21.3.1矩形（小模块.微专题.大压轴）（十五大题型）2025-2026学年数学人教版八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《21.3.1矩形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 矩形性质的理解 模块9矩形与多结论问题的判断 模块2 利用矩形的性质求角 模块10 直角三角形斜边中线 模块3 利用矩形的性质求线段的长 微专题1矩形中的分类讨论 模块4 利用矩形的性质求面积 微专题2矩形中的折叠问题 模块5 利用矩形的性质求点的坐标 微专题3矩形与最值问题 模块6利用矩形的性质进行证明 压轴1 矩形与旋转问题 模块7矩形的判定条件 压轴2 矩形与动点问题 模块8 证明四边形是矩形 模块通关·举一反三 【模块一】矩形性质的理解 【方法点拨】(1)矩形是特珠的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质可归纳为三个方面：从边看，矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直：从角看，矩形的四个角都是直角：从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. (2)矩形（正方形除外）是轴对称图形，有两条对称轴，是过对边中点的直线，对称轴的交点就是对角线的交点。 (3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且所分成的四个等腰三角形面积相等 【典例1】（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查矩形的性质，根据矩形的性质依次判断即可，熟练掌握其性质是解题关键． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∵O为中点， ∴，故选项A、B、C正确，不符合题意； 无法得出，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（2025·山东泰安·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．正五边形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，轴对称图形是一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，据此解答即可. 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意. 故选：B． 【变式1-2】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴不一定正确，故A不符合题意； ，不一定正确，故B不符合题意； 不一定正确，故C不符合题意； 一定正确，故D符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件 ，使．(只填写一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了矩形的性质，全等三角形的判定．根据矩形的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：添加， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【模块二】利用矩形的性质求角 【典例2】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形外角的性质．延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【变式2-1】如图，矩形中，交于点O，若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，最后由角的和差计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式2-2】如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式2-3】如图，矩形的对角线相较于点O，的平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质及角平分线得出∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，利用等边三角形的判定和性质结合图中各角之间的关系即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°， ∴OA=OB，∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB， ∵∠CAE=15°， ∴∠DAC=45°-15°=30°， ∠BAC=60°， ∴△BAO是等边三角形， ∴AB=OB，∠ABO=60°， ∴∠CBD=90°-60°=30°， 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的计算，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是综合运用这些知识点． 【模块三】利用矩形的性质求线段的长 【方法点拨】 (1)把要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°，45)的直角三角形的三边关系求解： (2)利用矩形的性质（四个角都是直角，对角线相等且互相平分）寻找所需条件.另外，还可借助全等三角形、线段的和差倍分关系等求矩形中线段的长度. 【典例3】（2024·贵州遵义·一模）在矩形中，过对角线的中点O作，分别与和的延长线交于点E，F. (1)求证：； (2)若，，求与的长. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ， 点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，连接， ∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ， ， ∵ ∴， 即 解得， ， ， ， ． ， ， ． 【变式3-1】（2025·四川雅安·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别是的中点，则 ． 【答案】5 【分析】连接，根据矩形的性质可得，，再根据勾股定理得，最后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， E，F分别是的中点， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3-2】如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点，过点作于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据矩形的性质即可得到的面积为3，再根据，即可得到的值． 【详解】∵四边形是矩形，， ∴矩形的面积为12，， ∴， ∴， ∵对角线交于点O， ∴的面积为3， ∵， ∴， 即 ∴， 故选；C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分． 【变式3-3】．在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形是菱形，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据矩形的对边相等可得，然后求出，从而得解． 【详解】解：四边形是矩形 ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出是等边三角形． 【模块四】利用矩形的性质求面积 【典例4】如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交于点．若则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质证明，得出阴影部分面积等于矩形的面积的一半即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式4-1】如图，矩形的面积为，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，…以此类推，平行四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的 ，然后求解即可． 【详解】解：设矩形的面积为， ∵矩形的对角线交于点， ∴平行四边形底边AB上的高等于 ， ∴平行四边形的面积等于 ， ∵平行四边形的对角线交于点， ∴平行四边形的边AB上的高等于平行四边形的底边AB上高的 ， ∴平行四边形的面积等于 ， 由此类推， 平行四边形的面积等于 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的 三是解题的关键． 【变式4-2】如图，在矩形中，对角线相交于点O，平分交于点E，，连接，则下面的结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【来源】陕西省汉中市第四中学2022-2023学年九年级上学期 数学第一次月考试题 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，可证是等边三角形，可得，故①正确；在中，由勾股定理可求得，故②错误；可证，可求，故③错误；由，可得，故④正确；由三角形的面积公式可求得故⑤正确；即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，故①正确； 在中， ， ∴故②错误； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴ ∵ ∴，故⑤正确； ∴正确的有①④⑤共3个． 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 【变式4-3】如图（1）是一副七巧板，其中最小正方形的边长是1，取其中六块拼成如图（2）的形状，沿图形外围构造矩形（虚线部分），则该矩形的面积是（    ） A．35 B．35.5 C． D． 【来源】湖北省武汉市华一光谷分校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试卷 【答案】B 【分析】分三步：第一步计算出原七巧板中各个图形中对应边的边长，第二步求出七巧板中平行四边形对应边的边长，第三边求出矩形的长和宽，最后根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：第一步，由图（1）可计算出原七巧板中各个图形中相应边的长度，如下图所示： 第二步：可求出七巧板中平行四边形对应的边的长度，如下图所示； 第三步：可以计算出图（2）中矩形的长和宽，如下图所示： ∴矩形的长为，矩形的宽为， ∴矩形的面积为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，七巧板拼接图形，正确求出各图形中边的长度是解题的关键． 【模块五】利用矩形的性质求点的坐标 【典例5】（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 【变式5-1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知：，， 设，则， 又∵ ∴ ∴ 在中，，即 解得： ∴点的坐标为 故答案为 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及平面直角坐标系的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 【变式5-3】如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【答案】A 【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可． 【详解】∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P， ∴∠A'OB=∠AOB， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB， ∴∠OBC=∠A'OB， ∴OP=BP， ∵点B的坐标为（6，3）， ∴AB=OC=3，OA=BC=6， 设OP=BP=x，则PC=6﹣x， 在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2， ∴32+（6﹣x）2=x2， 解得：x=， ∴PC=6﹣=， ∴P（，3）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题. 【模块六】利用矩形的性质进行证明 【典例6】（2025·山东聊城·三模）如图，在矩形中，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据矩形的性质得到，，，通过证明得到，则有，进而证出，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，利用线段的和差求出的长，利用三角形的面积公式求出，再根据，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， 矩形， ，，， ， ， ， ， 由题意得，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：矩形， ，， 由题意得，， ， ， ， 由（1）得，， ， 四边形的面积． 【变式6-1】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°． (1)如图1，求证：△AOB为等边三角形． (2)如图2，若AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，请直接写出图中除等边三角形外的所有等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)△ABE是等腰三角形，△OAD，△OBC，△BEO是等腰三角形 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理解答； （2）根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答即可． (1) 证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OB， 又∵∠AOB=60°， ∴△AOB为等边三角形； (2) 解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AE平分∠BAD交BC于点E， ∴OA=OD=OB=AB=OC，∠BAE=45°， ∴AB=BE， ∴BE=OB， 所以△ABE是等腰三角形，△OAD，△OBC，△BEO是等腰三角形． 【点睛】本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定解答． 【变式6-2】如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F． (1)求证：△AEF≌△BEC． (2)若CD＝4，∠F＝45°，则CE的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到∠F=∠BCE，再利用全等三角形的判定解答即可； （2）利用勾股定理可以先求出CF的长，再利用全等三角形的性质得出CE=EF，即可求解． （1） 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴∠F=∠BCE， ∵E为AB的中点， ∴AE=BE， 又∵∠AEF=∠BEC， ∴△AEF≌△BEC（AAS）； （2） 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， 又∵∠F=45°， ∴∠DCF=90°-∠F=45°， ∴DF=DC=4， ∴， ∵△AEF≌△BEC， ∴CE=EF， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【变式6-3】如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为的中点，连接、． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)45° 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义及平行线的性质证得，，再根据等角对等边得到即可得到结论； （2）根据矩形性质和等腰直角三角形的性质证得，，，再根据全等三角形的判定与性质证明得到，，则有，进而求解即可． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形；理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴，即． ∵，，点为的中点， ∴，，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形 ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 【模块七】矩形的判定条件 【典例7】（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质．核心素养表现为推理能力和空间观念．先证明，，进而得出，按作图要求得出四边形可能是平行四边形，得出结论． 【详解】解：平分． ， ， ， ， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形， 四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形， 故选B． 【变式7-1】（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述判定与性质． 根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一分析，再作判断． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故A不符合； 添加，可得， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故B不符合； 添加，可得出四边形是菱形， 不能判定四边形是矩形，故C符合； ∵四边形是平行四边形， ∴， 添加，可得出， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故D不符合， 故选：C． 【变式7-2】（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【变式7-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是 （写出一个即可）． 【答案】是的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：， ． 平分， ， ， ． 同理可证， ． 是的中点， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 是矩形． 故答案为：是的中点 ． 【模块八】证明四边形是矩形 【典例8】（2025·甘肃酒泉·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证四边形是矩形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握这些性质定理是解题关键． （1）利用全等三角形的性质得到对应边和对应角相等，进而证明，从而得出； （2）先根据全等和角的关系证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角，进而判定为矩形． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是矩形 【变式8-1】如图，在平行四边形中，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【来源】湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试卷 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，可以判断出四边形是平行四边形，可得到结论； (2)根据平行四边形的性质得到根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 即， ，， 为线段的中点， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形的面积矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式8-2】如图，在中，，点P是边上的一个动点（不与点A、B重合），过点P分别作．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)直接写出线段长度的最小值为__________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形，即可得到答案． （2）连接、，根据矩形性质，可得，当时，有最小值，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：连接、，如图所示， 由（1）得：四边形是矩形， ∴， ∴当时，长度最小， 即长度最小， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 即长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短的性质，判断出当时，有最小值是解题关键． 【变式8-3】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）利用三角形中位线定理求出，利用矩形的性质得到，根据等角对等边证明，则，根据矩形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴；， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【模块九】矩形与多结论问题的判断 【典例9】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°， ∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB， 又∵ AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中 ∵∠ACB=30° ∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB， ∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO， ∴，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 【变式9-1】如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO=S△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确结论的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、正方形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=DO=CO，AC=BD，故①③正确； ∵BO=DO， ∴S△ABO=S△ADO，故②正确； 当∠ABD=45°时， 则∠AOD=90°， ∴AC⊥BD， ∴矩形ABCD变成正方形，故⑤正确， 而④不一定正确，矩形的对角线只是相等， ∴正确结论的个数是4个． 故选择：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及正方形的判定，解题的根据是熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质． 【变式9-2】如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，∴，，∴若、两点关于对称，如图，∴为的垂直平分线，∴，∴①正确； ②如图，取的中点为，连接、． ∵，∴． 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，∴②正确； ③如图，当，，∴四边形是矩形，∴与相互平分，但与的夹角为、，不垂直，∴③不正确； ④如图，此时四边形的面积，，∴④不正确． 综上所述：正确的有①②，个结论．故选． 点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中． 【变式9-3】如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【来源】江苏扬州市江都区实验初级中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形的性质知，结合是的中点知且，继而得，结合即可证得，根据全等三角形的性质得出，，即可判断（1）（2）（3），根据垂线段最短得出当，时，值最小，根据矩形的性质和判定得出，求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故结论（1）正确； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故结论（2）正确； ∵， ∴， ∵是的中点，，， ∴， ∴，故结论（3）正确； 当，时，、分别取小值， ∵， ∴，此时的值最小， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，故结论（4）正确； 综上所述，正确的个数是4个． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定，垂线段最短等知识点．综合运用定理进行推理是解题的关键． 【模块十】直角三角形斜边中线 【典例10】如图，已知是的一条高线，点是的中点，点是的中点，连接、、，如果，，的周长为，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7.5 D．7 【答案】D 【分析】根据题意，得出是的中位线，根据中位线的性质，得出，再根据题意，得出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，再根据三角形的周长，得出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵点是的中点，点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵是的一条高线， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 在中，，点是的中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解本题的关键在熟练掌握相关的性质． 【变式10-1】如图，在中，垂直于点D，于点E，F为的中点，，则的周长为（　　） A．21 B．18 C．15 D．13 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出的长，即可求解． 【详解】解：∵，F为的中点， ∴， ∵，F为的中点， ∴， ∴的周长． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 【变式10-2】如图，在中，，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为______． 【答案】 【分析】根据垂直定义可得，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，利用含30度角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中线，， ∴，， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【变式10-3】如图，在矩形中，，，点A在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上运动时，点D也随之运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为______． 【答案】8 【分析】取的中点，连接，，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求的长，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵矩形，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， 在中，， 当点在上时，， ∴的最大值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】矩形中的分类讨论 【典例11】如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______． 【答案】60°或300° 【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，可得GA=GD=AD，依据∠DAG=60°，分两种情况讨论，即可得到旋转角的度数． 【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM=BH= AD= AG， ∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=360°-60°=300°． 故答案为60°或300°． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【变式11-1】（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，坐标与图形，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 点在折线上运动，不与重合．当为整数时，的可能取值为1、2、3．通过计算各段折线上为整数的点的位置，并求的长度． 【详解】解：如图所示，以为原点建立坐标系，则，，，． 折线包括线段、和． ①当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得； ②当时，在上，坐标为，此时由勾股定理得；   ③当时，可在上或上， 若可在上，由勾股定理得； 若可在上，此时的坐标为，由勾股定理得．   综上所述，当为整数时，的长为． 故答案为：或或． 【变式11-2】如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 【答案】或或 【分析】根据题意，分，，两种情况讨论，利用勾股定理和矩形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=10， ∴AD=BC=10，CD=AB=4， ①当时，当M在BC上时，在Rt△ABP中，AB=4，PB=3， PM=AP=5， 而BC=10， ∴CM=10-3-5=2； 当M在AD上时，连接CM，如图，过点P作PN⊥AD，则四边形ABPN是矩形， AN=BP=NM=3， ,， 中，； ②当时，点M在AD上,连接CM，则AM=AP=5， ∴DM=AD-AM=BC-MD=10-5=5， ∵CD=AB=4， 在Rt△CMD中，， 故答案为：或或. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，同时利用了等腰三角形的性质和勾股定理，分类讨论是解题的关键． 【变式11-3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 【答案】6或4 【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°． ①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC， ∴∠B′EC=90°， 由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°， 在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC， ∴BE=CE=BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2， ∴AE=AB=，BE==3， ∴BC=2BE=6； ②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O， ∵AD∥BC， ∴∠OAC=∠ACB， 由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C， ∴∠OAC=∠ACO， ∴OA=OC，又AD=BC=B′C， ∴OD=OB′ ∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°． ∵∠ADC=∠B=∠AB′C， ∴∠CDB′=∠AB′D=90°， ∴CD∥AB′，又CD =AB′， ∴四边形AB′DC是矩形， ∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=， ∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2， 解得：BC=4， 综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：6或4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键． 【微专题二】矩形中的折叠问题 【方法点拨】(1)折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等： (2)在矩形折叠问题中求线段长时，常常综合应用勾股定理和方程思想， (3)矩形中存在一些特殊的角和数量关系，如四个直角、对角线相等. 【典例12】（2025·湖南·模拟预测）已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠． (1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)①四边形是菱形，证明见解析；② (2)①见解析；②6 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，图形折叠的性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）①根据折叠变换的性质和菱形的判定即可得； ②设，则，在直角三角形中，由勾股定理求，在直角三角形中，由勾股定理求x，利用菱形面积的计算公式建立等式，进行计算即可得； （2）①由矩形和折叠的性质，用证明，从而得，则，由，得； ②由，，得，，，设，则，根据勾股定理得，进行计算即可得的长度． 【详解】（1）①四边形是菱形． 证明如下： 由折叠的性质，得，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． ②四边形是矩形， ， ，， ， 设，则， ， ，解得， ， ， ． （2）①四边形是矩形， ，， 由折叠的性质，得，， ，， 在和中， ， ， ， ， ． ②设， ， ， ， ， 由折叠的性质，得，， ， ， ， ， ，解得， ． 【变式12-1】如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm 【答案】C 【分析】由翻折的规律证明四边形EFGH是矩形及AB＝2EM，再由矩形的性质结合已知条件求出EM的长度，即可求出AB的长度，由折叠性质证明AD+BC＝2HF，求得AD，最后由矩形的周长公式求得周长便可． 【详解】解：如图所示， ∵将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， ∴EA＝EM，BE＝EM，∠AEH＝∠HEM，∠BEF＝∠FEM，∠EMH＝∠A＝90°， ∴AB＝AE+EB＝2EM， ∵∠AEH+∠HEM+∠BEF+∠FEM＝180°， ∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM180°＝90°， 同理，∠EFG＝∠FGH＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∵EH＝3cm，EF＝4cm， ∴HF5（cm）， ∵EM•HF＝EH•EF，   ∴EM（cm）， ∴AB＝2（cm）， 由折叠知，AH＝HM，BF＝MF，DH＝HN，CF＝NF， ∴AH+DH+BF+CF＝HM+MF+HN+NF， ∴AD+BC＝2HF＝2×5＝10， ∵AD＝BC， ∴AD＝5， ∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（5）＝19.6（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键． 【变式12-2】（2025·河南周口·三模）将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定以及性质，由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求．进一步得出． 【详解】解：如图，连接， ∵对折矩形的纸片，使与重合， ， ， ∵把再对折到， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 故选：C． 【变式12-3】（2024·广东清远·一模）如图，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点（），连接并延长，交于点F，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点 (1)求证：； (2)当时，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由四边形是矩形，可得，而四边形与关于所在直线成轴对称，有，故，； （2）过G作于H，设，可知，，根据点O为矩形的对称中心，可得，故，在中，，解得x的值从而可得的长为． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形与关于所在直线成轴对称， ∴， ∴， ∴； （2）解：过G作于H，如图： 设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点O为矩形的对称中心， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴的长为； 【微专题三】 矩形与最值问题 【典例13】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，是动点，将沿翻折，得到，则的最小值是 ． 【答案】/-1+ 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，由矩形的性质可得，，结合题意得出，连接，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，结合得出当、、在同一直线上时，最小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 如图，连接， ， 由勾股定理可得：， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴当、、在同一直线上时，最小，为， 故答案为：． 【变式13-1】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 【答案】2 【分析】通过连接辅助线、，利用三角形中位线定理得出与的数量关系，再根据矩形性质确定的最值，进而求出的最值差． 【详解】解：连接、． ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 在矩形中，，． 当与重合时，，此时最小，； 当与重合时，，此时最大，． ∴长度的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【变式13-2】如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【来源】湖北省武汉市江夏区武汉华一寄宿学校2021-2022学年八年级下学期6月考数学试卷 【答案】B 【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： ，于点，于点， 四边形是矩形，， ，与互相平分， 点是的中点， ， 当时，最小 ∵ ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【变式13-3】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形中，，，点P是矩形内的一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接、、，则的长即为所求． 由旋转的性质可知：是等边三角形， ∴， ， ， ∴当A、P、F、E共线时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 压轴突破·素养提升 【压轴一】矩形与旋转问题 【典例14】（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，当时，可证得是等边三角形，可得，即可得；当时，由旋转的性质可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在 中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，由矩形的性质可得，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，垂直平分，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点， ， 当时，， 是等边三角形， ∴； 如图2，当时， 由旋转的性质可得：， 在 中，根据勾股定理可得：， 故答案为：； （2）解：如图3，由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， ， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的长为； （3）解：如图4，连接， 由旋转的性质可得：， ∵四边形和都是矩形， ， ∵点落在的延长线上， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 【变式14-1】如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，求出∠COE=45°，OC=4，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案． 【详解】解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°， ∴∠HCD=∠ADO=∠BAG， ∵∠CHD=∠BGA=90°， ∴△CHD≌△AGB（AAS）， ∵，，， ∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2， ∴OH=2+2=4， ∴C（4，4）， ∴OE=CE=4， ∴∠COE=45°，OC=4， 如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F， 由旋转得∠COC1=75°， ∴∠C1OF=30°， ∴C1F=OC1=OC=2， ∴OF=， ∴点C1的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 【变式14-2】如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为a． (1)当点恰好落在EF边上时，求旋转角a的值； (2)如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：； (3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角a的值． 【来源】黑龙江省黑河市逊克县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)135°，315° 【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质可知∠CD′E=30°，再根据平行线的性质即得出∠α=30°； （2）由题意可得出CE=CE′=CG=2，由矩形的性质和旋转的性质可得出∠GCD′=∠DCE′=90°+α，进而可利用“SAS”证明△GCD′≌△E′CD，即得出GD′=E′D； （3）根据正方形的性质可得CB=CD，而，则和为腰相等的两个等腰三角形，所以当两个三角形顶角相等时它们全等．再分类讨论①当和为钝角三角形时，则旋转角；②当和为锐角三角形时，则． （1） ∵长为4，宽为2的长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′， ∴CD′=CD=4， 在Rt△CED′中，CD′=4，CE=2， ∴∠CD′E=30°， ∵CD∥EF， ∴∠α=30°； （2） 证明：∵G为BC中点，BC=4， ∴CG=2， ∴CG=CE． ∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′， ∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，CD′=CD， ∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α， 在△GCD′和△E′CD中， ∴△GCD′≌△E′CD（SAS）， ∴GD′=E′D； （3） ∵四边形ABCD为正方形， ∴CB=CD． ∵， ∴和为腰相等的两个等腰三角形， ∴当时，， ①当和为钝角三角形时，则旋转角； ②当和为锐角三角形时，，则． 综上可知当旋转角的值为和时． 【点睛】本题考查矩形、正方形的性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解题关键． 【变式14-3】将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1 （1）当点A1落在AC上时 ①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形； ②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO； （2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【分析】（1）①首先证明△ABA1是等边三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解决问题． ②首先证明△OCD1≌△OBA（AAS），推出OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题． （2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题． 【详解】（1）证明：①如图1中， ∵∠BAC＝60°，BA＝BA1， ∴△ABA1是等边三角形， ∴∠AA1B＝60°， ∵∠A1BD1＝60°， ∴∠AA1B＝∠A1BD1， ∴AC∥BD1， ∵AC＝BD1， ∴四边形ABD1C是平行四边形． ②如图2中，连接BD1． ∵四边形ABD1C是平行四边形， ∴CD1∥AB，CD1＝AB， ∠OCD1＝∠ABO， ∵∠COD1＝∠AOB， ∴△OCD1≌△OBA（AAS）， ∴OC＝OB， ∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO， ∴△DCO≌△ABO（SAS）， ∴DO＝OA． （2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F． 在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝5．AB＝3， ∴CA1＝＝4， ∵•A1C•A1B＝•BC•A1F， ∴A1F＝， ∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°， ∴四边形A1EBF是矩形， ∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝， ∴AE＝3﹣＝， 在Rt△AA1E中，AA1＝＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【压轴二】矩形与动点问题 【方法点拨】解决动点问题的基本方法是利用转化的方法，达到“化动为静”的目的，如本题，利用“矩形对角线相等”的性质。方程思想、分类讨论等来解决。 【典例15】已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止． （1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标； （3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）S=（2） （3）存在，(6,6)或 ， 【分析】（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式； （2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标； （3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可． 【详解】解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10）， ∴OA=6，OB=10， 当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6， ∴S=×8×6=24； 当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t， ∴S=×8×（16-t）=-4t+64； ∴S与t之间的函数关系式为：； （2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1， ∵OB′=OB=10，OA=6， ∴AB′==8， ∴B′C=10-8=2， ∵PC=6-m， ∴m2=22+（6-m）2， 解得m= 则此时点P的坐标是（，10）； （3）存在，理由为： 若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2， ①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8， 在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6， 根据勾股定理得：CP1=， ∴AP1＝10−， 即P1（6，10-）， ②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）； ③当DB=DP3=8时， 在Rt△DEP3中，DE=6， 根据勾股定理得：P3E=， ∴AP3=AE+EP3=+2， 即P3（6，+2）， 综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，10-），（6，+2）． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用． 【变式15-1】如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，沿着AE翻折矩形，使点B落在点F处若AB＝3，BC＝AB，解答下列问题： （1）在点E从点B运动到点C的过程中，求点F运动的路径长； （2）当点E是BC的中点时，试判断FC与AE的位置关系，并说明你的理由； （3）当点F在矩形ABCD内部且DF＝CD时，求BE的长． 【答案】（1）2π；（2）FC与AE的位置关系为：FC∥AE；（3） 【分析】(1)根据翻折的性质可得AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，当当点E运动到点C时利用三角函数求出∠BAF的度数，最后再根据弧长公式，求出点F的运动路径长.（2）根据题意知道BE＝EF＝EC，再利用三角形内角和∠BFE+∠CFE＝90°，最后根据翻折的性质求出∠BHE＝90°，即可证出FC与AE的位置关系.(3) 过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，根据题意求出AM的值，然后利用勾股定理求出MF，根据矩形的性质得到FN, 设BE＝x，则EN＝﹣x，利用勾股定理求出BE的长. 【详解】解：（1）由翻折的性质得：AF＝AB，∠BAE＝∠EAF， ∴点F运动的路径是以A为圆心，AB为半径，∠BAF为圆心角的弧长，如图1所示： 当点E运动到点C时，tan∠BAE＝= ∴∠BAE＝60°，∠BAF＝120°， ∴点F的运动路径长为：＝2π； （2）FC与AE的位置关系为：FC∥AE；理由如下： 连接BF交AE于点H，如图2所示： 由折叠性质得：BE＝EF， ∵BE＝CE， ∴BE＝EF＝EC， ∴∠FBE＝∠BFE，∠CFE＝∠FCE， ∵∠FBE+∠BFE+∠CFE+∠FCE＝180°， ∴∠BFE+∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°， 由折叠的性质得：BF⊥AE， ∴∠BHE＝90°， ∴FC∥AE； （3）过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，如图3所示： ∵AB＝3，BC＝AB， ∴BC＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，DF＝DC＝3， ∴AF＝DF， ∵MF⊥AD， ∴AM＝AD＝ 在Rt△MAF中，MF＝＝＝， ∵∠BAD＝∠B＝90°，MF⊥AD， ∴四边形ABNM是矩形， ∴BN＝AM＝，MN＝AB＝3， ∴FN＝MN﹣MF＝3﹣＝， 设BE＝x，则EN＝﹣x， 由折叠的性质得：FE＝BE＝x， 在Rt△EFN中，EF2﹣EN2＝FN2， 即：x2﹣（﹣x）2＝（）2， 解得：x＝， ∴BE的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质和翻折的性质综合题，学生们熟练掌握弧长公式、勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键. 【变式15-2】 如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连结CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连结OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为______． 【答案】（，+3） 【分析】连接BD，由矩形的性质得出S矩形CDEF=2S△CBD=12，S矩形OABC=2S△CBD，得出S矩形OABC=12，由OC=3，得出OA=4，由∠CFB=90°，C、B均为定点，F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，则OF的最大值=OM+BC=+2，即O、M、F三点共线，设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：当点D与点A重合时，如图： ∵S矩形CDEF=2S△CBD=12，S矩形OABC=2S△CBD， ∴S矩形OABC=12， ∵C点坐标为（0，3）， ∴OC=3， ∴OA=4， ∵∠CFB=90°，C、B均为定点， ∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M， 则MF=BC=2，OM==， ∴OF的最大值=OM+BC=+2，即O、M、F三点共线， 设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x， ∴（2x）2+（3x）2=（+2）2， 解得：x=（负值舍去） ∴2x=+2，3x=+3 ∴点F坐标（，+3） 故答案为：（，+3） 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形OABC的面积是解题的关键． 【变式15-3】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，如图①，设点P的运动时间为t（t≤5）秒． （1）PC＝　　cm（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？请说明理由； （3）如图②，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动（Q到达D点即停），是否存在这样的v，使△ABP与P、Q、C三点围成的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（10﹣2t）；（2）t＝2.5，证明见解析；（3）存在，v＝2.4或2 【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC﹣BP即可得到CP的长； （2）当t＝2.5时，△ABP≌△DCP，根据三角形全等的条件可得当BP＝CP时，再加上AB＝DC，∠B＝∠C可证明△ABP≌△DCP； （3）此题主要分两种情况①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ；当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP＝2tcm，则PC＝(10﹣2t)cm； 故答案为：（10﹣2t）． （2）结论：当t＝2.5时，△ABP≌△DCP， 理由如下： ∵△ABP≌△DCP ∴BP=CP 即点P是BC的中点 ∴BP= 故 即当t＝2.5时，△ABP≌△DCP； （3）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ ∵AB＝6， ∴PC＝6， ∴BP＝10﹣6＝4， 即2t＝4， 解得：t＝2， ∵CQ＝BP＝4， ∴v×2＝4， 解得：v＝2； ②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP， ∵PB＝PC， ∴BP＝PC＝BC＝5， 即2t＝5， 解得：t＝2.5， ∵CQ＝BA＝6， v×2.5＝6， 解得：v＝2.4． 综上所述：当v＝2.4或2时，△ABP与△PQC全等． 【点睛】本题是与矩形有关的动点综合问题，考查了矩形的性质，三角形全等的判定，涉及到分类讨论． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《21.3.1矩形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 矩形性质的理解 模块9矩形与多结论问题的判断 模块2 利用矩形的性质求角 模块10 直角三角形斜边中线 模块3 利用矩形的性质求线段的长 微专题1矩形中的分类讨论 模块4 利用矩形的性质求面积 微专题2矩形中的折叠问题 模块5 利用矩形的性质求点的坐标 微专题3矩形与最值问题 模块6利用矩形的性质进行证明 压轴1 矩形与旋转问题 模块7矩形的判定条件 压轴2 矩形与动点问题 模块8 证明四边形是矩形 模块通关·举一反三 【模块一】矩形性质的理解 【方法点拨】(1)矩形是特珠的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质可归纳为三个方面：从边看，矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直：从角看，矩形的四个角都是直角：从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. (2)矩形（正方形除外）是轴对称图形，有两条对称轴，是过对边中点的直线，对称轴的交点就是对角线的交点。 (3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，并且所分成的四个等腰三角形面积相等 【典例1】（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东泰安·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．等边三角形 B．矩形 C．正五边形 D．等腰梯形 【变式1-2】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·黑龙江牡丹江·二模）如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件 ，使．(只填写一个即可) 【模块二】利用矩形的性质求角 【典例2】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，矩形中，交于点O，若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，矩形的对角线相较于点O，的平分线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【模块三】利用矩形的性质求线段的长 【方法点拨】 (1)把要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°，45)的直角三角形的三边关系求解： (2)利用矩形的性质（四个角都是直角，对角线相等且互相平分）寻找所需条件.另外，还可借助全等三角形、线段的和差倍分关系等求矩形中线段的长度. 【典例3】（2024·贵州遵义·一模）在矩形中，过对角线的中点O作，分别与和的延长线交于点E，F. (1)求证：； (2)若，，求与的长. 【变式3-1】（2025·四川雅安·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别是的中点，则 ． 【变式3-2】如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点，过点作于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】．在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【模块四】利用矩形的性质求面积 【典例4】如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交于点．若则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，矩形的面积为，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，…以此类推，平行四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在矩形中，对角线相交于点O，平分交于点E，，连接，则下面的结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-3】如图（1）是一副七巧板，其中最小正方形的边长是1，取其中六块拼成如图（2）的形状，沿图形外围构造矩形（虚线部分），则该矩形的面积是（    ） A．35 B．35.5 C． D． 【模块五】利用矩形的性质求点的坐标 【典例5】（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______． 【变式5-3】如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【模块六】利用矩形的性质进行证明 【典例6】（2025·山东聊城·三模）如图，在矩形中，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【变式6-1】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°． (1)如图1，求证：△AOB为等边三角形． (2)如图2，若AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，请直接写出图中除等边三角形外的所有等腰三角形． 【变式6-2】如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F． (1)求证：△AEF≌△BEC． (2)若CD＝4，∠F＝45°，则CE的长为 ． 【变式6-3】如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为的中点，连接、． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【模块七】矩形的判定条件 【典例7】（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【变式7-1】（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·河南周口·三模）如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是 （写出一个即可）． 【模块八】证明四边形是矩形 【典例8】（2025·甘肃酒泉·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证四边形是矩形． 【变式8-1】如图，在平行四边形中，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式8-2】如图，在中，，点P是边上的一个动点（不与点A、B重合），过点P分别作．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)直接写出线段长度的最小值为__________． 【变式8-3】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【模块九】矩形与多结论问题的判断 【典例9】在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式9-1】如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO=S△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确结论的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】如图，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：①若、两点关于对称，则；②、两点距离的最大值为；③若平分，则；④ 四边形的面积为．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【模块十】直角三角形斜边中线 【典例10】如图，已知是的一条高线，点是的中点，点是的中点，连接、、，如果，，的周长为，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7.5 D．7 【变式10-1】如图，在中，垂直于点D，于点E，F为的中点，，则的周长为（　　） A．21 B．18 C．15 D．13 【变式10-2】如图，在中，，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为______． 【变式10-3】如图，在矩形中，，，点A在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上运动时，点D也随之运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为______． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】矩形中的分类讨论 【典例11】如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，当时，的大小为______． 【变式11-1】（2025·江西赣州·一模）在矩形中，，，点是折线上的动点（不与两点重合），当的长为整数时，则的长是 ． 【变式11-2】如图，在矩形ABCD中，，点P在BC上，且，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则_______． 【变式11-3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为____时，△AB'D是直角三角形． 【微专题二】矩形中的折叠问题 【方法点拨】(1)折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等： (2)在矩形折叠问题中求线段长时，常常综合应用勾股定理和方程思想， (3)矩形中存在一些特殊的角和数量关系，如四个直角、对角线相等. 【典例12】（2025·湖南·模拟预测）已知点，分别在矩形纸片的边，上，连接，将矩形纸片沿折叠． (1)如图①，若点恰好落在点处，与相交于点，连接，． ①判断四边形的形状，并证明你的结论； ②若，，求折痕的长； (2)如图②，若点恰好落在边上的点处，点落在点处，交于点，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【变式12-1】如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，，，则矩形ABCD的周长为（    ） A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm 【变式12-2】（2025·河南周口·三模）将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（2024·广东清远·一模）如图，点O为矩形的对称中心，，，点E为边上一点（），连接并延长，交于点F，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点 (1)求证：； (2)当时，求的长； 【微专题三】 矩形与最值问题 【典例13】（2025·四川德阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，是的中点，是动点，将沿翻折，得到，则的最小值是 ． 【变式13-1】（2025·广东阳江·模拟预测）如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 【变式13-2】如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在矩形中，，，点P是矩形内的一动点，则的最小值是 ． 压轴突破·素养提升 【压轴一】矩形与旋转问题 【典例14】（2025·山东青岛·一模）在数学课上，老师让同学们动手操作，将一个矩形绕其一个顶点旋转．小明在旋转的过程中发现，随着旋转角度的变化可以研究很多数学问题．如图，已知矩形，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E，连接． (1)如图①，当时，______；如图②，当时，______； (2)如图③，当边经过点B时，______； (3)如图④，当点F落在的延长线上时，______． 【变式14-1】如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为a． (1)当点恰好落在EF边上时，求旋转角a的值； (2)如图3，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：； (3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角a的值． 【变式14-3】将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1 （1）当点A1落在AC上时 ①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形； ②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO； （2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长． 【压轴二】矩形与动点问题 【方法点拨】解决动点问题的基本方法是利用转化的方法，达到“化动为静”的目的，如本题，利用“矩形对角线相等”的性质。方程思想、分类讨论等来解决。 【典例15】已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止． （1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标； （3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，沿着AE翻折矩形，使点B落在点F处若AB＝3，BC＝AB，解答下列问题： （1）在点E从点B运动到点C的过程中，求点F运动的路径长； （2）当点E是BC的中点时，试判断FC与AE的位置关系，并说明你的理由； （3）当点F在矩形ABCD内部且DF＝CD时，求BE的长． 【变式15-2】 如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连结CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连结OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为______． 【变式15-3】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，如图①，设点P的运动时间为t（t≤5）秒． （1）PC＝　　cm（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？请说明理由； （3）如图②，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动（Q到达D点即停），是否存在这样的v，使△ABP与P、Q、C三点围成的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $