数学（上海卷02）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。 1．已知集合，，则______. 2．若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 3．已知数列的前项和为，且满足，则__________． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 5．已知为奇函数，则_____________． 6．已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 7．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 8．小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______． 9．在梯形中，，，，，，点在线段上，且.设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 10．已知对任意恒成立，则双曲线的离心率为__________． 11．如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 12．已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案得小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律不得分。 13．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 14．已知为随机事件，且，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．数列的前项和为，若数列与函数满足： （1）的定义域为； （2）数列与函数均单调递减； （3）使成立， 则称数列与函数具有“D关系”．给出下列四个结论： ①与具有“D关系”； ②与具有“D关系”； ③与数列具有“D关系”的函数有有限个； ④与数列具有“D关系”的函数有无限个． 其中所有正确结论的序号为（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要得步骤。 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。 如图；在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的动点，且. (1)若//平面，判断点在何位置，并证明你的结论； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值大于0，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分。某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征． 定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数． (1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）． (2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由． (3)设．求证：无最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。 1．已知集合，，则______. 2．若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 3．已知数列的前项和为，且满足，则__________． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 5．已知为奇函数，则_____________． 6．已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 7．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 8．小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______． 9．在梯形中，，，，，，点在线段上，且.设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 10．已知对任意恒成立，则双曲线的离心率为__________． 11．如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 12．已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案得小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律不得分。 13．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 14．已知为随机事件，且，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．数列的前项和为，若数列与函数满足： （1）的定义域为； （2）数列与函数均单调递减； （3）使成立， 则称数列与函数具有“D关系”．给出下列四个结论： ①与具有“D关系”； ②与具有“D关系”； ③与数列具有“D关系”的函数有有限个； ④与数列具有“D关系”的函数有无限个． 其中所有正确结论的序号为（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要得步骤。 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。 如图；在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的动点，且. (1)若//平面，判断点在何位置，并证明你的结论； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值大于0，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分。某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征． 定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数． (1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）． (2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由． (3)设．求证：无最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（第13-14题每题4分,第15-16题每题5分，共18分） 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. (14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。 1．已知集合，，则______. 【答案】 【解析】因为集合， 且集合，所以. 2．若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. 3．已知数列的前项和为，且满足，则__________． 【答案】 【解析】由①，取，可得， 当时，②， 由，可得，即， 则数列为首项是1，公比是的等比数列， ，经检验，满足此式， 故. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 【答案】 【解析】由余弦定理可得，， 因为，所以， 故的面积为. 5．已知为奇函数，则_____________． 【答案】 【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，解得， 当，，不为奇函数，不合题意舍去． 当时，，即，为奇函数，符合题意， 所以． 6．已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 【答案】5 【解析】因为数据的平均数为，数据的平均数为， 所以， 所以样本数据的平均数为， 又正数满足， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故样本数据的平均数的最小值为5． 7．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】随机变量，则图像关于对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 8．小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______． 【答案】 【解析】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式可得， 所以. 故答案为： 9．在梯形中，，，，，，点在线段上，且.设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、， 由题意得，所以，则， 故， 因为，故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 10．已知对任意恒成立，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】由，可得， 因为不等式对任意恒成立， 所以，可得， 即，即，可得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 11．如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 【答案】 【解析】由题意知，所以满足双曲线定义，则，因此是双曲线右支，方程为. 总费用的表达式为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图， 延长交过点的竖直方向直线于点，易知. 在中，，所以， .因为，， 所以， 所以最小费用为万元. 12．已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 【答案】/ 【解析】设，，对应的点为，取. 则由，得，即. 由，得，即， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部. 所以. 所以的最小值是，当且仅当四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案得小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律不得分。 13．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】B 【解析】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 14．已知为随机事件，且，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】说明了的发生与否与的发生与否无关， 即与相互独立，其等价于与相互独立， 而由事件独立性定义可知：当时，与相互独立，故为充要条件. 15．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①：设不是原点，则，记， 则，其中，计算的对应点： . ，即，不是，所以①错误； 对于②：单位圆上的点满足，因此对应点为. 对，有，说明仍在单位圆上； 反之，单位圆上任意点，则点在单位圆上. 因此单位圆的对应曲线就是单位圆本身，所以②正确； 对于③：取直线（平行于轴的直线），设其上点，对应点为. 令，消去：. 整理得，即，这是圆，不是直线，所以③错误. 所以正确命题的个数只有②一个. 16．数列的前项和为，若数列与函数满足： （1）的定义域为； （2）数列与函数均单调递减； （3）使成立， 则称数列与函数具有“D关系”．给出下列四个结论： ①与具有“D关系”； ②与具有“D关系”； ③与数列具有“D关系”的函数有有限个； ④与数列具有“D关系”的函数有无限个． 其中所有正确结论的序号为（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【解析】对于①，是公差为的等差数列，单调递减， 函数是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 其前项和， 令，则，解得或（舍去） 所以使成立， 故与具有“D关系”， ①正确； 对于②，是以公比为且首项的等比数列，单调递减， 是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 其前项和， 令，则，解得， 所以使成立， 故与具有“D关系”， ②正确； 对于③，数列单调递减，设， 此时是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 数列的前项和为， 令，则，即， 所以取时，即可保证恒有解， 故与数列具有“D关系”的函数有无限个，故③错误； 对于④，数列单调递减，设， 此时是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为， 数列的前项和为 令，则，即， 所以取时，即可保证恒有解， 故与数列具有“D关系”的函数有无限个，故④正确； 综上所有正确结论的序号为①②④. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要得步骤。 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。 如图；在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的动点，且. (1)若//平面，判断点在何位置，并证明你的结论； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）方法1：若平面，则为中点， 理由如下： 在直三棱柱中，， 平面，平面， 平面，（2分） 又平面平面， 故，，（4分） 又，， 又，，（6分） 即为的中点，从而为的中点， 故当平面时，为中点；（7分） 方法2：以为原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，（）， 则，，，，，（2分） ，，， 设平面的法向量为， 由得 取，得，， 则平面的一个法向量，（5分） 欲使平面，即使平面， 则，， 得，可知为的中点， 故当平面时，为中点；（7分） （2）方法1：不妨设，（）， 则三棱锥的体积 ，（9分） 当且仅当，即时取“＝”， 此时，，分别为，的中点， 过点作于点， 可知为的中点，连接，则，（10分） 在直三棱柱中，平面， ，， 平面，， 是二面角的平面角，（11分） ，，，， ，（13分） 则， 故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为.（14分） 方法2：三棱锥的体积为 ，（9分） 当且仅当，即时取“＝”， 此时，平面的一个法向量，（11分） 平面的一个法向量，（12分） 设平面与平面的夹角为，可知， 则，（14分） 故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值大于0，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【解析】（1）当时，则，故，（2分） 故，，（4分） 因此所求切线方程， 即．（6分） （2）由题意定义域为R，， （ⅰ）若，则恒成立， 可知在R上递减，无极值，不合题意．（8分） （ⅱ）若，令，解得； 令，解得；（9分） 可知在单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，（10分） 所以，即， 令，，则， 可知在内单调递增，且，（12分） 不等式等价于，解得， 所以实数a取值范围为．（14分） 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分。某校有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 （午餐，晚餐） 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. (1)记为甲、乙两人在一天中总共光顾的不同餐厅个数，求X的分布列和数学期望； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，当取最大值时，求k的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，，一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大.证明：. 【解析】（1）由题可得， 且，，（2分） 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望；（4分） （2）由题意可得乙在一天中午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，（5分） 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 令，即，（7分） 化简为，即， 即，解得，（8分） 因为k为整数，且， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率取最大值时或.（9分） （3）证明：由题可知，， 所以，（11分） 所以，则， 所以，即，（13分） 所以，即.（14分） 20． 本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。 设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 【解析】（1）由题意，设椭圆的标准方程为， 已知椭圆右焦点，故，离心率，（2分） 得，又， 因此椭圆的标准方程为：；（4分） （2）（ⅰ）椭圆的下顶点，圆：， 设过的切线方程为， 由切线性质，圆心到切线的距离等于半径， 所以，整理得， 由根与系数关系得：，（6分） 将代入椭圆方程得，同理，（7分） 所以直线的斜率， ，所以，（9分） 令可得， 因此点坐标为；（10分） （ⅱ）设， 因为，所以，（11分） 由，可得，（12分） 所以， 结合， 化简得：，（14分） 所以，代入， 可得，（17分） 所以， 因此恒在定直线上.（18分） 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征． 定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数． (1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）． (2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由． (3)设．求证：无最大值． 【解析】（1）由函数，则．（1分） 在上，令，则和，（2分） 当，当时，， 则为极小值点，为极大值点，在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量的增长率为0．（4分） （2）由（1）可知． 在上无限次正负交替，则满足震荡性：（6分） 又， 令．则，令．（8分） 当时，，则满足衰减性． 综上，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数．（10分） （3），， 不难看出恒成立， 即若存在最大值点，则．（12分） 现研究在上的单调性 ①当时，, 由于，故故；（13分） ②当时，，；（15分） ③当时，， （16分） 其中为锐角，，即， 当时，，当时，， 综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 由， 而， 即在上无最大值点．（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。 1． 2． 3． 4． 5． 6．5 7． 8． 9． 10． 11． 12．/ 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案得小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律不得分。 题号 13 14 15 16 答案 B C B B 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要得步骤。 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。 【解析】（1）方法1：若平面，则为中点， 理由如下： 在直三棱柱中，， 平面，平面， 平面，（2分） 又平面平面， 故，，（4分） 又，， 又，，（6分） 即为的中点，从而为的中点， 故当平面时，为中点；（7分） 方法2：以为原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，（）， 则，，，，，（2分） ，，， 设平面的法向量为， 由得 取，得，， 则平面的一个法向量，（5分） 欲使平面，即使平面， 则，， 得，可知为的中点， 故当平面时，为中点；（7分） （2）方法1：不妨设，（）， 则三棱锥的体积 ，（9分） 当且仅当，即时取“＝”， 此时，，分别为，的中点， 过点作于点， 可知为的中点，连接，则，（10分） 在直三棱柱中，平面， ，， 平面，， 是二面角的平面角，（11分） ，，，， ，（13分） 则， 故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为.（14分） 方法2：三棱锥的体积为 ，（9分） 当且仅当，即时取“＝”， 此时，平面的一个法向量，（11分） 平面的一个法向量，（12分） 设平面与平面的夹角为，可知， 则，（14分） 故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 【解析】（1）当时，则，故，（2分） 故，，（4分） 因此所求切线方程， 即．（6分） （2）由题意定义域为R，， （ⅰ）若，则恒成立， 可知在R上递减，无极值，不合题意．（8分） （ⅱ）若，令，解得； 令，解得；（9分） 可知在单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，（10分） 所以，即， 令，，则， 可知在内单调递增，且，（12分） 不等式等价于，解得， 所以实数a取值范围为．（14分） 19． （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分。 【解析】（1）由题可得， 且，，（2分） 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望；（4分） （2）由题意可得乙在一天中午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为，（5分） 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为， 令，即，（7分） 化简为，即， 即，解得，（8分） 因为k为整数，且， 所以乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率取最大值时或.（9分） （3）证明：由题可知，， 所以，（11分） 所以，则， 所以，即，（13分） 所以，即.（14分） 20． 本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。 【解析】（1）由题意，设椭圆的标准方程为， 已知椭圆右焦点，故，离心率，（2分） 得，又， 因此椭圆的标准方程为：；（4分） （2）（ⅰ）椭圆的下顶点，圆：， 设过的切线方程为， 由切线性质，圆心到切线的距离等于半径， 所以，整理得， 由根与系数关系得：，（6分） 将代入椭圆方程得，同理，（7分） 所以直线的斜率， ，所以，（9分） 令可得， 因此点坐标为；（10分） （ⅱ）设， 因为，所以，（11分） 由，可得，（12分） 所以， 结合， 化简得：，（14分） 所以，代入， 可得，（17分） 所以， 因此恒在定直线上.（18分） 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。 【解析】（1）由函数，则．（1分） 在上，令，则和，（2分） 当，当时，， 则为极小值点，为极大值点，在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量的增长率为0．（4分） （2）由（1）可知． 在上无限次正负交替，则满足震荡性：（6分） 又， 令．则，令．（8分） 当时，，则满足衰减性． 综上，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数．（10分） （3），， 不难看出恒成立， 即若存在最大值点，则．（12分） 现研究在上的单调性 ①当时，, 由于，故故；（13分） ②当时，，；（15分） ③当时，， （16分） 其中为锐角，，即， 当时，，当时，， 综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 由， 而， 即在上无最大值点．（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 6 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 翼 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 一、 填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 謀 6 10. 11 12 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 箭 13[AJ[B][C][D] 14[A][B][C]D] 15[A[B][C][D] 16[A][B][C]D] 妇 三、解答题（共78分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（14分) 器 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ C B A.1 B E 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) y 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）