专题13 空间几何体的结构、表面积与体积 讲义-2026届高考数学二轮复习

专题13 空间几何体的结构、表面积与体积 考向一 基本立体图形的结构特征 核心知识 常见几何体的结构特征 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，不一定相等 延长线交于一点，不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体 旋转轴 任一边所在的直线 任一条直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 相互平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3. 简单组合体 由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 其构成形式主要有：由简单几何体拼接，或由简单几何体截去或挖去一部分. 4.空间几何体的直观图 斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤： ⑴在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使 (或)，它们确定的平面表示水平面. ⑵已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段. ⑶已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与轴、轴都垂直的轴，并且使平行于轴的线段的平行性和长度都不变. 典例 例1.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)(多选)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为，则下列关于该多面体的说法中正确的是(    ) A. 多面体有个顶点，个面 B. 多面体的表面积为 C. 多面体的体积为 D. 多面体有外接球即经过多面体所有顶点的球 例2.(2025·江西省·同步练习)如图，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图所示的位置依次翻到第格、第格、第格、第格、第格、第格，这时小正方体正面朝上的图案是(    ) A. B. C. D. 例3. (2025·河南省·模拟题)在棱长为的正方体中，为棱的中点，以点为球心，以为半径的球的球面记为，则直线被截得的线段长为 ． 例4. (2025·浙江省衢州市·模拟)棱长为的正方体中，为内一点，且，则的最小值为          ． 例5. (2025·广东省佛山市·联考题)如图，在三棱锥中，平面，，，，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为___ 拓展提升 练1-1 .(2025·河南省·模拟题)某公司研发的一不规则益智玩具如下图所示，其配套的玩具收纳箱表面有不同形状的孔洞，可以通过旋转严丝合缝地将玩具通过孔洞塞进收纳箱中，则以下四个形状的孔洞不会出现在该玩具收纳箱的表面的是(    ) A. B. C. D. 练1-2 .(2025·辽宁省·模拟题)（多选）有一张长方形的纸如图所示，现可任意沿虚线将其剪开或折叠不将纸剪断，可以得到的图形的直观图是(    ) A. B. C. D. 练1-3.(2025·浙江省杭州市·专项测试)如图，在直三棱柱中，点为棱上的点，且平面，则___已知，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长度为___． 练1-4.(2025·重庆市·月考试卷)已知三棱锥中，、、三条棱两两垂直，且长度均为，以顶点为球心，为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为 ． 练1-5.(2025·江苏省徐州市·月考试卷)(多选)约翰逊多面体是指除了正多面体、半正多面体包括种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔、平顶塔，是指在两个平行的多边形其中一个的边数是另一个的两倍之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三、四、五角台塔．如图是所有棱长均为的正三角台塔，则该台塔 A. 共有条棱 B. 表面积为 C. 高为 D. 外接球的体积为 考向二 基本立体图形的表面积、体积 核心知识 常见几何体的表面积、体积公式 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 其中，为底面半径，为母线长. 2.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 为直截面周长 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝3 (1)Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝3 (1)(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝3 (4)πR3 典例 例6.(2025·天津市市辖区·模拟题)中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作九章算术卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式例如在推导正四棱台古人称方台体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解下图为俯视图，图为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体；对应四个三棱柱，对应四个四棱锥若这四个三棱柱的体积之和为，四个四棱锥的体积之和为，则该正四棱台的体积为 ( ) A. B. C. D. 例7.(2025·辽宁省·期末考试)若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为(    ) A. B. C. D. 例8.(2025·云南省·期中考试)（多选）如图，在三棱锥中，平面，，则下列结论正确的有(    ) A. 三棱锥 的表面积 B. 三棱锥的体积 C. 三棱锥 的外接球表面积 D. 三棱锥 的内切球体积 例9. (2025·湖北省·模拟题)农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物将宽为的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是 ． 例10(2025·湖南省长沙市·模拟题)已知棱长为的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为的小正四面体如图，剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内容器壁厚度忽略不计，则该球形容器表面积的最小值为          ． 拓展提升 练2-1(2025·广东省·期末考试)九章算术中将正四棱台体棱台的上下底面均为正方形称为方亭如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为          ． 练2-2（2025·浙江省·联考题)如图，正方体的棱长为，作平面与底面不平行与棱，，，分别交于，，，，记，，，的长度分别为，，，，若，，则多面体的体积为( ) A. B. C. D. 练2-3 (2025·江苏省·期末考试)如图，长方体的底面的斜二测直观图为平行四边形已知，，高，，分别为，的中点，用平面截该长方体，则剩余的三棱台的体积为 ． 练2-4.(2025·湖北省·其他类型)已知圆柱体体积是，设，分别是圆柱的上、下底面的中心，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以，分别互为顶点和底面中心做个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分的体积是 ． 练2-5.(2025·云南省·模拟)已知正三棱锥的侧棱长为，过顶点作底面的垂线，垂足为，过点作侧面的垂线，垂足为，过点作平面的垂线，垂足为，连接相关线段形成四面体，则四面体的外接球的表面积为 ． 考向三 基本立体图形结构、表面积、体积的应用 核心知识 函数、向量、不等式等相关知识 典例 例11.(2025·湖南省长沙市·模拟题)三棱锥中，，，平面平面，且记的体积为，内切球半径为，则的最小值为          ． 例12. (2025·山东省日照市·联考题)如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点在上底面所在平面上，使得，点在下底面所在平面上，使得，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是 ． 例13. (2025·江西省宜春市·月考试卷)已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是 ． 例14.(2025·浙江省温州市·模拟)（多选）勒洛四面体是一个非常神奇的四面体，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分、如图所示，若勒洛四面体内的正四面体的棱长为，则(    ) A. 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为 B. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C. 过，，三点的截面面积为 D. 勒洛四面体的体积满足 例15. (2025·安徽省·模拟题)某潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸，潜水员在潜入水下米的过程中，速度为米分，每分钟需氧量与速度平方成正比当速度为米分时，每分钟需氧量为；在湖底工作时，每分钟需氧量为；返回水面时，速度也为米分，每分钟需氧量为，若下潜与上浮时速度不能超过米分，试问潜水员在湖底最多能工作多少时间？氧气瓶体积计算精确到，、为常数 拓展提升 练3-1 .(2025·浙江省·单元测试)在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为( ) A. B. C. D. 练3-2. (2025·重庆市市辖区·模拟)如图，已知正四面体的棱长为，，分别为棱，的中点．若该正四面体有一内接圆锥，其中为圆锥的顶点，底面圆心在线段上，则该圆锥体积的最大值为          ． 练3-3. (2025·福建省厦门市·模拟题)已知三棱锥的体积为，其外接球的表面积为，若，，，，则为 ． 练3-4.(2025·浙江省·联考题)如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥公路里程、高铁里程双双都是世界第一建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为( ) A. B. C. D. 练3-5 . (2025·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为不考虑水杯材质和杯套的厚度( ) A. B. C. D. 答案 例1.解：可将半正多面体补成棱长为的正方体，其顶点是正方体各棱的中点， 总共有个顶点，个面，故A正确； 半正多面体的棱长为， 表面积为，故B错误； 体积可看作正方体割去八个三棱锥， ，故C正确； 又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以该多面体有外接球，故D正确． 故选ACD． 例2.解：由图可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头”相对，“心形”和“星星”相对． 由图可得，小正方体从如图所示的位置翻到第格时正面朝上的图案是 故选C． 例3.解：棱长为的正方体中，为棱的中点，可得，设到的距离为， 由， 可得，解得， 则直线被截得的线段长为：． 故答案为：． 例4.解：如图，连接与平面交于点， 则平面，， 因为，所以，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 因为是边长为的正三角形， 其内切圆半径，其外接圆半径为， 又为内一点，故B的最小值为， 因为平面，且点到平面的距离为 ， 所以， 所以的最小值为：． 故答案为：． 例5.解：因为，所以的外接圆的圆心是斜边的中点． 因为平面，平面，所以，所以的外接圆的圆心是斜边的中点． 因为EF//PA，所以平面， 所以点到、、、的距离相等，因此，点为三棱锥外接球的球心． 由，，可得外接球的半径为． 由点、分别为、的中点可得，所以． 当垂直于过点的平面截三棱锥的外接球所得截面时，截面圆的半径最小，其面积也最小． 所以截面半径最小为，截面的面积最小值为． 故答案为：． 练1-1．解：由题意在玩具旋转过程中，若其在水平面上的投影形状与孔洞的形状相同， 则该玩具可以通过旋转严丝合缝地通过孔洞塞入收纳箱中， 将，，选项中三个形状的孔洞以如图所示形式摆放，可以得到形状相同的结果， 此时图示玩具可以通过旋转严丝合缝地塞入．故选D. 练1-2.解：对于A项，沿着LG和NI竖线剪开，沿中间线上翻得到， 对于B项，DI和CH线剪开，LG和MH线剪开，沿中间线上翻得到， 对于C项，四边形LGHM和四边形BCHG都被剪了，四边形MHIN和四边形HICD位置冲突，所以不可能得到， 对于D项，沿LG和NI剪开，沿中间线上翻，再沿CH线剪开，沿中间线下翻得到． 故选：ABD． 练1-3.解：连接与相交于点，连接， 显然为中点，为中点，又平面，平面平面， 平面，， 在中，为中点，故D为中点，， 因为，，所以，又为的中点，过作 垂足为，则到平面的距离为， 以为球心，以为半径的球面与侧面的交线为以为圆心的弧，半径， 因为，，，所以， 则的弧长为． 故答案为：；． 练1-4.解：如图，，，则，， ， ， 同理，，， 故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于， 故答案为． 练1-5.解：设上底面为正三角形，下底面为正六边形，分别是正三角形与正六边形的中心，为的中点， 对于，由图可知，这三个顶点，每个顶点都有条棱， 底面正六边形的每个顶点都有条棱， 且每条棱连接个顶点，故共有条棱，故A正确； 对于，表面积为，故B错误； 对于，， ，， 易知是直角梯形，所以，故C正确； 对于，外接球的球心必落在所在直线上， ，设，则， 所以， 即，解得，所以，即， 所以外接球的体积为，故D正确． 故选：． 例6.解：如图，设四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为， 依题意，四棱锥的体积，即， 三棱柱的体积，即有， 因此， 于是长方体的体积， 所以该正四棱台的体积为． 故选：． 例7.解：已知在斜二测图形中，， 根据斜二测画法中平行于轴的线段长度不变的规则， 可知在原图形中，，， 又已知， 由斜二测画法中平行于轴的线段长度减半的性质， 可得原图形中，且斜二测画法中轴与轴夹角在原图形中为， 如图，得到原图， 因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台， 其中圆台的底面半径，高， 根据圆台体积公式，可得 ． 故选：． 例8.解：因为平面，、平面， 所以、，即， 又， 所以，， 作于，则，则， 所以，故A错误； ，故B正确； 取中心，作，则球心在上，且，则， 所以， 所以，故C正确； 设内切球的半径为，根据等体积法， ， 得，则，故D错误； 故选：． 例9.解：由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为， 如图，该六面体的体积为， 当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时， 球心为，且该球与相切，其中为的中点， 过球心作，则就是球的半径， ，，故，，， 因为，所以球的半径， 所以该球的表面积为， 故答案为；． 例10.解：如图： 设为正四面体的外接球球心，为的中心，为的中心，为的中点， 由正四面体可知平面， 因为平面，所以， 又因为棱长为，所以，， 设正四面体外接球球心为，则在 上，则为外接球半径， 由得，解得，即， 在正四面体中，易得，，所以， 则该八面体的外接球半径， 所以该球形容器表面积的最小值为， 故答案为： 练2-1.解：由题意得，设，则． 过点，在平面内分别作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，因为，，， 则四边形为矩形， 所以，，， 因为，，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以等腰梯形的面积为，得． 所以，，， 设正四棱台的高为，则 故方亭的体积为． 故答案为：． 练2-2.解：在正方体中，平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，同理可得， 四边形是平行四边形， 连结，交于点，连结，交于点，连结， 则， ，， ，，， 两个多面体可以拼成一个长方体， 多面体的体积为： ． 故选：． 练2-3.解：因为，，所以在长方体中， ，，， 所以． 故答案为． 练2-4.解：易知以，分别互为顶点和底面中心做个圆锥体， 则这两个圆锥体公共部分是两个小圆锥组合体， 设圆柱的底面半径和高分别为和，可得小圆锥的底面半径和高分别为和， 因为圆柱体体积是，所以， 则个小圆锥组合体体积为． 练2-5.解：由题意知，为等边三角形，则为的中心， 连接并延长交于点，连接，可知， 作，垂足为，易知平面， 过点作，垂足为，易知平面， 则，，， 则可知四面体的外接球即为棱长为的正方体的外接球， 其直径，即， 则四面体的外接球的表面积． 例11.解：取的中点，连接，， 因为，，所以． 则，的面积为， 因为，是的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 设三棱锥的高为，则， 则的面积为， ， 可得，的面积均为， 于是三棱锥的表面积为， 由等体积可知， 所以， 故． 设函数，且， 则， 当时，，单调递减，时，，单调递增， 所以， 所以时，取得最小值， 故答案为． 例12.解：由题意，在 中， ， ， ， 由余弦定理得： ， 所以 ，由勾股定理逆定理得： ， 取 、 、 的中点分别为 、 、 ，则 ， ， 又 ，故点 在平面 的轨迹为以 为直径的圆，记为 ． ，故点 在平面 的轨迹为以 为直径的圆，记为 ， 则 经过点 ，且三棱锥 的外接球球心 在直线 上． 设 ， ，球的半径为 ， 则在 中， ， 在 中，则 ， 则 ，由 知 ， 则 ， ，所以 ． 故三棱锥 的外接球的表面积 ． 故答案为： ． 例13.解：设底面等腰直角三角形 的直角边的边长为 ， 顶点 到底面 的距离为且三棱锥 的体积为 ， ，解得 ， 的外接圆半径为 ， 球心 到底面 的距离为 ， 又顶点 到底面的距离为， 顶点的轨迹是一个截面圆的圆周球心在底面和截面圆之间且球心到该截面圆的距离为 ， 截面圆的半径 ， 顶点 的轨迹长度是 ， 故答案是： ． 例14.解：由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离为，故A正确； 勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图， 其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，易知，，三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得，故B错误； 勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图， 则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积， 即，故C正确； 对于，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间， 正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为， 正四面体的高为， 正四面体的体积， 设正四面体的外接球半径为，则由题意得： ，解得， 正四面体的外接球的体积为， 勒洛四面体的体积满足，故D正确． 故选：． 例15.解：氧气瓶中氧气的体积 ． 设潜入水下米过程中的每分钟需氧量为，则， 因当速度为分时，每分钟需氧量，所以， 故来回途中需氧量为 则在湖底的工作时间为， ， 当且仅当，时取等号． 所以当时，的最大值是． 当时，， ，， ， 即当时，在湖底的工作时间的最大值为， 因此，当时，潜水员在湖底最多能工作分钟； 当时，潜水员在湖底最多能工作分钟． 练3-1.解：如图，由题意可将三棱锥补形为三棱柱， 故三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，                                     因为，即， ，平面， 所以平面， 故三棱柱是高为的直三棱柱，由题可设， 则由题意以及余弦定理得 ， 所以的外接圆半径为 ， 所以外接球的半径为 ， 所以外接球表面积为 ， 则， ， 所以，则 由三棱柱的结构性质及题意可知 ， 且 所以， 又由上， 所以， 即三棱锥体积的取值范围为． 故答案为：． 练3-2.解：如图，连接，， 由点为中点，结合正四面体的性质可知， 又因为为的中点，所以， 则， 由题可得圆锥的底面，显然当圆锥与侧面接触时，体积最大， 设圆锥与侧面的接触点为，连接， 根据正四面体的对称性知点一定在上， 故，故， 设，则圆锥底面圆的半径为， 圆锥的高， 所以圆锥的体积为 ， 则， 当时，，单调递增 当时，，单调递减， 所以． 故答案为． 练3-3.解：设球半径为 ，因为外接球的表面积为 ， 由球的表面积公式 ，可得 ，所以球半径为 ， 由 ， ， ，得 ， 所以 是直角三角形，所以 ， 设 到平面 的距离为 ，因为三棱锥 的体积为 ， 且由三校锥 体积 ，可得 ， 所以 到平面 的距离为， 所以点 的轨迹为与平面 平行的球的截面圆， 因为 是直角三角形，所以点 在以 为直径的圆上， 设其圆心为 ，半径为 ，则 ， 设球心为 ，与平面 平行的球的截面圆圆心为 ，半径为 ， 由勾股定理可得 ， ， 因为 ， ， ， 可得 ， ， ， 如图， 由条件得，四边形 是等腰梯形，且 ， ， ， 作 ，则 ， ， 由勾股定理可求 ， 作 ，则 ， ， 由勾股定理可求 ， 由条件可知： 当点 在点 处时， 最小，此时 ， 当点 在点 处时， 最大，此时 ， 所以可得 ， ， 故答案为： ． 练3-4解：如图，取的中点，连接，，则，， 过点作底面，垂足在上，且， 所以，，故AF， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以， 即，解得， 即，则，故 设最小球的球心为，中间球的球心为，则 两球均与直线相切，设切点分别为，， 连接，，则，分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，， 则，，则， 又，所以，解得， 又，故，解得，所以， 模型中九个球的表面积和为． 故选：． 练3-5.解：根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的，即， 其下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即， 上底面圆的半径是， 则圆台的侧面积， 其下底面面积， 故杯套的表面积 故选：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $