高效同步练习21.3.1 矩形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（人教版·新教材）

高效同步练习21.3.1矩形 第1课时 矩形的性质 知识点①矩形边、角的性质 1.(3分)下列性质中，矩形ABCD不一定具有 的是()》 A.AB=BC B.AB∥CD C.∠ABC=90° D.AB=CD 2.（3分)在矩形ABCD中，AD=5,CD=12,则AC 的长为() A.9 B.13 C.17 D.20 3.（3分)如图，若将四根木 知识点③直角三角形斜边上的中线等于斜边 条钉成的平行四边形木框 的一半 变形为矩形ABCD的形状，则矩形ABCD的内 7.(3分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E 第 角∠ABC的大小为 是AC的中点，若AD=6,DE=5,则CD的长等 知识点②矩形的对角线相等 于() 4.（3分)在矩形ABCD中，AB>BC,AC,BD相交 A.5 于点O,则其中等腰三角形的个数是( B.6 A.2个 B.4个 C.7 C.6个 D.8个 D.8 5.(3分)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交 8.(3分)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 于O,若BC=3,AB=4,则DB的长为( 线，∠BCD=30°，则∠B= A.3 9.(8分)如图，D,E,F分别是△ABC各边的中 B.4 点，AH是高，如果ED=5cm.求HF的长 C.7 D.5 变式(3分)在矩形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,若AO=3cm,则BD的 长为() A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 6.一题多解(8分)如图，在矩形ABCD中，对角 线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E,BF ⊥AC于点F.求证：AE=BF, 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册 25 易错点)没有分类讨论导致漏解 BF,若AB=16,EF=1,∠AFB=90°，则BC的 10.(3分)矩形一个角的平分线分矩形一边为 长为 1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积 16.(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 为 BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF 11.(3分)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC =∠ACD, 上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于 (1)求证：DF=CF; E,F连接PB,PD,若AE=2,PF=8,则图中 (2)若∠CDF=60°，DF=6,求矩形ABCD的 阴影部分的面积为() 面积. A.10 B.12 C.16 D.8 B E 第11题图 第12题图 第 12.（3分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的 垂直平分线EF,分别交BC,AD于点E,F,若 章 BE=3,AF=5,则AC的长为() 17.（10分)如图1，在矩形ABCD中，过矩形AB A.45 B.45 C.10 D.8 CD对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交 13.(3分)如图，矩形ABCD中，∠B0C=120°， AB、DC于点E、F, BD=12,点P是AD边上一动点，则OP的最 (1)求证：AE=CF; 小值为( (2)如图2，若G为AE的中点，且∠AOG= A.3 30°，求证：DC=30G. B.4 C.5 D.6 14.(3分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分 线交AD于点E,连接CE.若BC=7,AE=4, R 则CE= 图1 图2 第14题图 第15题图 15.（3分)如图，在△ABC中，D,E分别是AB, AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF, 26 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册 第2课时 矩形的判定 知识点①有一个角是直角的平行四边形是矩形 知识点②对角线相等的平行四边形是矩形 1.新趋势·开放性试题(3分)如图所示，将 5.(3分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线 △ABC绕AC的中，点0顺时针旋转180得到 AC、BD相交于点O,OA=3cm,若要使平行四 △CDA.在不添加任何辅助线的前提下，添加 边形ABCD为矩形，则OB的长度为() 一个条件 ,使四边形ABCD为矩形 A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 第1题图 第2题图 6.生产劳动情境·零件测量(3分)用一把刻度 2.(3分)如图，线段AB⊥BC,以C为圆心，BA 尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两 为半径作弧，然后再以A为圆心，BC为半径 组对边是否分别相等，然后测量两条对角线 作弧，两弧交于点D,则四边形ABCD是矩形， 是否相等，这样做的依据是 第 其判定定理是 3.生活情境·制作木框(3分)木匠师傅在判断 知识点③有三个角是直角的四边形是矩形 章 一个木框是否为矩形时，量得一组对边的长均 7.学习情境·课堂讨论(3分)在判断“一个四边 为0.6m,另一组对边的长均为0.8m,一条对 形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合 角线长为1m,于是判断此木框为矩形，此方法 作学习小组的4位同学分别拟定了如下方案， 是否合理 .(填“合理”或“不合理”) 其中正确的是() 4.(7分)如图所示，点E是口ABCD的边AB的 A.测量对角线是否相等 B.测量两组对边是否分别相等 中点，且EC=ED.求证：四边形ABCD是矩形 C.测量一组对角是否都为直角 D D.测量其中三个角是否都为直角 8.(7分)如图，四边形ABCD是平行四边形， BE,CE,DF,AF分别为四个角的平分线，四边 形MENF是矩形吗？为什么？ 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册 27 9.(3分)如图，在口ABCD中，M,N是BD上两| 12.学习情境·过程性学习(10分)下面是课本 点，BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个 第70页中的部分内容，请认真阅读，并完成 条件，使四边形AMCN是矩形，这个条 相应的任务 件是() 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为 A.OM=ZAC B.MB=MO 了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它 们的两组对边是否分别相等，还要测量它 C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 们的两条对角线是否相等.你知道其中的 道理吗？ 任务： (1)填空：工人师傅测量对边长度相等，是为 第9题图 第10题图 了确保它的形状是 ；再测量它的 10.学习情境·动点探究(3分)如图，在Rt 对角线相等，就确保了它是矩形.这里主要 △ABC中，∠BAC=90°，且BA=6,AC=8,点 依据了矩形的一个判定定理，即 D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作 DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN, (2)请证明(1)中矩形的判定定理（先画出 章 则线段MN的最小值为() 图形，写出已知、求证，再给出证明) A.5 B.3.6 C.2.4 D.4.8 已知： 11.(10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点 求证： D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上，且FC 证明： =AE,连接AF,BF. (1)求证：四边形DEBF是矩形； (2)若AF平分∠DAB,AE=6,DF=10,求BF 的长 28 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册(BO=DO △DOF中，{∠BOE=∠DOF,∴.△BOE≌DOF(SAS),∴.BE= OE=OF DF.(答案不唯一) 高效同步练习21.2.2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定1 1.B2.3 3.解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：.AB=10cm,AD= 6cm,BC=6cm,CD=10cm,.AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD 是平行四边形. 4.C5.D6.B 7.证明：.·四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.. BE=FD,·.OE=OF..四边形AECF是平行四边形. 8.C 9.D【解析】在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE=√BC2+BE2= 5.'BE=DE=3,AE=CE=5,.四边形ABCD是平行四边形 “∠CBD=90°，.Sg边卷Bcm=4×(3+3)=24.故选D. 10.C【解析】延长EP交AB于点G,延长DP交AC于点H. PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,.四边形AFPH、四边形PDBG均为 平行四边形，∴.PD=BG,PH=AF.又.：△ABC为等边三角形 .△FGP和△HPE也是等边三角形，PE=PH=AF,PF= GF,∴.PE+PD+PF=AF+BG+FG=AB=6.故选C. (∠1=∠2 11.（1)证明：在△BE0和△DF0中，B0=DO ,∴.△BEO ∠EOB=∠FOD ≌△DFO(ASA) (2)解：由(1)得：△BE0≌△DFO,.E0=FO.又.AE=CF」 ∴.AO=CO.又，BO=DO,∴.四边形ABCD是平行四边形 12.（1)证明：.·AB∥CD,∠B=45°，∴.∠C+∠B=180°，∴.∠C 135°.DE=DA,AD⊥CD,∴.∠E=45°..∠E+∠C=180°，. AE∥BC,且AB∥CD,.四边形ABCE是平行四边形，.AE =BC: (2)解：.：四边形ABCE是平行四边形，∴.AB=CE=3,:CD= 1,.AD=DE=CE-CD=2,.四边形ABCE的面积=3×2=6. 13.（1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,∠DCB= ∠DAB=60°..∠ADE=∠CBF=60°.AE=AD,CF=CB, △AED,△CFB是正三角形.∴，∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF= ∠FCE=120°..四边形AFCE是平行四边形. (2)解：上述结论还成立.证明：.·四边形ABCD是平行四边 形，.DC∥AB,∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB,AD=BC,DC= AB.∴.∠ADE=∠CBF..AE=AD,CF=CB,∴.∠AED=∠ADE =∠CFB=∠CBF,∴.∠EAD=∠FCB.又.∠DAB=∠BCD, ∠EAF=∠FCE.∴.四边形EAFC是平行四边形 第2课时平行四边形的判定2 1.C2.D3.B4.B 5.12【解析】.'AB∥CD,AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边 形，∴AD=BC.设平行四边形ABCD的两邻边是3x,2x.平行 四边形ABCD的周长是40cm,∴.2(3x+2x)=40,解得x=4, 较长边的长度是3×4=12(cm). 6.C【解析】线段EF与AC交于点O且互相平分，得OA=OC, OE=OF,又.·∠AOE=∠COF,.△AOE≌△COF(SAS),. ∠EAO=∠FCO,AE=CF,∴.AD∥BC..AD=BC,.四边形AB CD是平行四边形，∴.CD=AB,∴.四边形CDEF的周长=CD+ DE+EF+CF=CD+DE+AB+AE=CD+AB+AD=6+6+10=22. 选C. 7.2或3.5【解析】由题意得，0≤t≤5.，E是BC的中点，∴.BE= CE=2BC=9.:AD/BC,当PD=QE时，以，点P,Q,E,D为顶 点的四边形是平行四边形，①当Q在E和C之间运动时，则得9 -3t=5-t,解得t=2,②当0在E和B之间运动时，则得3t-9=5 -t,解得t=3.5；.当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P,Q, E,D为顶点的四边形是平行四边形. 8.证明：连接DM.,AM、BD互相平分并交于点O,即A0O=OM B0=DO,.四边形ABMD为平行四边形，.AD=BM,AD∥BM. 又.M为BC的中点，∴.BM=CM,∴.AD=MC,AD∥MC,∴.四边 形AMCD为平行四边形，.AM=CD. 72 同步练习，精炼高效抓考 高效同步练习21.2.3三角形的中位线 1.D2.60°3.B4.B 5.B【解析】.·四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相 交于点O,.O为AC中点，AB=CD,AD=BC..E为AB中点 .OE是△ABC的中位线，AB=2AE,∴.BC=2OE,∴.平行四边 形ABCD的周长=2(AB+BC)=2(2AE+2E0)=4(AE+E0)=4× 4=16.故选B. 6.B【解析】.·点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中 点，四边形EGFH的周长=FG+CE+EH+FH=2AD+2BC+ 2 4D+ BC=AD+BC.故选B 7.(1)证明：延长BD交AC于E..AD⊥BD,.∠ADB=∠ADE= 90°.AD为∠BAC的平分线，.LBAD=LEAD,在△BAD和 '∠BAD=∠EAD △EAD中，XAD=AD ,.△BAD≌△EAD(ASA),.AB= (∠ADB=∠ADE 1 AE,BD=ED.M为BC的中点DM=2CE=2(AC-AB): (2)解：.在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6,BD=8,.由勾 股定理得：AE=AB=√62+82=10.DM=2,DM= 2 CE,.CE =4,∴.AC=10+4=14. 高效同步练习21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 1.A2.B3.90°4.B 5.D【解析】.四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°，AC=BD..: BC=3,AB=4,.AC=√AB2+BC=5,∴.DB=5.故选D. 【变式】D 6.证明：方法一：.·四边形ABCD是矩形，∴.OA=OB..·AE⊥BD 于点E,BF⊥AC于点F..∠AE0=∠BF0=90°..∠AOE= ∠BOF,.△AEO≌△BFO(AAS),∴.AE=BF. 方法二：：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,SAARD=SAAC, 1 2AE·BD=2AC·BR.AE=BF 7.D 8.30° 【技巧点拨】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD= 2AB=BD,再根据等腰三角形性质可解决问题. 9.解：：D,E,F分别是BC,AB,AC的中点，∴.DE是△ABC的中 位线，DE=2AC.:DE=5cm,AC=2DE=10cm.AH是 + △ABC的高，.∠AHC=90°.又F是AC的中点，HF= 10=5(cm),即HF的长为5cm. 10.4cm2或12cm2【解析】如图所示，矩形ABCD 中BE平分∠ABC交AD于点E.,AB=CD AD=BC,AD∥BC,∴.∠AEB=∠CBE.:BE平 分∠ABC,LABE=∠CBE,∴∠AEB= ∠ABE,∴.AB=AE.①当AE=1cm时，AB=CD=1cm,AD=4cm =BC,Se形Bcw=1×4=4(cm2).②当AE=3cm时，AB=CD= 3cm,AD=BC=4cm,此时S矩形8cn=3×4=12(cm2).故矩形AB- CD的面积为4cm2或12cm2 11.C【解析】过P作PM⊥AD于点M,交BC于点N,则有四边形 AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形. SAADG=SAARGSAAMP=SAAEP SAPBE=SAPBN SAPFD=SAPDMSAPFC SAPCN-.S矩形aNp=S处特MPD:由面积关系可得SADFP=SAPRE= 1 ×2x8=8,Sm影=8+8=16.故选C 12.B【解析】连接AE,设AC与EF的交，点为O.,·EF是AC的垂 直平分线，∴.OA=OC,AE=CE..四边形ABCD是矩形，.∠B= 90°，AD∥BC,..∠OAF=∠OCE.在△AOF和△COE中 I∠AOF=∠COE OA=OC ,∴.△AOF≌△COE(ASA),∴.AF=CE=5,∴.AE (∠OAF=∠OCE ZBR八年级数学下册 =CE=5.·BE=3,∴.BC=8,AB=√AE2-BE=4,.AC=√42+82 =45.故选B. 13.A【解析】.：四边形ABCD是矩形，∴.OA=OB=OC=OD= 2BD=6∠B0C=120=LA0D,∠0AD=∠0DA=30, 当0P1AD时，0P有最小值，.OP=了0D=3.故选A. 2 14.5【解析】.四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,AD∥BC,∠A= ∠D=90°，∴.∠AEB=∠EBC.∠ABC的平分线交AD于点 E,∴.∠ABE=∠EBC,∴.∠AEB=∠ABE,∴.AE=AB=CD=4.· AE=4,BC=7,∴.AD=BC=7,.DE=AD-AE=7-4=3.在 Rt△CDE中，CD=4,DE=3,由勾股定理得CE=√32+4=5. 15.18 16(1)证明：四边形ABCD是矩形，0C=24C,0D=6D, AC=BD,.OC=OD,∴.∠ACD=∠BDC..∠CDF=∠BDC ∠DCF=∠ACD,∴.∠CDF=∠DCF,∴.DF=CF; (2)解：由(1)可知，DF=CF.∠CDF=60,.△CDF是等边 三角形，.CD=DF=6..·∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD,∴. △0CD是等边三角形，.0C=0D=6,∴.BD=20D=12.,四 边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴.BC=√BD2-CD2= 65,.S矩形8c=BC:CD=363. 17.证明：(1)·四边形ABCD是矩形，.CD∥AB,OA=OC,. ∠OCF=∠OAE..·∠COF=∠AOE,..△COF≌△AOE (ASA),∴.AE=CF. (2)连接OB,,EF⊥AC,∴.△AOE是直角三角形，∴.OG=AG =GE,∠BAC=∠A0G=30°，·0E=2AE=GE,∠AB0= ∠BAC=30°，∴.∠A0B=180°-30°-30°=120°，∴.∠B0E= ∠AOB-90°=30°，∴.△OEB是等腰三角形，∴.OE=EB,∴.OG -AG=GE-EB-OE0G-AB-DC,DC-30G. 第2课时矩形的判定 1.∠B=90°（答案不唯一） 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形3.合理 4.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AD∥BC.E (AD=BC 是AB的中点，∴.AE=BE.在△ADE和△BCE中，DE=CE,∴ AE=BE △ADE≌△BCE(SSS),∴.∠A=∠B..·AD∥BC,∴.∠A+∠B= 180°，.∠A=∠B=90°.又.：四边形ABCD为平行四边形，. 四边形ABCD为矩形. 5.B【解析】.'四边形ABCD是平行四边形，∴.AC=2OA=6cm, OB=OD,要使平行四边形ABCD是矩形，则BD=AC=6cm,. 0B=2BD=3cm,故选B. 6.对角线相等的平行四边形是矩形 7.D 8.解：四边形MENF是矩形.理由如下：：四边形ABCD是平行四 边形，∴.AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD=180°.AF,BE是∠BAD. ∠ABC的平分线，∴.∠BAM+∠ABM=90°，.∠AMB=∠EMF= 90°.同理可得∠F=∠E=90°，∴.四边形MENF是矩形. 9.A【解析】，四边形ABCD为平行四边形，∴.AO=CO,B0= DO.BM=DN,∴.OM=ON.又.AO=C0,∴.四边形AMCN为 平行四边形.：OM=2AC,MN=AC,平行四边形AMCN为 矩形.故选A 10.D【解析】连接AD.∠BAC=90°，且BA=6,AC=8,∴.BC= VAB+AC2=10.DM⊥AB,DN⊥AC,.四边形AMDN为矩 形，∴.AD=MN,∴.当AD最小时，MN最小.当AD⊥BC时，AD 最小，此时S2Mc=)X6x8=7×10xAD,AD=4.8.故选 11.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,DC=AB. FC=AE,∴.DC-FC=AB-AE,即DF=BE,∴.四边形DEBF是 平行四边形.又，DE⊥AB,.∠DEB=90°，.平行四边形 同步练习，精炼高效抓考点 DEBF是矩形： (2)解：·AF平分∠DAB,.∠DAF=∠BAF.DC∥AB,∴. ∠DFA=∠BAF,∴.∠DFA=∠DAF,∴.AD=DF=1O.在 Rt△AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE2=8,由(1)得四 边形DEBF是矩形，.BF=DE=8. 12.解：(1)平行四边形对角线相等的平行四边形是矩形 (2)已知：AB=CD,AD=BC,AC=BD D 求证：四边形ABCD是矩形 证明：：AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是 0 平行四边形..AO=C0,B0=DO.又.·AC= BD,∴.AO=CO=BO=DO,∴.∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB. .∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°，.∠OBA+∠OBC= 90°，即∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形. 高效同步练习21.3.2菱形 第1课时菱形的性质 1.B2.A【变式】123.B 4.B【解析】菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,LADC =130°，∴.AB∥CD,∠ADC+∠BAD=180°，∴.∠BAD=50°， ∠BAO= 2X50°=25°.0E⊥AB,.LAE0=90°，∠40E= 90°-∠BA0=65°.故选B. 5.C【解析】小.E、F分别是AB、AD的中点，EF=2.∴.BD=2EF= 4,四边形ABCD是菱形，.AB=AD=BC=DC,:∠A=60°， △ABD是等边三角形，∴.AB=BD=4,.菱形的周长为4×4= 16.故选C. 【变式】6cm【解析】如图所示，菱形周长为 0 24cm,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点. ∠ABC:∠BAD=2:1,∴.AB=6cm,AC⊥BD,B0= D0=7BD,.∠ABC=2LBAD.∠BAD+∠ABC=180°， ∠BAD=60°，∴.∠BA0=30°.在Rt△AB0中，∠BA0=30°，AB= 6cm,.BO=2 AB=3cm,.".BD=6cm. 6.(1)证明：，·四边形ABCD为菱形，∴.AB∥DC,AB=DC.,·BE= AB,.DC=BE.DC∥BE.∴.四边形BDCE为平行四边形.. BD=EC. (2)解：由(1)得四边形BDCE为平行四边形，∴.BD∥EC,. ∠ABD=∠E=50°.，四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,. ∠A0B=90°，∴.∠BA0=90°-50°=40°. 7.B8.12 9.C【解析】，菱形的周长为40cm,∴.边长 为10cm.如图所示：AB=10cm,AC=16cm, 根据菱形的性质，AC⊥BD,A0=8cm,∴.由 勾股定理，得B0=6cm,∴.BD=12cm,∴ S发形Bcn=2×16×12=96(cm2).故选C. 10.C11.D 12.C【解析】作，点M关于AC的对称，点M',连接M'N交AC于 P,此时MP+NP有最小值，为M'N.M是AB边上的中点，PM =PM”,.M'是AD的中点.又，·N是BC边上的中点，可得AM BN,AM'=BN,即四边形AM'NB是平行四边形，∴.M'N=AB, ∴.PM+PN=PM'+PN=M'N=AB=1.故选C. 1324 【解析】.·四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,BD=2BO=8, 5 AC=2C0.∠B0C=90°S菱wBCm=24,.2AC·BD=24..AC =6,C0=3.在Rt△B0C中，C0=3,B0=4,由勾股定理得BC=5. Sam=BC·A,A=24 1 【变式1 14.证明：.四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD,BC=CD,∴.∠COD =90°.：DE∥AC,CEBD,∴.四边形OCED是平行四边形.又 .∠COD=90°，.四边形OCED是矩形，.CD=OE.又.CD =BC...OE=BC. 15.（1)证明：连接AC.,BD,AC是菱形ABCD的对角线，∴.BD ZBR八年级数学下册 73