空间几何体的表面积及体积讲义-2026届高三数学二轮专题复习

空间几何体的表面积和体积 题型01 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 1.简单几何体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和． 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用 (1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． (2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形． 2、简单几何体的体积 棱柱：V棱柱＝Sh （S为棱柱的底面积，h为棱柱的高） 棱锥：V棱锥＝Sh（S为棱锥的底面积，h为棱锥的高） 棱台：V棱台＝(S′＋＋S)h（S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高） 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题． 1.（2025·全国·模拟预测）用斜二测画法画出的一个水平放置的平面四边形的直观图面积为，则以该平面四边形为底面的一个高为6的四棱锥的体积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【详解】由得原平面四边形面积为， 所以以该平面四边形为底面的一个高为6的四棱锥的体积为， 故选：B 2.（2026·安徽滁州·一模）若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________． 【答案】 【分析】棱柱的高为，先求出侧面积及表面积，利用题干给出的条件解出高，最后用体积公式求解体积. 【详解】设正三棱柱的高为，底面正三角形边长，侧面积：， 底面积：，两个底面的总面积为， 表面积： ，依题意得：，代入得： 化简求解：，正三棱柱体积：. 3.（24-25高三上·河北沧州·月考）已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图所示，正四棱柱为，正四棱锥， 设底边边长，高， 则， 又正四棱柱的侧面积， 正四棱锥的侧面积， 则，解得， 所以正四棱锥体积， 故选：B. 4.（2026·河北衡水·二模）中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（   ） A．14斤 B．24斤 C．38斤 D．56斤 【答案】A 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量，即可求解剩余米量. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为斤. 所以米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为斤 5.（2026·四川资阳·三模）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正三棱柱所有棱长为，底面正的面积，高，由题意得：，，. 如图连接，将几何体分为和， ， 梯形的面积. 四棱锥以为底面的高等于三角形的高，所以. 几何体体积为. 题型02 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）旋转体侧面积：S侧＝2πrl 圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)； 圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l) 圆台：上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算， 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 2.圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h（圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h） 圆锥：V圆锥＝Sh＝πr2h（圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h） 圆台：V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 3.球的表面积与体积 （1）．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)． （2）．球的体积公式V＝πR3. 计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径． 1．（2026·湖北黄石·一模）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________. 【答案】 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为、高为， 则由侧面积相等可得，解得， 由圆锥体积为可得，将代入得，解得，因此. 2.（多选 2025·河北邢台·三模）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的侧面展开图的圆心角为 B．圆锥的体积为 C．过圆锥的两条母线作截面，则截面面积的最大值为 D．为底面圆周上一点，为上靠近的三等分点，从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 【答案】ABD 【分析】利用扇形的弧长公式和圆的周长公式，可得判定A正确；求得圆锥的高，结合圆锥的体积公式，可判定B正确；根据过这两条母线所作截面面积为，结合过圆锥母线的所有截面中，轴截面三角形对应的最大，且，可判定C错误；由展开图的圆心角为，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，设圆锥侧面展开图的圆心角为，则，所以，所以A正确；对于B中，由圆锥的底面半径为，母线长为，可得圆锥的高， 所以，所以B正确； 对于C中，设圆锥的两条母线的夹角为，则过这两条母线所作截面三角形的面积为， 过圆锥母线的所有截面中，轴截面三角形对应的最大，此时， 所以，所以，所以截面面积的最大值小于，所以C错误； 对于D中，如图所示，将圆锥的侧面展开，由A知，其展开图的圆心角为，即， 在中，因为， 由余弦定理得，所以D正确. 故选：ABD. 3．（多选 2024·新疆喀什·二模）如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（    ） A．线段 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 【答案】ABD 【分析】在等腰梯形中求出判断A；利用圆台表面积公式、体积公式计算判断BC；利用侧面展开图计算判断D. 【详解】显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高 对于A，在等腰梯形中，，A正确； 对于B，圆台的表面积，B正确； 对于C，圆台的体积，C错误； 对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点， 而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又， 在△中，，斜边上的高为，即与弧相离， 所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确.    故选：ABD 4.（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．    【答案】 【详解】由半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体为一个半径为的半球， 所以几何体的体积为. 故答案为：.    5.（2026·浙江宁波·二模）一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 题型03 组合体的表面积与体积 1.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 2．（2026·上海普陀·二模）在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 【答案】 【详解】为直角三角形，，，直线l∥BC且过点A， 设，所以斜边， 将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体， 所以圆柱上底面半径，高， 被挖去的圆锥的底面半径，高与圆柱相同，即， 则圆柱体积：， 圆锥体积：， 所以组合体体积：，则，即，所以， 几何体Ω的表面积由三部分构成： 圆柱的侧面积：， 圆柱的上底面面积：， 圆锥的侧面积：圆锥母线长为，， 所以总表面积：. 3.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意可得圆台的母线长为，圆台的侧面积为，上下底面积之和为， 由题可设挖去的圆柱的半径为，则圆柱侧面积为，圆柱的上、下底面积均为， 所以得到的几何体的表面积为. 所以当时得到的几何体的表面积最大为. 故选：B 4.（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 【答案】 【详解】解法1：分别在上取点N，M，使得，连接，NM，，所以平面平面， 取MN的中点H，连接，因为平面， 所以平面平面，所以， 又因为平面， 所以平面，，， 所求几何体的体积为 解法2：因为在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC， 又， 所以可构造一个底面是边长为4的等边三角形，侧棱长为8的正三棱柱， 其中，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式，， 故该几何体的体积是． 5.（25-26高三上·北京海淀·月考）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 【答案】/ 【详解】 设正四棱台的高为，侧面与底面所成二面角为，上底为， 由题意可得， 结合侧棱关系可得， 联立两方程可得， 所以正四棱台的斜高为， 所以，该几何体的表面积为. 故答案为：. 课后作业： 1.（2026·山西晋城·一模）已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，轴截面的面积为48，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，可得， 而，解得， 故圆台的体积． 2.（2026·江西宜春·一模）一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案. 【详解】由题意可知：长方体的体积为，球的体积为 则，整理可得，所以. 3.（24-25高三上·河北沧州·月考）已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图所示，正四棱柱为，正四棱锥， 设底边边长，高， 则， 又正四棱柱的侧面积， 正四棱锥的侧面积， 则，解得， 所以正四棱锥体积， 故选：B. 4．（多选 2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 5.（多选 2026·安徽合肥·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为：，B正确； 对于C，是等腰三角形，，又因为，则， 依题意，，而，因此，C正确； 对于D，由，，得， 有为等腰三角形，将以为轴旋转到与共面的位置， 得到为等腰三角形，，， ， 于是， 所以，D正确． 6.（2026高三下·重庆·专题练习）已知正四棱台的上、下底面面积分别为18，32，下底面上的棱AD与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为_________． 【答案】 【详解】因为正四棱台的上、下底面面积分别为18，32， 所以上、下底面边长分别为． 如图，过点作于点，则． 因为，所以AD与所成的角为， 所以，解得． 设该正四棱台上、下底面的中心分别为，连接，， 可得，过作于点，则 所以． 所以该正四棱台的体积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体的表面积和体积 题型01 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 1.简单几何体的表面积:多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用。 (1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． (2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形． 2、简单几何体的体积 棱柱：V棱柱＝Sh （S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）棱锥：V棱锥＝Sh（S为棱锥的底面积，h为棱锥的高） 棱台：V棱台＝(S′＋＋S)h（S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高） 求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)． 常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题． 1.（2025·全国·模拟预测）用斜二测画法画出的一个水平放置的平面四边形的直观图面积为，则以该平面四边形为底面的一个高为6的四棱锥的体积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 2. （2026·安徽滁州·一模）若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________． 3.（24-25高三上·河北沧州·月考）已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·河北衡水·二模）中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（   ） A．14斤 B．24斤 C．38斤 D．56斤 5.（2026·四川资阳·三模）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 题型02 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）旋转体侧面积：S侧＝2πrl 圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)； 圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l) 圆台：上底面面积：S上底＝πr′2； 下底面面积：S下底＝πr2； 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)； 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算， 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 2.圆柱、圆锥、圆台的体积 圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h（圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h） 圆锥：V圆锥＝Sh＝πr2h（圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h） 圆台：V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 3.球的表面积与体积 （1）．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)． （2）．球的体积公式V＝πR3. 计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径． 1．（2026·湖北黄石·一模）已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积相等，若圆锥的体积为，则圆柱的底面半径为__________. 2.（多选 2025·河北邢台·三模）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的侧面展开图的圆心角为 B．圆锥的体积为 C．过圆锥的两条母线作截面，则截面面积的最大值为 D．为底面圆周上一点，为上靠近的三等分点，从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 3．（多选 2024·新疆喀什·二模）如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（    ） A．线段 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 4.（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．    5.（2026·浙江宁波·二模）一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 题型03 组合体的表面积与体积 空间几何体体积的常见求法1. 公式法：常见简单几何体，条件具备时，可直接代公式求体积。 2. 等体积法：在求四面体（以四面体为例）的体积时，理论上讲，可以选择A 中的任何一个作为顶点、余下三个顶点构成的三角形作为底面来求体积，但实际操作时，往往选择高易求且底面积好算的方案。 3. 割补法：将几何体补形或者切割成易求体积的几何体来求体积。 4. 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理，可将不规则几何体的体积转化成高度与之相等的规则几何体体积。 组合体的表面积：注意分析表面的各种情况。 1.(25-26高三·全国·一轮复习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 3. （2026·上海普陀·二模）在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______. 3.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 4. （2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________． 5.（25-26高三上·北京海淀·月考）下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____. 课后作业： 1.（2026·山西晋城·一模）已知某圆台的上底面面积为，下底面面积为，轴截面的面积为48，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·江西宜春·一模）一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·河北沧州·月考）已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（多选 2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 5.（多选 2026·安徽合肥·模拟预测）如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 6.（2026高三下·重庆·专题练习）已知正四棱台的上、下底面面积分别为18，32，下底面上的棱AD与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $