； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知，，，， 则， 是直角三角形． 14．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)线段的长为______； (2)求点A到边的距离． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，过点A作于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即点A到边的距离为． 15．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 能力提升： 16．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，有一台风中心沿东西方向直线由A行驶向B．已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又．以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港会受到台风影响，理由见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为小时 【分析】（1）在中，根据勾股定理的逆定理即可解答． （2）过点作于点，当台风到达点时，离海港最近．利用等面积法求出，与，比较即可解答． （3）台风影响区域为以为圆心、为半径的圆与直线的交点和之间的线段．由题可知：，（垂线长度），在直角三角形中求出，根据等腰三角形的性质求出，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且直角为． 所以，． （2）解：过点作于点，当台风到达点时，离海港最近． 则， 同时，面积也可表示为：， ∴， 台风影响半径为，而，因此海港会受到台风影响． （3）解：台风影响区域为以为圆心、为半径的圆与直线的交点和之间的线段． 由题可知：，（垂线长度）， 在直角三角形中：， ∴， ∴， ∴， 由于，为等腰三角形，为的中点， 因此：， 台风速度为，影响持续时间为：小时， 换算为分钟：分钟， 答：台风影响该海港持续的时间为小时（或分钟）． 17．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $