21.3.2菱形（小模块.微专题.大压轴）（二十大题型）2025-2026学年数学人教版八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《21.3.2菱形 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 利用菱形的性质求角度 模块11 菱形中的尺规作图问题 模块2 利用菱形的性质求线段长 模块12菱形中的多结论问题 模块3 利用菱形的性质求面积 模块13菱形中的证明 模块4 利用菱形的性质求坐标 微专题1菱形背景下的折叠问题 模块5 含60°角的菱形 微专题2菱形背景下的旋转问题 模块6添加条件使四边形为菱形 微专题3利用菱形的性质求最值 模块7证明四边形为菱形 微专题4函数图象与菱形的综合 模块8 利用菱形的性质与判定求角度 压轴1 菱形中的动点问题 模块9利用菱形的性质与判定求线段长 压轴2 菱形背景下的探索规律问题 模块10 利用菱形的性质与判定求面积 压轴3 菱形的存在性问题 模块通关·举一反三 【模块一】利用菱形的性质求角度 【例1】如图，在菱形中，对角线、相交于点，于点，若，则的大小为（    ） A．20° B．35° C．55° D．70° 【答案】C 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，∠ABO＝∠ABC＝55°，再由直角三角形的性质求出∠BOE＝35°，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°， ∴∠ABO＝∠ABC＝55°， ∵OE⊥AB， ∴∠OEB＝90°， ∴∠BOE＝90°−55°＝35°， ∴∠AOE＝90°−35°＝55°， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出∠ABO＝55°是解题的关键． 【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则的度数是（    ） A．110° B．112° C．115° D．120° 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，∠CDO=∠ADC=∠ABC=25°，根据直角三角形的性质得到OE=DE=CD，根据等腰三角形的性质得到∠DOE=∠CDO=25°，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠CDO=∠ADC=∠ABC=25°， ∴∠DOC=90°， ∵点E是CD的中点， ∴OE=DE=CD， ∴∠DOE=∠CDO=25°， ∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（    ） A．45° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】根据题意知所作直线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∴∠ABD＝∠ADB＝（180°－∠A）＝75°， 由作图可知，EA＝EB， ∴∠ABE＝∠A＝30°， ∴∠EBD＝∠ABD－∠ABE＝75°－30°＝45°， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 【变式1-3】如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （   ） A． B． C． D． 【分析】首先延长交的延长线于点G．根据已知可得的度数，再根据余角的性质可得到的度数，从而不难求得的度数． 【详解】延长交的延长线于点G．如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是边的中点， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴F为中点． 由题可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 【模块二】利用菱形的性质求线段长 【例2】如图，四边形是边长为5cm的菱形，对角线长6cm，，垂足为点E，则的长是（　　）cm． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质和勾股定理求出的值，再利用菱形的面积求出结果． 【详解】连接，交于点O， ∵四边形是菱形，边长为5cm， ∴，， ∴由勾股定理得到：， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及菱形的面积的求法，利用面积法列出关于的等式是解决本题的关键． 【变式2-1】．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，于点E，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形对角线互相垂直平分是解题的关键． 【变式2-2】如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据菱形的性质可得，则是等边三角形，根据等边三角形三线合一和勾股定理，求出的长度，最后根据含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点F为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C。 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形四条边都相等，等边三角形三线合一，以及直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式2-3】如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质． 【模块三】利用菱形的性质求面积 【例3】如图，点E，F是菱形ABCD边AB，BC的中点，，则菱形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得AC，再由菱形的性质得OA，在OAB中，用勾股定理求出OB，因此BD＝2OB，即可根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”解决问题． 【详解】解：连接AC交BD于O，如图所示： ∵E、F是AB和BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴AC＝2EF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝AC＝， ∵BA＝2， ∴OB＝＝1， ∴BD＝2OB＝2 ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×2×2＝2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式3-1】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按如图甲对折后，再按如图乙所示对折，然后沿者图丙中的所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，得到①，②两部分，图①展开后得到的四边形的面积为（      ） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．90cm2 【答案】A 【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可． 【详解】解：由题意可得： 图丙中所得矩形的长为5cm，宽为4cm， ∵虚线的端点为该矩形两邻边的中点， ∴AC=4cm，BD=5cm， 图①展开后得到的四边形为菱形ABCD ∴如图丁所示的菱形的面积为：×4×5=10（cm2）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键． 【变式3-2】如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为___________． 【答案】24 【分析】过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，由纸张的宽度相等得到AE=AF，再根据平行四边形等面积法证明AB=AD，进而证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴AE=AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD=BC•AF=CD•AE， 又∵AE=AF， ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BO=DO=3，AC⊥BD， ∴， ∴菱形ABCD的面积为：， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形性质以及勾股定理等知识，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键． 【变式3-3】如图，在菱形ABCD中，，，为等边三角形点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解． 【详解】 连接AC，如图所示， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4， ∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAD＝120°，BC∥AD， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴△ABC、△ACD为等边三角形， ∴∠4＝60°，AC＝AB， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值， 过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2， ∴AH＝， S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×4×2＝4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的综合应用，结合勾股定理计算是解题的关键． 【模块四】利用菱形的性质求坐标 【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（-3，2） D．（5，4） 【答案】D 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴OA=3，OB=2， ∴AB=5，则AD=AB=5， ∴DO==4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键． 【变式4-1】如图，已知菱形的顶点，且，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（    ） A． B． C．（1，2） D． 【答案】A 【分析】首先证明△ABC是等边三角形，求出A，C的坐标，证明AE＝EC，可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AO⊥CB， ∴OB＝OC＝4，AB＝2OB＝8， ∴OA＝， 由作图可知，BP平分∠ABC， ∴AE＝EC， ∵C（4，0），A（0，4）， ∴E（2，2）， 故选：A． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式4-2】如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B（-1，0）和C（2，0）在x轴上，若顶点A，D中有一个顶点在y轴的正半轴上，则第四个点的的坐标为（    ） A．(-1，) B．(3，) C．（-3，）或（3，） D．（3，）或（-3，） 【答案】C 【分析】当点A在y轴的正半轴上，由菱形的性质可得BC=AB=AD=3，根据勾股定理可得AO的长，即可得D的坐标；当点D在y轴的正半轴上，由菱形的性质可得BC=CD=AD=3，根据勾股定理可得OD的长，即可得A的坐标． 【详解】解：如下图，当点A在y轴的正半轴上， ∵B（-1，0），C（2，0）， ∴BC=3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=AD=3， ∴， ∴D（3，）； 如下图，当点D在y轴的正半轴上， ∵B（-1，0），C（2，0）， ∴BC=3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD=AD=3， ∴， ∴A（-3，）， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是注意两种情况． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A(﹣1，0)，D(0，)为菱形ABCD的顶点，现固定点A．沿对角线AC方向将菱形的顶点C拉至点处，使得点B，D落在菱形ABCD内部的点，处，若＝30°，则此时点的坐标是（　　） A．(﹣1，) B．(1﹣，) C．(，) D．(﹣，) 【答案】A 【分析】过D′在D′E⊥AB于E，在Tt△OAD中，由特殊角的函数值和勾股定理求得∠DAO＝60°，AD＝2，根据菱形的性质求得∠B′AB＝15°，进而求得∠D′AE＝45°，得到Rt△D′AE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE＝D′E，即可求出D'的坐标． 【详解】解：过D′作D′E⊥AB于E， 在Tt△OAD中， 由A（﹣1，0），D（0，）得：OA＝1，OD＝， ∴∠DAO＝60°，AD＝＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAC＝∠BAC＝30°， ∵四边形AB′C′D′是菱形， ∴∠D′AC′＝∠B′AC′，∠D′AB′＝∠D'C'B'＝30°， ∴∠B′AB＝∠D′AD＝×（60°﹣30°）＝15°， ∴∠D′AE＝60°﹣15°＝45°， 由题意知：AD′＝AD＝2， 在Rt△D′AE中， ∵∠D′AE＝45°， ∴∠AD′E＝45°， ∴AE＝D′E， ∴2AE2＝AD′2＝4， ∴AE＝D′E＝， ∴OE＝﹣1， ∴D'的坐标是（﹣1，） 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平面直角坐标系，勾股定理，特殊角的函数值，正确作出辅助线，求出∠D′AE的度数是解决问题的关键． 【模块五】含60°角的菱形 【例5】在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（　　） A．2 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】连接FG，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE＝AF，BF＝BG，进而可证△AEF是等边三角形及△BFG是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF和FG的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG的长． 【详解】解：连接FG，过点B作BH⊥FG于H，如图， ∵菱形ABCD，∠ADC＝120°， ∴∠A＝60°，∠ABC＝120°， ∵点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G， ∴AE＝AF=1，BF＝BG， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AFE＝60°，EF=AF=1 ∵BF＝BG， ∴△BFG是等腰三角形， ∴∠GFB＝=30°， ∴∠EFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵BF＝4﹣1＝3， ∴BH=，FH=， ∴FG＝2FH=3， ∴EG＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键． 【变式5-1】如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个∠为60°，则该菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形，所求即可解 【详解】下图所示， 由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个角为60°，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形， 边长为a的等边三角形的底边上的高也是底边的中线， 则利用勾股定理可得高为：， 边长为a的等边三角形的面积为：， 则可知正六边形的面积为：，空白菱形的面积为：， 则阴影部分的面积为：， 则有， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的基本概念和正多边形的基本概念，通过特殊角以及菱形和正六边形的边长相等，得出正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形是解答本题的关键． 【变式5-2】如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到直线CD的距离的最大值为　 　． 解答】解：∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°， 在△ABM和△ACN中， ， ∴△AMN为等边三角形， 当AM垂直于BC时，等边三角形边长最小，此时CP最长，满足条件，作PE⊥CD于点E． ∵BM＝MC＝3，∠CMP＝30°，∠CPM＝90°， ∴PC＝MC＝， 在Rt△PCE中， ∵∠CPE＝30°，PC＝， ∴EC＝PC＝， ∴PE＝， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【解答】（1）证明：能． 理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t， ∴DF＝2t， 又∵AE＝2t， ∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即40﹣4t＝2t，解得t＝． ∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形． （2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴AD＝AE＝t， 又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8； ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5． ③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形． 【模块六】添加条件使四边形为菱形 【例6】如图，在中，对角线，相交于点O，若添加一个条件，使得一定为菱形，该条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、菱形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A. ，可以判断平行四边形是矩形，不能判断是菱形，故该选项错误； B. ，可以判断平行四边形是矩形，不能判断是菱形，故该选项错误； C. ，可以判断平行四边形是菱形； D. ，只能推出，无法判定是菱形． 故选C． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 【变式6-1】顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（   ） A．垂直 B．相等 C．互相平分 D．互相平分且垂直 【答案】B 【分析】连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据菱形的判定定理解答即可． 【详解】解：连接、， 、分别是、的中点， ， 同理可得，，，， 当时，， 四边形为菱形， 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，只需满足， 故选：B． 【点睛】本题考查的是菱形的判定、三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 【变式6-2】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理证得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定，即可求解． 【详解】解：添加，可以判定四边形为菱形，理由： ∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，， ∴四边形为菱形． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理，菱形的判定是解题的关键． 【变式6-3】小青和小云是同班同学，在上网课期间，老师在电脑上出示了如图所示的任意四边形分别为的中点，要求她们添加一个条件使得四边形为菱形，小青添加的条件是，小云添加的条件是，则下列说法正确的是（　　） A．小青和小云都正确 B．小青正确，小云错误 C．小青错误，小云正确 D．小青和小云都错误 【答案】A 【分析】连接，由三角形中位线定理知，，则，得四边形是平行四边形，根据已知条件证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】连接， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，由三角形中位线定理得，,， 则， ∴四边形菱形， 当时，平行四边形是菱形， 故选A． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【模块七】证明四边形为菱形 【例7】如图，已知，BD平分． (1)用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，交BD于点G，连接DE，DF．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：四边形BFDE是菱形． 证明：∵BD平分 ∴ ① ∵EF垂直平分BD ∴， ∴ ∴ ∴ ② 在和中， ∴（ASA） ∴ ③ ∵ ∴四边形BFDE是平行四边形 ∵ ④ ∴平行四边形BFDE是菱形 【答案】(1)见解析 (2)①∠1=∠2，②，③BF =DE，④ 【分析】（1）根据要求作出图形即可，作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，交BD于点G，连接DE，DF； （2）证明（ASA），然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （1） 解：图形如图所示： （2） 证明：∵BD平分 ∴∠1=∠2 ∵EF垂直平分BD ∴， ∴ ∴ ∴② 在和中， ∴（ASA） ∴③BF =DE ∵ ∴四边形BFDE是平行四边形 ∵ ∴平行四边形BFDE是菱形． 故答案为：①∠1=∠2，②，③BF =DE，④． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD//BC，AE//DC，EF⊥CD于点F． (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若AB＝3，AC＝4，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：解：过作于点，如图所示 ，，， ， 的面积， ， 四边形是菱形， ， ， ． 【点睛】此题考查菱形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定，解题的关键是证明四边形是菱形． 【变式7-2】如图，DB是▱ABCD的对角线． (1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB、DB、DC于E、O、F，连接DE，BF；（保留作图痕迹，不写作法） (2)试判断四边形DEBF的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形DEBF为菱形，理由见解析 【分析】（1）利用基本作图，作线段BD的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，FB=FD，OB=OD，再证明△ODF≌△OBE得到DF=BE，所以DE=EB=BF=DF，于是可判断四边形DEBF为菱形． 【详解】（1）解：如图，EF、DE、BF为所作； （2）解：四边形DEBF为菱形． 理由如下： ∵EF垂直平分BD， ∴EB=ED，FB=FD，OB=OD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠FDB=∠EBD， 在△ODF和△OBE中，， ∴△ODF≌△OBE（ASA）， ∴DF=BE， ∴DE=EB=BF=DF， ∴四边形DEBF为菱形． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的判定． 【变式7-3】如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则菱形的周长为______，面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明得到，结合判定四边形是平行四边形，利用线段垂直平分线的性质证明即可得证． （2）根据菱形的性质，得到，根据勾股定理计算，计算即可． 【详解】（1）证明：∵，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N， ∴，，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形的周长为，面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【模块八】利用菱形的性质与判定求角度 【例8】已知：如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD， 连接BF交AD于点E． 求证：（1）AE=ED （2）若AB=BC，求∠CAF的度数 ． 【答案】证明：（1）如图． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB=CD． 即AB∥DF． ∵DF=CD，                       ∴AB=DF．     ∴四边形ABDF是平行四边形． ∵AD，BF交于点E， ∴AE=DE． 解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD． ∴∠COD=90°．                      ∵四边形ABDF是平行四边形， ∴AF∥BD． ∴∠CAF=∠COD=90°． 【变式8-1】平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G； （1）求证：BH =AB； （2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）通过证明DC=AB，△CDE≌△BHE ，BH=DC所以BH="AB" （2）∠H=∠G 【详解】试题分析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC=AB，DC∥AB ，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H 又∵E是CB的中点，∴CE="BE" ∴△CDE≌△BHE ，∴BH=DC ∴BH=AB （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G ∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C ∵E、F分别是CB、AB的中点，∴AF=CE ∴△ADF≌△CDE ，∴∠CDE=∠ADF  ∴∠H=∠G 考点：全等三角形和菱形 点评：本题考查全等三角形和菱形，掌握三角形全等的判定方法，熟悉菱形的性质是解决本题的关键 【变式8-2】如图，四边形为平行四边形，过点作，交边于点，交边延长线于点．连接、，过点作交延长线于点，已知． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AB=CD，AB∥DF．证明四边形ABFC为平行四边形，证出 AF⊥BC． 由菱形的判定方法可得出结论； （2）由菱形的性质得出∠CBF=∠BCF=25°，由直角三角形的性质可求出答案． (1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形为菱形． (2)解：∵，， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【变式8-3】如图，菱形ABCD 中，在边AD，BC 上分别截取DM=BN， 连接MN 交AC于点O，连接DO 若 ，则的度数为(   ) A．40度 B．50度 C．60度 D．70度 【答案】D 【分析】首先由在菱形ABCD中，AM=CN，证得△AOM≌△CON（AAS），即可得O是对角线AC与BD的交点，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD=BC ∵DM=BN， ∴AM=CN ∴∠OAM=∠OCN， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴OA=OC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OD⊥AC ∴∠DOC=90° ∴点O为BD与AC的交点， ∵∠ACD=∠BAC=20°， ∴∠ODC=90°-∠ACD=70°． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得点O是BD与AC的交点是解此题的关键． 【模块九】 利用菱形的性质与判定求线段长 ．【例9】两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（    ） A．4 B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解：∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC，∠AGB＝30° ∴，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 四边形周长为16． 故选D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键． 【变式9-1】如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2OE＝2，则OA＝AC＝，再由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，然后由菱形面积求出AE的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC， ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝2， ∴OA＝AC＝， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝， ∴BD＝2OB＝2， ∵S菱形ABCD＝CD•AE＝AC•BD＝×2×2＝2， ∴AE＝， ∴DE＝， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【变式9-2】如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，则______． 【答案】36 【分析】连接，，，，可得是的中位线，，，分别是，，的中位线，，即四边形为菱形，可知对角线互相垂直，即可证得：，由此即可求得，即． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴, 同理可得，，分别是，，的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，且垂足为， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， 等式两边同时乘以4得：， ∴，即． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，三角形中位线应用，重点在于根据中点做出对应的中位线． 【变式9-3】如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，连接 ，若 ，，则 的长为（      ） A． B． C． D． 【来源】北京市人大附中西山学校2022-2023学年八年级下学期数学统练3（3月考） 【答案】A 【分析】利用平行四边形的对边平行，以及角平分线平分角，得到是等腰三角形，进而得到四边形为菱形，利用菱形的性质，对角线垂直平分，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴∥， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同法可证：， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设、交于点， 则：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质．利用平行四边形和角平分线，证明三角形是等腰三角形，是解题的关键． 【模块十】 利用菱形的性质与判定求面积 ．【例10】如图．两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC，先证明四边形ABCD是平行四边形，再用面积法证明BC=CD，推出平行四边形ABCD是菱形，进而证明△ABC是等边三角形，最后利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC， 由题意得， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵长方形纸条等宽， ∴AE=AF， ∵， ∴BC=CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AE⊥BC， ∴BC=AB=2BE， 在Rt△ABE中，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式10-1】如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝4，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．6 C．24 D．3 【答案】A 【分析】连接AC，BD，FH，EG，得出平行四边形ABFH，推出HF＝AB＝2，同理EG＝AD＝4，求出四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积等于×GH×HF，代入求出即可． 【详解】解：连接AC，BD，FH，EG， ∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点， ∴AH＝AD，BF＝BC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，ADBC， ∴AH＝BF，AHBF， ∴四边形AHFB是平行四边形， ∴FH＝AB＝2， 同理EG＝AD＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点， ∴HGAC，HG＝AC，EFAC，EF＝AC，EH＝BD， ∴EH＝HG，GH＝EF，GHEF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴平行四边形EFGH是菱形， ∴FH⊥EG， ∴阴影部分EFGH的面积是×HF×EG＝×6×4＝12， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，关键是求出四边形EFGH是菱形． 【变式10-2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，，，则下列结论错误的是　　 A． B． C．四边形是菱形 D．四边形的面积是 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，AO＝CO＝BO＝DO，可证四边形OCED是菱形，可得DE＝OC＝OD＝2，∠E＝∠COD，由勾股定理可求AB＝2，可证△AOB是等边三角形，即可求∠E的度数，由面积关系可求四边形OCED的面积为2． 【详解】四边形是矩形， ，， ，， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形，故C选项不符合题意， ，， ， ，故选项不符合题意， ， 是等边三角形， ，故选项不符合题意， 矩形的面积， 四边形的面积为， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，三角形的面积公式，灵活运用矩形的性质是本题的关键． 【变式10-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝13．以A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，AD于M，N；分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点G；作射线AG交BC于E；作EF∥AB交AD于F．若AE＝10，则四边形ABEF的面积等于________． 【答案】120 【分析】连接BF交AE于点O，证明四边形ABEF是平行四边形，根据作图过程可得AE平分∠BAF，然后证明四边形ABEF是菱形，进而可得四边形ABEF的面积． 【详解】解：如图，连接BF交AE于点O； ∵，， ∴四边形ABEF是平行四边形， 根据作图过程可知：AE平分∠BAF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ABEF是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：120． 【点睛】本题考查了基本作图，平行线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是判定四边形ABEF是菱形． 【模块十一】菱形中的尺规作图问题 【例11】观察下面的尺规作图痕迹，在平行四边形基础上能成功作出菱形的是（  ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可． 【详解】如图， 如图①，根据尺规作图可知：， ∵在平行四边形中，有， ∴四边形是菱形，故①符合要求； 如图①，根据尺规作图可知：垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵在平行四边形中，有， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是菱形，故②符合要求； 如图③，根据尺规作图可知：， 利用现有条件无法证明， 即无法证明出四边形是菱形，故③不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及垂直平分线的尺规作图等知识，掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． 【变式11-1】如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使得；分别以A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，AB，OC．若，四边形OACB的面积为，则OA的长为（    ） A．1cm B． C．2cm D． 【答案】D 【分析】先根据四边相等的四边形是菱形，判定四边形OACB是菱形，连接OC，交AB于点D，根据，确定OC=4，根据菱形的性质，得到DA=1，DO=2，根据勾股定理计算AO=，判断即可． 【详解】根据四边相等的四边形是菱形， 由作图知：OA=AC=BC=OB，所以四边形OACB是菱形，连接OC，交AB于点D， 所以， 解得OC=4， 根据菱形的性质，得DA=1，DO=2， 所以AO=， 所以菱形的边长为， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的基本作图，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握作图的意义，菱形的判定，勾股定理是解题的关键． 【变式11-2】如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形，然后由勾股定理求得即可解决问题． 【详解】解：设交于点，如图所示， 根据作图可知分别为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，勾股定理，证明四边形是菱形，是解题的关键． 【变式11-3】如图，在中，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相交于点O，根据已知条件得到四边形AEFB是菱形，根据勾股定理计算即可； 【详解】如图，设与相交于点O， 由作图可知，，， ∵四边形ABCD时平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∵， ∴四边形AEFB是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键． 【模块十二】 菱形中的多结论问题 【例12】如图，平行四边形纸片中，，，将平行四边形纸片沿折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是______． ①；②；③④ 【答案】②④##④② 【分析】根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解． 【详解】解：∵将平行四边形纸片折叠，使点与点重合 ∴根据翻折的性质可知， ∴，， ∴在和中， ∴， ∴ ∴（故②正确） ∴（故③错误） ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴（故④正确） ∵折痕与对角线没有重合， ∴对角线和不垂直 ∴不是菱形 ∴ ∴ ∴（故①错误）． 故答案是：②④ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等知识点，掌握以上知识是解题的关键． 【变式12-1】如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连结CE、AF交于点H，连结DH交AC于点O.则下列结论：①∠B＝60°；②△ABF≌△CAE；③∠AHC＝120°；其中正确的是(   ) A．①② B．①②③ C．②③ D．以上都不对 【答案】B 【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°. 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， 即△ABC是等边三角形， 同理：△ADC是等边三角形 ∴∠B=∠EAC=60°，故①正确； 在△ABF和△CAE中， ， ∴△ABF≌△CAE（SAS）； 故②正确； ∴∠BAF=∠ACE， ∵∠AEH=∠B+∠BCE， ∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°； 故③正确， 故选B. 【点睛】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大. 【变式12-2】如图，菱形的周长为，，垂足为，，则下列结论中正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质求出边长，设AE=4x，DE=3x，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，得出AE、DE，由菱形的面积=底×高，求出菱形的面积；根据勾股定理求出BD，得出OD，再由勾股定理求出OA，得出AC，即可得出结论． 【详解】连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的周长为20cm， ∴AD=AB=5cm， ∵DE⊥AB，AE：DE=4：3， 则∠AED=90°， 设AE=4xcm，DE=3xcm， 根据勾股定理得：（4x）2+（3x）2=52， 解得：x=1， ∴AE=4cm，DE=3cm， ∴BE=5-4=1，S菱形=AB•DE=5×3=15（cm2）， ∴①②③正确； 在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD=， ∴OD=， 在Rt△AOD中，OA=， ∴AC=2OA=3， ∴④不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，并能运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【变式12-3】如图，中，； 和都是等边三角形，为的中点，连接交于点，与交于点；以下结论：①；②四边形为菱形；③；④．其中，正确的结论有_________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据等边三角形三边相等三个角都是的性质，以及直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半的性质逐项判断即可； 【详解】解：∵是等边三角形 ∵为的中点， ∴ ，故①正确； ∵是的中点， ∴ ∵ ∴ ，故④正确； 在和中 ∴四边形为平行四边形， ；故③说法正确； ∴四边形不是菱形；故②不正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊的直角三角形的性质、菱形的判定；综合运用等边三角形和直角三角形的性质实现线段的转化是解题的关键． 【模块十三】 菱形中的证明 ．【例13】如图，平行四边形中，平分交于点E． (1)用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①_________， ∴． ∵平分， ∴②_________， ∴， ∴． 同理可证， ∴③_________． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵④_________， ∴四边形是菱形． 【来源】重庆市巴蜀中学校2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试题 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法解答即可； （2）根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，进而可得，同理可得，可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步即可证得结论． 【详解】（1）如图，射线即为的角平分线； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 同理可证， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 【变式13-1】如图，平行四边形中，平分，，延长与交于点P，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，，进而证明，得出，等量代换即可得证； （2）根据（1）知，得出，根据角平分线的定义得出，，得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）知 ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 【变式13-2】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理是解本题的关键． 【变式13-3】如图，D、E、F分别是各边的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)加上条件______后，能使得四边形为菱形，请从①，②平分；③；这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)②③（选一个条件即可）；证明见解析 【分析】（1）根据题意，得出为的中位线，再根据三角形的中位线的性质，得出，，即，，再根据平行四边形的判定定理，即可得出结论； （2）选①时，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，得出四边形为矩形，进而得出选①，不能使四边形为菱形；选②时，根据角平分线的定义，得出，再根据平行四边形的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据等量代换，得出，再根据等角对等边，得出，再根据菱形的判定定理，得出平行四边形为菱形；选③时，根据等腰三角形的判定，得出是等腰三角形，进而得出，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，得出平行四边形为菱形． 【详解】（1）证明：已知D、E、F为、、的中点， ∴为的中位线， ∴，， 即，， ∴四边形为平行四边形． （2）解：选①，证明如下： ∵，即， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； ∴选①，不能使四边形为菱形； 选②，证明如下： ∵平分， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∴选②，能使得四边形为菱形； 选③，证明如下： ∵D、E、F分别是各边的中点， 又∵，即， ∴是等腰三角形， ∴， ∵D、F分别是各边的中点， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形为菱形． ∴选③，能使得四边形为菱形． 综上所述，加上条件②、③后，能使得四边形为菱形． 故答案为：②③（选一个条件即可） 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边、菱形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】菱形背景下的折叠问题 【例14】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BD，求证四边形BEDF是菱形，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图，连接BD， ∵∠C=90°，∠A=30°，AB=2， ∴BC=AB=1，∠ABC=90°-∠A=60°， ∵点D为∠ABC的平分线与边AC的交点， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC =30°， ∵将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF， ∴BE=DE，BF=DF， ∴∠EDB=∠CBD=30°，∠FDB=∠ABD=30°， ∴∠EBD=∠FDB=30°，∠EDB=∠FBD=30°， ∴BE∥DF，BF∥DE，四边形BEDF是平行四边形，∠ADF=∠C=90°， 又∵BE=DE， ∴四边形BEDF是菱形， ∴BE=BF=DF=DE， 在Rt△ADF中， ∵∠A=30°， ∵AF=2DF=2BF， ∴AB=AF+BF=2BF+BF=3BF， ∴BF=AB=， 又∵ ∴△BEF是等边三角形， ∴BE=BF=EF=， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用这些知识点． 【变式14-1】在数学实践活动中，将一张平行四边形纸片进行折叠（如图1、2所示），折痕为，点E在边上，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在边上，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若点E是边的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用对称的性质得到，，，利用平行四边形的性质得到，证明，据此即可证明结论； （2）证明且，设，则，在和中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，由折叠可知，与关于对称， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E在边上，点F落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故四边形是菱形； （2）解：如图，连接交于点H， ∵F与B关于对称， ∴是的中垂线， 又∵E是的中点， ∴且， 若设， 由，得， 又，， 在和中，由勾股定理得： ， 则， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式14-2】如图，已知直线，与之间的距离为．、是直线上两个动点（点在点的左侧），且．连接、、，将沿折叠得到．下列说法：①四边形的面积始终为；②当与重合时，四边形是菱形；③当与不重合时，连接、，则；④若以、、、为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为或．其中正确的是(   ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；②根据折叠的性质得到，然后根据菱形的判定方法可判断四边形是菱形；③连接，根据折叠性质和平行四边形的性质得到，，，可证明≌，则，然后利用三角形内角和定理得到得到，则根据平行线的判定得到；④分类讨论：当，则，由于，则，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当，则，易得，而，于是得到结论． 【详解】①，， 四边形为平行四边形， 四边形的面积；故①正确； ②四边形是平行四边形， 与重合时， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形；故②正确； ③连接，如图， 沿折叠得到， ∴，， 在和中 ， ∴≌（） ， 又， ， ， ∴， ；故③正确； ④设矩形的边长分别为，， 当， ， ， ，即， 而， ， ， （负值舍去）， 当时， ， ， 而， ∴， 此矩形相邻两边之和为或．故④不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角． 【变式14-3】综合与实践 问题情境：如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接． 独立思考： (1)在图1中，若，，则的长为______； 实践探究： (2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由； 问题解决： (3)如图2，在中，，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长，再根据勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质以及等腰三角形等边对等角可得，，，结合三角形的内角和即可得出结论； （3）先根据有一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形，证明四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，点D是的中点， ∴， 根据勾股定理可得：， 故答案为：． （2）．理由如下： 方法一：∵，， ∴． ∴，． 设，则，． ∴． 由折叠可得：，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． 方法二：∵，， ∴．∴． 设，则，． 由折叠可得：，， ∴，． ∴． ∴． ∴． （3）四边形CDAE是菱形 方法一：∵，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴，． ∴． 由折叠可得：，， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 方法二：∵，， ∴． ∴． ∵， ∴，是等边三角形． ∴，． ∴． 由折叠可知：，， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，折叠的性质，等腰三角形的性质，以及平行线的判定和菱形的判定；解题的关键是熟练掌握各个知识点，明确折叠前后对应边对应角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行线的判定定理和菱形的判定定理． 【微专题二】菱形背景下的旋转问题 【例15】如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第60秒时，点C的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，根据菱形性质得出，，得出，根据每秒旋转，则第60秒时旋转了，得出点在第三象限，且与点C关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵每秒旋转，则第60秒时，得： ， 周， ∴旋转了7周半， ∴点在第三象限，且与点C关于原点对称， ∴点，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，关于原点对称点的特点，解题的关键是根据旋转角度得出在第三象限，且与点C关于原点对称． 【变式15-1】如图，等腰中，，绕点逆时针旋转60度后得到（点对应点）． (1)尺规作图：请作出，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，若、、在同一直线上，且点是的中点．证明：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先分别一点O，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则是等边三角形，则，再作，即可； （2）根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，从而得到，再根据旋转的性质可得，，从而得到四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：根据作法得：，， ∴是等边三角形，， ∴； （2）证明：由（1）得：是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 根据旋转的性质得：， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握尺规作图，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【变式15-2】如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，ADx轴，AD＝2，∠A＝60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在y轴上，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）． A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】分点D旋转到x轴正半轴和x轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解． 【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D旋转到y轴正半轴时， A、B、C均在坐标轴上，如下图， ∵∠BAD=60°，AD=2， ∴∠OAD=30°， ∴OD=1， ∴AO=OD==OC， ∴点A的坐标为（，0）； 同理：当点D旋转到y轴负半轴时，此时点A旋转到x轴正半轴， 点A的坐标为（，0）， ∴点A的坐标为（，0）或（-，0）， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的对称性，坐标与图形变化，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是要分情况讨论． 【变式15-3】如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； (3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)45°，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得,根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边证明即可； （2）通过证明△AOF≌△COE（ASA）．即可得证； （3）根据题意与勾股定理求得,根据平行四边形的性质可得,得到，结合菱形的性质和判定求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵平行四边形ABCD中，ADBC， ∴AFBE， ∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠AOF， ∴ABEF， ∴四边形ABEF是平行四边形． （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，ADBC， ∴∠OAF＝∠OCE， ∵∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）． ∴AF＝CE． ∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等． （3）当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形． 理由如下： 由（2）知：AF＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴DF＝BE，DFBE， ∴四边形BEDF是平行四边形． 如图： ∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC＝1， ∴AO＝AB， ∵AB⊥AC， ∴∠AOB＝45° ∵AC绕点O顺时针旋转45度， ∴∠AOF＝45°， ∴∠BOF＝90°， ∴EF⊥BD． ∴四边形BEDF是菱形． 【点睛】本题考查旋转的性质及菱形性质和判定，掌握平行四边形，全等三角形的性质与判定，菱形的性质和判定是求解本题的关键． 【微专题三】利用菱形的性质求最值 【例16】菱形的边长为2，，点P、Q分别是、上的动点，的最小值为______ 【答案】1 【分析】连接，作于，利用SAS证明，得，当点、、共线，的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，作于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴（SAS） ∴，则：， ∴当点、、共线，的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键． 【变式16-1】．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（　　） A．5 B．5 C．5 D．不能确定 【答案】A 【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案． 【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，AB=BC， 即Q在AB上， ∵M为BC中点， ∴Q为AB中点， ∵MQ⊥BD， ∴， ∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形， ∴，BQ＝CN， ∴四边形BQNC是平行四边形， ∴， ∴， 而点Q是AB的中点， 故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点， 同理可得，PM是△ABC的中位线， 故点P是AC的中点， 即点P是菱形ABCD对角线的交点， ∵四边形ABCD是菱形， 则△BPC为直角三角形， ∴CP＝ AC＝3，BP＝ BD＝4， 在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5， 即NQ＝5， ∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置． 【变式16-2】如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短． 【详解】解：如图所示： 过点作交于点，过点作交于点， 四边形是菱形，， ∴∠ABP=30°， ， ， 由垂线段最短可知，的最小值为的长， ， 即的最小值是：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离． 【变式16-3】如图，在菱形中，，，为边的中点，为对角线上的一个动点，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】过点M作MF⊥BC于F，根据菱形和含30°角的直角三角形的性质可得MF=BM，从而可得AM+BM=AM+MF，根据垂线段最短可知，AM+PM的最小值为AE的长；根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出AE的长即可得答案． 【详解】如图，过点作于， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线且垂直时，有最小值， ∴最小值为， ∵，，， ∴∠BAE=30°， ∴BE=AB=5， ∴==． 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及轴对称——最短问题，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 【微专题四】 函数图象与菱形的综合 【例17】如图1，菱形ABCD中，，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据图一图二中的数据即可作出判断． 【详解】如图二可知，当时两点停止运动， ∴点P从点A运动到点B用了4秒， ∴， ∵点Q运动到点C之前和之后，面积算法不同，即时，S的解析式发生变化， ∴图2中点M对应的横坐标为2，此时P为AB 中点，点C与点Q重合， 连接AC，如图所示 ∵菱形ABCD中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点函数的图象，解决本题的关键是菱形的边长． 【变式17-1】如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是动点函数图象问题，可由菱形的对角线互相平分，选取特殊位置﹣﹣两对角线交点来考虑，问题不难解答． 【详解】y随x的增大，先是由大变小，当点P位于AC与BD交点处时，y＝0；由于菱形的对角线互相平分，所以点P在从AC与BD的交点处向点D的运动过程中，函数图象应该与之前的对称，故排除掉选项B，C，D．只有A正确． 故选A． 【点睛】考查了菱形对角线互相平分的性质．动点函数图象问题，可以着重考虑起始位置，中间某个特殊位置，采用排除法来解题比较简单． 【变式17-2】如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积（）随时间变化的关系图像，则的值为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】通过分析图像，点从点到用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图像可知，应用两次勾股定理分别求和的值即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由图像可知，点由点到点用时为，的面积为， ∴， ∴，即， ∴， 当点从到时，用时， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，可有， 即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形性质和函数图像，理解函数图像变化与动点位置之间的关系是解题的关键． 【变式17-3】 如图，在直线分别与x、y轴相交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，以下结论：①；②直线BC的解析式为；③点D；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是；正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求的长，可判断①； 由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②； 由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③； 由菱形的性质可得，可得点纵坐标为，可判断④，即可求解． 【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点， 设直线解析式为：， ， ， 直线解析式为：，故②正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点，，故③正确； 线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，且， ∴， 点纵坐标为，故④错误， 故答案为：B． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】菱形中的动点问题 【例18】如图，在梯形中，，，动点P从点A开始，沿边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿边，以3厘米/秒的速度向B点运动．已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，问： (1)t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在某个时刻，四边形可能是菱形吗？为什么？ (3)t为何值时，四边形是等腰梯形？ 【答案】(1)运动时间为6秒； (2)四边形不可能是菱形，理由见解析； (3)当时，四边形是等腰梯形 【分析】（1）当四边形是平行四边形时，必须有，列方程解答即可； （2）由若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（1）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得四边形不可能是菱形； （3）过点D作，则利用等腰梯形的性质可建立关于t的方程，解出即可． 【详解】（1）解：∵运动时间为t秒， ∴，，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形. 此时有，解得． ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 根据（1）得：， ∴， 过点D作于E， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形不可能是菱形； （3）解：若四边形是等腰梯形，如图，则， 过点D作， 则， ∴，四边形为矩形， 则，， 由（2）知，， 当时，四边形是等腰梯形． 即， ∴． 当时，四边形是等腰梯形． 【点睛】此题考查了梯形的性质及等腰梯形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、解一元一次方程，属于动点型问题，关键是判断出满足条件的点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值，难度较大． 【变式18-1】如图，和是两个边长都为的等边三角形，且B，D，C，E都在同一直线上，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，沿着的方向以每秒的速度运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，平行四边形是菱形？请说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当秒时，理由见解析 【分析】(1)根据题意可得，，可证得，据此即可证得结论； (2)根据题意可知：当点B与点D重合时，是菱形，据此即可求得． 【详解】（1）证明：和是两个边长都为的等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：当秒时，平行四边形是菱形， 理由如下： 四边形是平行四边形， 当，即当点B与点D重合时，是菱形， 此时(秒)， 故当秒时，平行四边形是菱形 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键． 【变式18-2】如图，菱形ABCD中，，，E、F分别是AB、BC的中点，若点P从点E出发，沿的路线运动，则当时，EP的长为______． 【答案】1或或2 【分析】由菱形的性质可得∠B=60°，AB=BC=2，∠BCD=120°，可证△BEF是等边三角形，可得BE=EF=BF=1，∠BEF=∠BFE=60°，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和平行四边形的性质可求解． 【详解】在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°， ∴∠B=60°，AB=BC=2，∠BCD=120°， ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴BE=BF=1=AE=CF， ∴△BEF是等边三角形， ∴BE=EF=BF=1，∠BEF=∠BFE=60°， 如图， 当点P与点A重合时，则PE=EF=1， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠EAF+∠EFA=∠BEF=60°， ∴∠EPF=30°； 当点P''与点C重合时， 同理可求∠EP''F=30°， 此时EP''=BE=； 当点P'在CD的中点时， ∴DP'=CP'=1， ∴CP'=BE， 又∵AB∥CD， ∴四边形BCP'E是平行四边形， ∴EP'∥BC，EP'=BC=2， ∴∠EP'F=∠CFP'， ∵CF=CP'=1， ∴∠CFP'=∠CP'F=30°， ∴∠EP'F=∠CFP'=30°， 综上所述：EP的长为1或或2， 故答案为：1或或2． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式18-3】如图，在中，为锐角，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示） (2)点P在上，∥时，求t的值． (3)当直线平分的面积时，求t的值． (4)若点Q的运动速度改变为每秒a个单位．当，的某两个顶点与P、Q所围成的四边形为菱形时，直接写出a的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】（1）分为点P在BC上或点P在上两种情况解题即可； （2）当点P在上，点Q在上时，可得四边形是平行四边形，从而即可解题； （3）过平行四边形的中心时，平分四边形的面积，即与关于的对称中心对称或和关于的对称中心对称，进而得出结果； （4）可得，则点P在上，点Q在上时，分为四边形和为菱形时解题即可． 【详解】（1）当点P在BC上时， ∵， ∴， 当点P在上时， ， 故答案为：， （2）解：当点P在上，点Q在上时，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴， ∴； （3）解：当时， 当时，直线平分四边形的面积， ∴， ∴， 当时， 当时，直线平分四边形的面积， ∴， ∴， 综上所述，或时，直线平分四边形的面积； （4）∵当 ， 点P在上，点Q在上， ①当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ②当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ∴这种情况不存在， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． 【压轴二】菱形背景下的探索规律问题 【例19】如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，若每次翻转60°，连续翻转2022次，点B的落点依次为则的坐标为（    ） A．（1346，0） B．（1346.5，） C．（1348，） D．（1349.5，） 【答案】C 【分析】连接，根据条件可以求出，确定B的坐标为，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于，因此点B向右平移(即)到点，根据点B的坐标就可求出点的坐标． 【详解】解：连接，如图所示，交y轴于点D． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B的坐标为， 如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵， ∴点B向右平移(即)到点． ∵B的坐标为， ∴的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键． 【变式19-1】如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，连接，作，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则等于___________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可求出的值，进而可得出的值，找出规律即可得出的值． 【详解】解：∵点B、E为边的中点，， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴； 同理求得：； … ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【变式19-2】如图，矩形ABCD的面积为16cm2，对交线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（    ） A．cm2 B．1cm2 C．2cm2 D．4cm2 【答案】A 【分析】矩形ABCD的面积=AB×AD=16cm2，过点O向AB作垂线，垂足为E，平行四边形AOC1B的面积=AB×OE，根据矩形的性质，OE=AD，即平行四边形AOC1B的面积=AB×AD=，过点O1向AB作垂线，垂足为F，根据平行四边形的性质，O1F=OE=AD，即平行四边形AO1C2B面积=AB×AD=，依此类推，即可得到平行四边形AO4C5B的面积． 【详解】过点O向AB作垂线，垂足为E，过点O1向AB作垂线，垂足为F，如下图所示： ∵∠DAB=∠OEB， ∴OE∥DA， ∵O为矩形ABCD的对角线交点， ∴OB=OD ∴OE=AD， 矩形ABCD的面积=AB×AD=16cm2， 平行四边形AOC1B的面积=AB×OE=AB×AD=8 cm2， 同理，根据平行四边形的性质， O1F=OE=AD， 平行四边形AO1C2B面积=AB×AD=4 cm2， 依此类推： 平行四边形AO4C5B的面积=AB×AD=cm2， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和规律型：图形的变化美，根据矩形和平行四边形的性质，找到前两个图形的规律，依此类推即可，掌握规律是解题的关键．此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等． 【变式19-3】（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 【答案】(1)100 ，21 (2)20 (3)不可能拼成一个菱形，理由见解析 【分析】（1）观察图形，根据所给图形可得有阴影的三角形总数为：4，9，16，第9个图形中有阴影的三角形数为： ，故可求第（9）个图中阴影三角形的个数；非阴影三角形的个数为： ，故可得结论； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据菱形的特征和所给图形是等边三角形的特征解答即可． (1) 第（1）（2）（3）个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第（9）个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100（个），空白三角形的个数为; 故答案为：100；21； (2) 第n个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：=， 解得，或（舍去） 经检验，符合要求， 所以，； (3) 设第（m）个图形可重新拼成一个菱形，第（m）个图形总的三角形个数为,     由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x2,则有： 解得， ∴不是正整数， ∴不可能拼成一个菱形． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． 【压轴三】 菱形的存在性问题 【例20】如图，矩形中，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q． (1)求证：； (2)若厘米，厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示的长；并求t为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)秒 【分析】（1）根据四边形是矩形可得，，再根据O为的中点得出，即可证出． （2）根据厘米，厘米，得出和的长，再根据四边形是菱形列方程求出t的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， 又∵O为的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）由题意得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴时，四边形是菱形， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即运动时间为秒时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定，在解题时与全等三角形结合是解本题的关键． 【变式20-1】如图，在四边形中，，是的中点，，， ，，点是边上一动点，设的长为． (1)当的值为　 　时，以点为顶点的四边形为平行四边形； (2)点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． 【答案】(1)1或11 (2)能，理由见详解 【分析】（1）若以点为顶点的四边形为平行四边形，那么，可有两种情况：当点在点左侧时和点在点右侧时，依次求解即可获得答案； （2）点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形．当时，四边形为平行四边形，根据已知条件计算出，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）解：若以点为顶点的四边形为平行四边形，那么， 可有两种情况： ①当点在点左侧时， ∵是的中点，， ∴， ∴； ②当点在点右侧时， 可有． ∴当的值为1或11时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为：1或11； （2）点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形， 理由如下： ①当点在点左侧时，如下图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 即此时以为顶点的四边形不能构成菱形； ②当点在点右侧时，如下图，过点作于点， 由（1）可知，当时，四边形为平行四边形， 此时，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴四边形为菱形． 综上所述，点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【变式20-2】如图，为等腰三角形，，点是底边 上的一个动点，，． (1)用表示四边形的周长为______； (2)点运动到什么位置时，四边形是菱形，并说明理由． 【答案】(1) (2)在的中点，见解析 【分析】（1）根据，等边对等角；根据平行线的性质，得，，根据等角对等边，等量代换，即可； （2）连接，根据，，得四边形是平行四边形；根据，在的中点，得；再根据平行线的性质，得，等量代换；最后根据等角对等边，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）∵为等腰三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形的周长为： ∴四边形的周长为： 故四边形的周长为． （2）在的中点，四边形是菱形． 证明如图： 连接 ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵，在的中点 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查等腰三角形，平行线，菱形的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，等边对等角． 【变式20-3】如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间是秒（），过点作于点，连接，． (1)填空：的长是________； (2)在，的运动过程中，线段与有什么关系？请证明． (3)在，的运动过程中，是否存在四边形为菱形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)线段与平行且相等．证明见解析 (3)存在；， 【分析】（1）在中，，，，则，由勾股定理求得的长． （2）先证四边形是平行四边形，从而证得线段与平行且相等． （3）由四边形为平行四边形．根据使四边形为菱形则需要满足的条件即可求得答案． 【详解】（1）在中，，，， ∴， ∴， 故答案为： （2）线段与平行且相等． 证明：∵于点， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∴线段与平行且相等．． （3）存在；，求解过程如下： 由（2）得四边形为平行四边形． ∵，， ∴， 若使四边形为菱形，则需， 即， 解得， 即当时，四边形为菱形． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，直角三角形30度角的性质、勾股定理、动点问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《21.3.2菱形 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 利用菱形的性质求角度 模块11 菱形中的尺规作图问题 模块2 利用菱形的性质求线段长 模块12菱形中的多结论问题 模块3 利用菱形的性质求面积 模块13菱形中的证明 模块4 利用菱形的性质求坐标 微专题1菱形背景下的折叠问题 模块5 含60°角的菱形 微专题2菱形背景下的旋转问题 模块6添加条件使四边形为菱形 微专题3利用菱形的性质求最值 模块7证明四边形为菱形 微专题4函数图象与菱形的综合 模块8 利用菱形的性质与判定求角度 压轴1 菱形中的动点问题 模块9利用菱形的性质与判定求线段长 压轴2 菱形背景下的探索规律问题 模块10 利用菱形的性质与判定求面积 压轴3 菱形的存在性问题 模块通关·举一反三 【模块一】利用菱形的性质求角度 【例1】如图，在菱形中，对角线、相交于点，于点，若，则的大小为（    ） A．20° B．35° C．55° D．70° 【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则的度数是（    ） A．110° B．112° C．115° D．120° 【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（    ） A．45° B．50° C．60° D．70° 【变式1-3】如图所示，在菱形 中，，， 分别是边 和 的中点， 于点 ，则 的度数是 （   ） A． B． C． D． 【模块二】利用菱形的性质求线段长 【例2】如图，四边形是边长为5cm的菱形，对角线长6cm，，垂足为点E，则的长是（　　）cm． A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，于点E，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【变式2-2】如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A． B． C． D． 【模块三】利用菱形的性质求面积 【例3】如图，点E，F是菱形ABCD边AB，BC的中点，，则菱形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按如图甲对折后，再按如图乙所示对折，然后沿者图丙中的所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，得到①，②两部分，图①展开后得到的四边形的面积为（      ） A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．90cm2 【变式3-2】如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为___________． 【变式3-3】如图，在菱形ABCD中，，，为等边三角形点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（    ） A．4 B． C．8 D． 【模块四】利用菱形的性质求坐标 【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（-3，2） D．（5，4） 【变式4-1】如图，已知菱形的顶点，且，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（    ） A． B． C．（1，2） D． 【变式4-2】如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B（-1，0）和C（2，0）在x轴上，若顶点A，D中有一个顶点在y轴的正半轴上，则第四个点的的坐标为（    ） A．(-1，) B．(3，) C．（-3，）或（3，） D．（3，）或（-3，） 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A(﹣1，0)，D(0，)为菱形ABCD的顶点，现固定点A．沿对角线AC方向将菱形的顶点C拉至点处，使得点B，D落在菱形ABCD内部的点，处，若＝30°，则此时点的坐标是（　　） A．(﹣1，) B．(1﹣，) C．(，) D．(﹣，) 【模块五】含60°角的菱形 【例5】在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（　　） A．2 B．2 C．3 D． 【变式5-1】如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【变式5-2】如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到直线CD的距离的最大值为　 　． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【模块六】添加条件使四边形为菱形 【例6】如图，在中，对角线，相交于点O，若添加一个条件，使得一定为菱形，该条件是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足（   ） A．垂直 B．相等 C．互相平分 D．互相平分且垂直 【变式6-2】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】小青和小云是同班同学，在上网课期间，老师在电脑上出示了如图所示的任意四边形分别为的中点，要求她们添加一个条件使得四边形为菱形，小青添加的条件是，小云添加的条件是，则下列说法正确的是（　　） A．小青和小云都正确 B．小青正确，小云错误 C．小青错误，小云正确 D．小青和小云都错误 【模块七】证明四边形为菱形 【例7】如图，已知，BD平分． (1)用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，交BD于点G，连接DE，DF．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：四边形BFDE是菱形． 证明：∵BD平分 ∴ ① ∵EF垂直平分BD ∴， ∴ ∴ ∴ ② 在和中， ∴（ASA） ∴ ③ ∵ ∴四边形BFDE是平行四边形 ∵ ④ ∴平行四边形BFDE是菱形 【变式7-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD//BC，AE//DC，EF⊥CD于点F． (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若AB＝3，AC＝4，求EF的长． 【变式7-2】如图，DB是▱ABCD的对角线． (1)尺规作图：作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB、DB、DC于E、O、F，连接DE，BF；（保留作图痕迹，不写作法） (2)试判断四边形DEBF的形状，并说明理由． 【变式7-3】如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则菱形的周长为______，面积为______． 【模块八】利用菱形的性质与判定求角度 【例8】已知：如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD， 连接BF交AD于点E． 求证：（1）AE=ED （2）若AB=BC，求∠CAF的度数 ． 【变式8-1】平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G； （1）求证：BH =AB； （2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论． 【变式8-2】如图，四边形为平行四边形，过点作，交边于点，交边延长线于点．连接、，过点作交延长线于点，已知． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的度数． 【变式8-3】如图，菱形ABCD 中，在边AD，BC 上分别截取DM=BN， 连接MN 交AC于点O，连接DO 若 ，则的度数为(   ) A．40度 B．50度 C．60度 D．70度 【模块九】 利用菱形的性质与判定求线段长 ．【例9】两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（    ） A．4 B．8 C． D．16 【变式9-1】如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（      ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，则______． 【变式9-3】如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，连接 ，若 ，，则 的长为（      ） A． B． C． D． 【模块十】 利用菱形的性质与判定求面积 ．【例10】如图．两条等宽的长方形纸条倾斜的重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（    ）． A． B． C．4 D． 【变式10-1】如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝4，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．6 C．24 D．3 【变式10-2】如图，矩形的对角线，相交于点，，，，，则下列结论错误的是　　 A． B． C．四边形是菱形 D．四边形的面积是 【变式10-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝13．以A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，AD于M，N；分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧相交于点G；作射线AG交BC于E；作EF∥AB交AD于F．若AE＝10，则四边形ABEF的面积等于________． 【模块十一】菱形中的尺规作图问题 【例11】观察下面的尺规作图痕迹，在平行四边形基础上能成功作出菱形的是（  ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式11-1】如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使得；分别以A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，AB，OC．若，四边形OACB的面积为，则OA的长为（    ） A．1cm B． C．2cm D． 【变式11-2】如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______． 【变式11-3】如图，在中，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【模块十二】 菱形中的多结论问题 【例12】如图，平行四边形纸片中，，，将平行四边形纸片沿折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是______． ①；②；③④ 【变式12-1】如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连结CE、AF交于点H，连结DH交AC于点O.则下列结论：①∠B＝60°；②△ABF≌△CAE；③∠AHC＝120°；其中正确的是(   ) A．①② B．①②③ C．②③ D．以上都不对 【变式12-2】如图，菱形的周长为，，垂足为，，则下列结论中正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式12-3】如图，中，； 和都是等边三角形，为的中点，连接交于点，与交于点；以下结论：①；②四边形为菱形；③；④．其中，正确的结论有_________．（填写所有正确结论的序号） 【模块十三】 菱形中的证明 ．【例13】如图，平行四边形中，平分交于点E． (1)用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，连接，求证：四边形是菱形，请完成下面的证明过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①_________， ∴． ∵平分， ∴②_________， ∴， ∴． 同理可证， ∴③_________． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵④_________， ∴四边形是菱形． 【变式13-1】如图，平行四边形中，平分，，延长与交于点P，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式13-2】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式13-3】如图，D、E、F分别是各边的中点，连接、、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)加上条件______后，能使得四边形为菱形，请从①，②平分；③；这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】菱形背景下的折叠问题 【例14】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】在数学实践活动中，将一张平行四边形纸片进行折叠（如图1、2所示），折痕为，点E在边上，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在边上，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若点E是边的中点，且，，求的长． 【变式14-2】如图，已知直线，与之间的距离为．、是直线上两个动点（点在点的左侧），且．连接、、，将沿折叠得到．下列说法：①四边形的面积始终为；②当与重合时，四边形是菱形；③当与不重合时，连接、，则；④若以、、、为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为或．其中正确的是(   ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式14-3】综合与实践 问题情境：如图1，在中，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接． 独立思考： (1)在图1中，若，，则的长为______； 实践探究： (2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由； 问题解决： (3)如图2，在中，，，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接．请判断四边形的形状，并说明理由． 【微专题二】菱形背景下的旋转问题 【例15】如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第60秒时，点C的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，等腰中，，绕点逆时针旋转60度后得到（点对应点）． (1)尺规作图：请作出，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，若、、在同一直线上，且点是的中点．证明：四边形是菱形． 【变式15-2】如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，ADx轴，AD＝2，∠A＝60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在y轴上，则旋转后点A的对应点的坐标是（    ）． A．或 B． C． D．或 【变式15-3】如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； (3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明． 【微专题三】利用菱形的性质求最值 【例16】菱形的边长为2，，点P、Q分别是、上的动点，的最小值为______ 【变式16-1】．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（　　） A．5 B．5 C．5 D．不能确定 【变式16-2】如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【变式16-3】如图，在菱形中，，，为边的中点，为对角线上的一个动点，则线段的最小值是________． 【微专题四】 函数图象与菱形的综合 【例17】如图1，菱形ABCD中，，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D． 【变式17-1】如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积（）随时间变化的关系图像，则的值为（　　） A． B．5 C． D． 【变式17-3】 如图，在直线分别与x、y轴相交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，以下结论：①；②直线BC的解析式为；③点D；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是；正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 压轴突破·素养提升 【压轴一】菱形中的动点问题 【例18】如图，在梯形中，，，动点P从点A开始，沿边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿边，以3厘米/秒的速度向B点运动．已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，问： (1)t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在某个时刻，四边形可能是菱形吗？为什么？ (3)t为何值时，四边形是等腰梯形？ 【变式18-1】如图，和是两个边长都为的等边三角形，且B，D，C，E都在同一直线上，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，沿着的方向以每秒的速度运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，平行四边形是菱形？请说明你的理由． 【变式18-2】如图，菱形ABCD中，，，E、F分别是AB、BC的中点，若点P从点E出发，沿的路线运动，则当时，EP的长为______． 【变式18-3】如图，在中，为锐角，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示） (2)点P在上，∥时，求t的值． (3)当直线平分的面积时，求t的值． (4)若点Q的运动速度改变为每秒a个单位．当，的某两个顶点与P、Q所围成的四边形为菱形时，直接写出a的值． 【压轴二】菱形背景下的探索规律问题 【例19】如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，若每次翻转60°，连续翻转2022次，点B的落点依次为则的坐标为（    ） A．（1346，0） B．（1346.5，） C．（1348，） D．（1349.5，） 【变式19-1】如图，是边长为1的等边三角形，分别取边的中点D、E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，连接，作，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则等于___________． 【变式19-2】如图，矩形ABCD的面积为16cm2，对交线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（    ） A．cm2 B．1cm2 C．2cm2 D．4cm2 【变式19-3】（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 【压轴三】 菱形的存在性问题 【例20】如图，矩形中，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q． (1)求证：； (2)若厘米，厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示的长；并求t为何值时，四边形是菱形． 【变式20-1】如图，在四边形中，，是的中点，，， ，，点是边上一动点，设的长为． (1)当的值为　 　时，以点为顶点的四边形为平行四边形； (2)点在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． 【变式20-2】如图，为等腰三角形，，点是底边 上的一个动点，，． (1)用表示四边形的周长为______； (2)点运动到什么位置时，四边形是菱形，并说明理由． 【变式20-3】如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点，运动的时间是秒（），过点作于点，连接，． (1)填空：的长是________； (2)在，的运动过程中，线段与有什么关系？请证明． (3)在，的运动过程中，是否存在四边形为菱形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $