2.1平面直角坐标系 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

2.1 平面直角坐标系 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 有序实数对 平面直角坐标系和点的坐标 平面直角坐标系中点的坐标特征 点的位置的确定 知1－讲 感悟新知 知识点 有序实数对 1 定义 有顺序的两个实数a 与b 组成的数对，叫作有序实数对 表示方法 有顺序的两个实数a 与b 组成的数对，记作(a，b)，两个数之间用“，”隔开 应用 利用有序实数对，可以准确地表示出一个位置，如用“排”“列”表示教室内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等 感悟新知 特别说明：平面上每一个点都对应着一个有序实数对，每一个有序实数对都对应着平面上一个点，即平面上的点与有序实数对一一对应. 因此，利用有序实数对可以准确地描述点的位置. 知1－讲 感悟新知 知1－讲 特别提醒 有序实数对的概念有两个要点： 一是“有序”，二是“数对”. “有序”是指两个实数的位置不能随意交换，否则其意义会发生改变.例如：排队时，小明站在2列3排，可记作(2，3)，而(3，2)表示3 列2 排的位置，即(2，3)与(3，2)表示两个不同的位置“.数对”是指必须有两个数. 知1－练 感悟新知 [母题 教材P54观察]图2.1-1是某班教室学生座位的平面图. 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：利用行列确定物体的位置时，首先要明确有序实数对中每个实数的含义，这样才能对其他有序实数对作出解释或写出相应的有序实数对. (1)请说出王明和张强的位置. 知1－练 感悟新知 解：王明的位置是第2列第2排；张强的位置是第5列第5排. (2)若用(2，3)表示第2 列第3 排的位置，则(5，4)表示什么位置？王明和张强的位置可以怎样表示？ 知1－练 感悟新知 解：(5，4)表示的位置是第5 列第4 排. 王明的位置可以表示为(2，2)，张强的位置可以表示为(5，5) (3)在(2)的条件下，请说出(3，3)和(8，4)分别表示哪位同学的位置. 知1－练 感悟新知 解：(3，3)表示张军的位置，(8，4)表示李可的位置. (4)在(2)的条件下，(3，4)和(4，3)表示的位置相同吗？一般地，若a ≠ b，则(a，b)与(b，a)表示的位置相同吗？ 知1－练 感悟新知 解：(3，4)表示的是第3 列第4 排的位置，(4，3)表示的是第4 列第3 排的位置，所以它们表示的位置不相同.一般地，若a ≠ b，则(a，b)与(b，a)表示的位置不相同. 知1－练 感悟新知 方法点拨 利用行列定位法确定物体位置的方法： 　　首先要弄明白有序实数对中每个实数的含义，这样才能对其他的有序实数对作出解释或写出相应的有序实数对. 感悟新知 知1－练 传统文化中国象棋规定：马走“日”，图2.1-2 画出了中国象棋棋盘的一部 分，上面标有A，B，C，D，E 五个 点，如果点A 记作(1，0)，点C 记作 (0，3)，请用有序实数对表示马从点A 走到点C 的最短路线. 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣马走“日”的特征解答. 解：马从点A走到点C的最短路线是A(1，0)→E(2，2)→C(0，3) 感悟新知 方法点拨 利用有序实数对表示点的位置的方法： 1. 明确有序实数对中行与列表示的顺序； 2. 由已知点确定起始行与列； 3. 用有序实数对表示所求各点的位置. 知1－练 感悟新知 知2－讲 知识点 平面直角坐标系和点的坐标 2 1. 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直的数轴，其中一条叫横轴(通常称为x轴)，另一条叫纵轴(通常称为y轴)，它们的交点O是这两条数轴的公共原点.通常，我们取横轴向右为正方向，纵轴向上为正方向，横轴与纵轴的单位长度通常取成一致(有时也可以不一致)，这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系，记作xOy. 感悟新知 知2－讲 如图2.1-3所示. 知2－讲 感悟新知 巧记口诀 画完横轴画纵轴， 两轴相交九十度； 箭头轴名不能少， 原点刻度标画好. 知2－讲 感悟新知 注意 (1)平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直； (2)一般情况下两条坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两条坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同. 知2－讲 感悟新知 2. 点的坐标：对于平面内任意一点P，过点P分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a，b 分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b)叫作点P的坐标(如图2.1-4) 知2－讲 感悟新知 注意 写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，简记：横前纵后逗隔开. 知2－讲 感悟新知 拓宽视野 1. 点(a，b)到x轴与y轴的距离分别是|b| ，|a| ，到原点的距离为 . 2. 点的坐标不但可以确定点的位置，还可以求出点到两条数轴的垂线段的长度与点到原点的距离. 知2－讲 感悟新知 3. 平面直角坐标系内的点与有序实数对方关系：在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应. 也就是说，在平面直角坐标系中，每一个点都可以找到唯一一对有序实数与它对应；反过来，对于任意一对有序实数，都可以找到唯一一个点与它对应. 在描点时，应注意平面内点的坐标的确定方法. 知2－讲 感悟新知 拓宽视野 1. 点(a，b)到x轴与y轴的距离分别是|b| ，|a| ，到原点的距离为 . 2. 点的坐标不但可以确定点的位置，还可以求出点到两条数轴的垂线段的长度与点到原点的距离. 知2－讲 感悟新知 4. 象限：如图2.1-5，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，这四个区域分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 知2－讲 感悟新知 注意 象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 各象限的名称是一种规定，不能随意更改. 知2－练 感悟新知 如图2.1-6，其中是平面直角坐标系的是_______(填序号) 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：在画平面直角坐标系时，容易出现的错误：漏掉表示正方向的箭头，漏标单位长度，忘记标注坐标轴的名称，整数点对应的数字标注错误，同一坐标轴上的单位长度不一致等. 准确掌握平面直角坐标系的概念及其画法是判断坐标系正误的关键. 知2－练 感悟新知 解：①中缺少单位长度，错误；②中横轴的正方向向右，却把1，2，3 标在了原点的左边，-1，-2，-3 标在了原点的右边，错误；③没有正方向，错误；④是平面直角坐标系，正确；⑤横轴上的单位长度不一致，错误. 答案：④ 感悟新知 特别解读 辨识平面直角坐标系的“三要素”： 1. 两条数轴； 2. 共原点； 3. 互相垂直. 知2－练 知2－练 感悟新知 [母题 教材P57 练习T2]已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y 轴的负半轴上，那么点P的坐标是(　　) A(. 2，-1) B(. 1，-2) C(. -2，-1) D(. 1，2) 例4 解题秘方：紧扣点的坐标与点到两坐标轴的距离之间的关系解答． 知2－练 感悟新知 解：由点P到x 轴的距离为2，可知点P的纵坐标的绝对值为2， 由点P到y 轴的距离为1，可知点P的横坐标的绝对值为1. 又因为垂足分别在x 轴的正半轴上和y 轴的负半轴上， 所以横坐标为1，纵坐标为-2. 故点P的坐标是(1，-2) 答案：B 感悟新知 解法指导 本题考查的是点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值． 知2－练 知2－练 感悟新知 [母题 教材P57 练习T1]平面直角坐标系xOy如图2.1-7所示. 例5 解题秘方：根据点的坐标的定义写点的坐标；根据描点的方法描出指定的点. 知2－练 感悟新知 (1)写出点A，B，C，D的坐标； 解：由图2.1-7 可知，所求各点的坐标分别为： A(2 ，3)，B(-2 ，0)，C(-5，-3)，D(0，-1). 知2－练 感悟新知 (2)描出点E(4，-3)，F(-4，3)，G(5，5)，H(-3，-4)，并指出各点分别在哪个象限. 解：描出点E，F，G，H，如图2.1-7 所示. 由图可知，点E在第四象限，点F在第二象限，点G在第一象限，点H在第三象限. 感悟新知 方法点拨 根据点的坐标描点的方法： 　　假设点P的坐标为(a，b)，先在x轴上找到表示的数为a的点A，在y轴上找到表示的数为b的点B，再过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P. 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 平面直角坐标系中点的坐标特征 3 1.平面直角坐标系中各区域内和坐标轴上的点的坐标特征 感悟新知 知3－讲 点(a，b)的位置 点(a，b)的横、纵坐标的符号 图示 在 象 限 内 第一象限 (+，+)，即a>0，b>0 第二象限 (-，+)，即a<0，b>0 第三象限 (-，-)，即a<0，b<0 第四象限 (+，-)，即a>0，b<0 感悟新知 知3－讲 点(a，b)的位置 点(a，b)的横、纵坐标的符号 图示 在 坐 标 轴 上 x 轴 正半轴 (+，0)，即a>0，b=0 负半轴 (-，0)，即a<0，b=0 y 轴 正半轴 (0，+)，即a=0，b>0 负半轴 (0，-)，即a=0，b<0 原点 (0，0)，即a=0，b=0 原点既在x轴上，又在y轴上 感悟新知 知3－讲 注意 (1)x 轴上的点的纵坐标为0，y 轴上的点的横坐标为0. (2)横、纵坐标的符号决定了这个点所在的象限(或坐标轴). 感悟新知 知3－讲 特别解读 1. 既可以根据点的位置判断其横、纵坐标的符号特征；也可以由点的横、纵坐标的符号特征判断点所处的位置. 2. 若两个点的横坐标相同，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相同，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 感悟新知 知3－讲 2. 特殊位置的点的坐标特征： 点的位置 点的横、纵坐标的关系 在角平分线上 在第一、三象限的角平分线上 相等 在第二、四象限的角平分线上 互为相反数 在平行于坐标 轴的直线上 在平行于x 轴的直线上 纵坐标相等 在平行于y 轴的直线上 横坐标相等 感悟新知 知3－练 若点A(a，b)在第四象限，则点B(-a，b-1)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 例6 解题秘方：先根据点A在第四象限得出a，b 的正负，再根据每一象限内点的横、纵坐标的符号特征判断点B所在的象限. 感悟新知 知3－练 解：因为点A(a，b)在第四象限，所以a>0，b<0. 所以-a<0，b-1<0.所以点B(-a，b-1)在第三象限. 答案： C 感悟新知 特别解读 根据点的坐标的符号特征可判断点的位置；反之，也可以根据点在坐标平面内的位置判断其坐标的符号情况. 知3－练 知3－练 感悟新知 已知平面直角坐标系内的不同两点A(3，a-1)，B(b+1，-2) 例7 解题秘方：分别根据特殊位置的点的坐标特征列出以a，b 为未知数的方程，求出a，b 的值或取值范围. 知3－练 感悟新知 (1)若点A在第一、三象限的角平分线上，求a 的值； 解：因为点A在第一、三象限的角平分线上， 所以a-1=3，解得a=4. 知3－练 感悟新知 (2)若点B在第二、四象限的角平分线上，求b 的值； 解： 因为点B在第二、四象限的角平分线上， 所以b+1=2，解得b=1. 知3－练 感悟新知 (3)若直线AB平行于x 轴，求a，b 的值或取值范围； 解： 因为直线AB平行于x 轴， 所以a-1=-2，b+1 ≠ 3. 所以a=-1，b ≠ 2. 知3－练 感悟新知 (4)若直线AB平行于y 轴，且AB=5，求a，b 的值. 解： 因为直线AB平行于y 轴，且AB=5， 所以b+1=3，|(a-1)-(-2)|=5.所以b=2，a=4 或a=-6. 已知两点之间的距离求点的坐标时，要带上绝对值，求出的点的坐标不止一个 感悟新知 特别警示 两点确定的直线平行于坐标轴，既要考虑一个坐标相等，又要考虑另一个坐标不能相等，否则两个点重合不能确定一条直线. 知3－练 感悟新知 知4－讲 知识点 点的位置的确定 4 1. 直角坐标定位法： (1)选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系； (2)根据具体问题确定单位长度； (3)写出各点的坐标和各个地点的名称. 感悟新知 知4－讲 注意 (1)通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，这样可以使东西南北方向与地理位置一致； (2)平面直角坐标系发生变化时，坐标平面内的各点坐标发生变化，但各点之间的相对位置并不会发生变化. 感悟新知 知4－讲 2. 方位角和距离定位法：在航海和地理测绘中，经常用方向和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东(西)或南偏东(西)来确定方向. 表示方向时要用到方位角，我们把北偏西60°，南偏东60° 这样的角称为方位角. 感悟新知 知4－讲 注意 (1)描述方向时，通常以正北或正南为基准，以向东或向西偏离的角度表示方向，写成北偏东(西)或南偏东(西)的形式. (2)用方向和距离表示平面内点的位置时，和地图上的方向一致，按上北下南，左西右东划分. 感悟新知 知4－讲 示 例 用方位角和 距离描述点 的位置 如图，小南相对于 小智的位置是 北偏东60°，500 m. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 1. 建立平面直角坐标系的方法不是唯一的. 2. 选取原点要“适当”，一般取比较有名的地点，或是所要绘制的区域内较居中的位置. 3. 在地点比较集中，坐标平面又较小时，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称. 感悟新知 知4－讲 特别解读 用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据： 1. 该点相对于参照点的方位角； 2. 该点与参照点之间的实际距离. 感悟新知 知4－练 [母题 教材P58 思考]如图2.1-8是小红所在学校的平面示意图(图中每个小正方形的边长为1 个单位长度)，请建立适当的平面直角坐标系，并写出各点的坐标. 例8 解题秘方：建立平面直角坐标系的关键是选择合适的原点. 感悟新知 知4－练 解：答案不唯一. 例如： 如图2.1-9，以学校大门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，则可得学校大门的坐标为(0，0)，办公楼的坐标为(0，2)，教学楼的坐标为(0，4)，操场的坐标为(3，3)，生物园的坐标为(-4，4)，实验楼的坐标为(-3，7)，宿舍的坐标为(3，7) 感悟新知 知4－练 方法总结 直角坐标定位法是在平面内建立适当的平面直角坐标系，用一对有序实数——点在平面内的坐标，可以表示出点的位置. 感悟新知 知4－练 [母题 教材P58 例2]根据下面的条件画一幅示意图，并分别标出中心广场、菊花园、湖心亭、松风亭的位置. 菊花园：从中心广场向北走150 m，再向东走150 m； 湖心亭：从中心广场向西走150 m，再向北走100 m； 松风亭：从中心广场向西走100 m，再向南走50 m. 例9 解题秘方：选择一个核心为原点，按照平面直角坐标系表示地理位置的方法，建立平面直角坐标系. 感悟新知 知4－练 解：如图2.1-10，以中心广场所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，规定1 个单位长度代表50 m. 根据已知条件可得，菊花园 位于点A(3，3)处，湖心 亭位于点B(-3，2)处， 松风亭位于点C(-2，-1)处. 感悟新知 知4－练 方法点拨 建立平面直角坐标系描述地理位置时，建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同；建立的平面直角坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上或使点都落在原点附近. 感悟新知 知4－练 如图2.1-11，四艘渔船 A，B，C，D在回港途中遭遇9 级强风，小岛上边防战士接到命令后立即准备搜救，请告诉边防战士这些渔船的正确位置. 例10 解题秘方：用方位角和距离表示平面内点的位置时，通常先写方位角，后写距离. 感悟新知 知4－练 解：渔船A相对于小岛的位置是北偏西50°，30 n mile；渔船B相对于小岛的位置是西南方向，20 n mile；渔船 C 相对于小岛的位置是正南方向，35 n mile；渔船D相对于小岛的位置是南偏东60°，25 n mile. 感悟新知 知4－练 特别提醒 用方位角和距离确定平面上物体的位置，需要两个数据： (1)方位角； (2) 目标到中心(参照物)的距离. 二者缺一不可. 平面直角坐标系 平面直角 坐标系 坐标 原点 坐标轴 有序实 数对 用坐标表示位置 构成 各象限内点的坐标特征 课堂小结 $