2.1　平面直角坐标系 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

湘教版 八年级 数学（下） 第2章　图形与坐标 2．1　平面直角坐标系 第1课时　平面直角坐标系 1 情景导入 在生活中，我们经常需要确定物体的位置，而利用有序数对来描述位置是最常用的方法之一. 在电影院内如何找到电影票上所指的位置？ “8排7号”与“7排8号”中的“7”的含义相同吗？ 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 知识模块一　平面直角坐标系的有关概念 自学互研 下图是某教室部分座位的平面示意图，如何确定小楠的位置？ 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 第1排 第2排 第3排 第4排 第5排 讲 台 小 楠 小楠坐在第4列第2排. 约定“列数在前，排数在后”，试着表示一下教室里同学的位置. 为了确定物体在平面上的位置，可以用一对有顺序的实数（简称为有序实数对）来表示. 例如，小楠在教室里的座位可以简单地记作（4，2）. 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 第1排 第2排 第3排 第4排 第5排 讲 台 小 楠 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 第1排 第2排 第3排 第4排 第5排 讲 台 小 楠 如何用有序实数对来表示平面上任一点的位置？ 横轴 纵轴 x y O 通常，我们取横轴向右为正方向. 纵轴向上为正方向. 原点 这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系，记作xOy. 横轴与纵轴的单位长度通常取一样的长度（有时也可以取不同长度）. 这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系，记作xOy. M C D （-4，5） 过点M作x轴的垂线，与x轴相交于点C，点C在x轴上表示-4； 再过点M作y轴的垂线，与y轴相交于点D，点D在y轴上表示5； 则（-4，5）表示点M位置，并称为点M的坐标，其中-4称为横坐标，5称为纵坐标. 若以点M为原点建立平面直角坐标系，则点M的坐标是多少？ 8 反之，为了找出坐标为(4，2)的点，在x轴上找到表示4的点A. A 过点A作x轴的垂线 再在y轴上找到表示2的点B，过点B作y轴的垂线. B P（4，2） 这两条垂线的交点P就是坐标为（4，2）的点. 综上所述，在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应. 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一，二，三，四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 练 练 一 1．下列关于有序数对的说法正确的是 ( ) A．(2，3)与(3，2)表示的位置相同 B．(m，n)与(n，m)表示的位置一定不同 C．(2，－3)与(－3，2)是表示不同位置的两个有序数对 D.(－1，－1)与(－1，－1)不是同一位置的点 C 2．如图，如果点A的位置为(3，2)，点C的位置为(5，4)，那么点B的位置为_________，点D的位置为________，点E的位置为_________． (2，5) (7，3) (2，3) x 轴和y轴上的点的坐标分别有什么特征？ 知识模块二　平面直角坐标系内点的坐标及各象限内点的坐标的特征 例1 （1）如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D，E，F的坐标. 解 （1）由图可知，所求各点的坐标分别为： A（3，4），B （-4，3）， C（-3，0），D（-2，-4），E（0，-3），F（3，-3）. 点P在第一象限，点Q在第二象限，点M在第三象限，点N在第四象限. （2）如图，先在x轴上找到表示5的点，再在y轴上找出表示4的点，过这两个点分别作x轴，y轴的垂线，垂线的交点就是点P. 类似地，可以找到点Q，M，N的位置，如图所示. （2）在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限. P(5，4)，Q(-3，4)， M (-4 ，-1)，N(2，-4). P Q M N 15 填写下表： 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 在第一象限 在第二象限 在第三象限 在第四象限 + + - + - - + - 根据上表，概括出平面直角坐标系中四个象限的点的坐标特征. 16 练 练 一 1.在平面直角坐标系内，下列各点在第二象限的是 ( ) A．(2，1)　　　　 B．(－2，1)　　　　 C．(－3，－5)　　　　 D．(5，－5) B 2.若点A的坐标(x，y)满足(x＋3)2＋|y＋2|＝0，则点A的位置在 ( ) A．第一象限　　　 B．第二象限　　　 C．第三象限　　　 D．第四象限 C 知识模块三　平面直角坐标系的综合应用 在平面直角坐标系内，已知点A(1－2k，k－2)在第三象限，且k为整数，求k的值． 解：∵点A(1－2k，k－2)在第三象限， 又∵k为整数， ∴k＝1. ∴ 解得0.5<k<2. 1－2k<0， k－2<0. 练 练 一 写出下图中A，B，C，D，E，F各个顶点的坐标． (1)判断线段BC所在直线与x轴的位置关系？B，C两点的坐标有什么特征？ 解：A(－2，0)， (1)平行，纵坐标相等． B(0，－3)， C(3，－3)， D(4，0)， E(3，3)， F(0，3) 20 写出下图中A，B，C，D，E，F各个顶点的坐标． (2)判断线段CE所在直线与y轴 的位置关系？C，E两点的坐标 有什么特征？ (3)由(1)(2)的结论，你能得到什 么规律？ (2)平行，横坐标相等． (3)如果两个点的纵(横)坐标相等，那么两个点的连线与x轴(y轴)平行． 课堂小结 平面直角坐标系 定义：原点、坐标轴 点的坐标 定义与符号特征 描点 点的坐标的确定 随堂练习 1.已知坐标平面内点A（m, n）在第二象限，那么点B（n, m）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 2.点M位于x轴上方，距x轴3个单位长度，且位于y轴左侧，距y轴2个单位长度，则M点的坐标是_________. (-2, 3) 解 所求各点的坐标为： A（3，3），B （-5，2）， C（-4，-3），D（4，-3），E（5，0）. 【选自教材P57 练习 第1题】 3. 平面直角坐标系xOy如图所示. （1）写出点A， B， C， D， E的坐标； （2）描出点P(-2,-1)， Q(3,-2)，S(2,5)， T(-4,3)， 并指出各点分别在哪个象限. 第一象限：S 第二象限：T 第三象限：P 第四象限：Q P Q S T 3. 平面直角坐标系xOy如图所示. 【选自教材P57 练习 第1题】 （1）写出点A， B， C， D， E的坐标； （2）描出点P(-2,-1)， Q(3,-2)，S(2,5)， T(-4,3)， 并指出各点分别在哪个象限. 4. 在平面直角坐标系中，已知点 P 在第四象限，距离 x 轴 2 个单位长度，距离 y 轴 3 个单位长度. （1）画出一个平面直角坐标系，并在坐标系中描出点 P 的位置；（2）写出点 P 的坐标. P 点 P 的坐标为(3, -2) 【选自教材P57 练习 第2题】 5. 在图中的直角坐标系中描出下列各点：A（2，3），B（-2，3），C（0，-4），D（-2，0），E（-3，-1），F（3，-2），并指出它们所在的象限. A B C D E F 第一象限：A 第二象限：B 第三象限：E 第四象限：F 湘教版 八年级 数学（下） 第2章　图形与坐标 2．1　平面直角坐标系 第2课时　利用直角坐标或方位刻画物体的相对位置 28 情景导入 在平面直角坐标系中，标出下列各点的坐标 A(－5，3)，B(4，－2)， C(1，4)，D(－3，－4)， E(0，3)，F(－2，0). y x A B C D E F 知识模块一　平面直角坐标系的有关概念 自学互研 右图是某中学的校区平面示意图（小方格的边长代表1个单位长度），试建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示校门、图书馆、花坛、体育场、教学大楼、国旗杆、实验楼和体育馆的位置. 今天我们学习如何用直角坐标系表示地理位置，对于上面的问题，思考： （1）如何建立平面直角坐标系？以何参照点为原点？如何确定x轴、y轴？ （2）如何选用比例尺来绘制区域内地点分布情况平面图？ （3）选取校门所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？ 以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x 轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy. 校门(0,0) 图书馆(3,1) 教学大楼(0,7) 体育场(4,7) 国旗杆(0,3) 实验楼(-4,6) 花坛(3,4) 体育馆(-3,2) 若以国旗杆所在位置为原点建立平面直角坐标系，则校区内各建筑物的坐标会发生变化吗？若发生变化，试写出此时各点的坐标. x y O 校门(0,-3) 图书馆(3,-2) 教学大楼(0,4) 体育场(4,4) 国旗杆(0,0) 实验楼(-4,3) 花坛(3,1) 体育馆(-3,-1) 在平面内，不同的坐标系中（不同原点）同一点的坐标不同. 例2 根据以下条件画一幅示意图， 并分别标出学校、书店、电影院、汽车站的位置. （1）从学校向东走 500 m，再向北走 450 m 到书店. （2）从学校向西走 300 m，再向南走 300 m，最后向东走 50 m 到电影院. （3）从学校向南走 600 m，再向东走 400 m 到汽车站. y x 北 解 如图所示，以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，规定1个单位长度代表100 m. 根据已知条件可得，书店位于点A(5,4.5)处，电影院位于点B(-2.5,-3)处，汽车站位于点C(4,-6)处. y x 学校 北 A 书店 B 电影院 C 汽车站 归纳：在日常生活中， 除了可以用平面直角坐标系刻画物体之间的位置关系外，有时还可借助方向和距离（或称方位） 来刻画两物体的相对位置. 某学校的平面示意图如图所示，如果实验楼所在位置的坐标为 (－2，－3)，教学楼所在位置的坐标为(－1，2)，那么图书馆所在位置的坐标为_________． (－4，3) 根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其他点的坐标． 合 探 作 究 （1）如图，小婷家距学校1000m，如何用方向和距离来描述小婷家相对于学校的位置？ （2）反过来，学校相对于小婷家的位置应怎样用方向与距离来描述呢？ （1）小婷家在学校的北偏西60°的方向上， 与学校的距离为1000m； （2）反过来，学校在小婷家南偏东60°的方 向上，与小婷家的距离为1000m. 像北偏西60°、南偏东60°这样的角称为方位角. 小婷家 知识模块二　用方位角和距离刻画两物体的相对位置 练 练 一 1.如图，货轮与灯塔相距40 n mile. (1)可以用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置：灯塔在货轮的南偏东________°，40 n mile处； (2)反过来，如何用方向和距离描述货轮 相对于灯塔的位置； (3)客轮在货轮的正南方向，在灯塔的 南偏西40°方向，请你在图中标出客 轮位置． 解：(1)50 货轮 北 灯塔 50° (2)由图可知相对于灯塔，货轮的位置为北偏西50°，40 n mile处． (3)如图即为客轮位置． 货轮 北 灯塔 客轮 南 50° 40° 1．描述李亮家相对于学校的位置最重要的两个条件是______和_______． 2．教材P59议一议(1)，(2)中变化的是______，不变的是______和______大小． 合 探 作 究 方向 距离 方位 距离 角度 归纳 (1)在日常生活中，除了用平面直角坐标系刻画物体之间的位置关系外，有时还可借助_______和______(或称方位)来刻画两物体的相对位置． (2)像北偏西60°、南偏东60°这样的角称为_______． 方位 距离 方位角 例3 如图，12时某渔政船在海岛（C处）正南方向、距海岛30海里的A处.渔政船以每小时20海里的速度向东航行，14时到达B处，并测得海岛的方向是北偏西53°8′. 那么此时渔政船相对于海岛的位置怎样描述呢？ 分析 如图，设海岛所在处为C，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，利用勾股定理可以求出BC间的距离. 海岛 北 53°8′ 知识模块三　平面直角坐标系的综合应用 海岛 北 53°8′ 解 如图连接AB，BC，AC， 则△ABC是直角三角形，∠CAB=90°. 在Rt△ABC中， ∵ AC=30海里，AB=20×2=40（海里）， 由于在点B处测得海岛在北偏西53°8′的方向上，则∠BCA = 53°8′. 故此时，渔政船在海岛南偏东53°8′的方向上，距海岛50海里的位置. = =50(海里), 自 探 主 究 如图，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，OA⊥OB，且OC平分∠AOB，若点A表示为(3，30°)，点B表示为(1，120°)，则点C可以表示为_________． (2，75°) 合 探 作 究 (1)已知M(2，0)，MN＝4，点N与点M在同一坐标轴上，求点N的坐标； 解：(1)设点N坐标为(m，0)，MN＝|m－2|＝4， ∴m＝6或m＝－2， ∴N(6，0)或(－2，0). (2)已知M(0，0)，MN＝4，点N与点M在同一坐标轴上，求点N的坐标； (2)若点N在x轴上，则N(4，0)或(－4，0)，若点N在y轴上，则N(0，4)或(0，－4)， ∴点N坐标为(4，0)或(－4，0)或(0，4)或(0，－4). (3)已知M(－1，－1)，MN＝4，且MN∥y轴，求点N坐标． (3)∵MN∥y轴，则M，N两点横坐标相同，设点N坐标为(－1，n)，则|－1－n|＝4， ∴n＝3或n＝－5， ∴点N坐标为(－1，3)或(－1，－5). 1.如图是某动物园的部分平面示意图，其中小方格边长为1个单位长度. 试建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示大门、百鸟园、大象馆、狮子馆和猴山的位置. x y O (0,0) (-2,7) (-6,3) (3,11) (5,3) 【选自教材P60 练习 第1题】 2.如图，若每个小方格的边长表示50m，借助量角器回答下列问题： （1）猴山在大门的北偏西____° 的方向上，到大门的距离为 _______m. （2）百鸟园在狮子馆的南偏东 ____°的方向上，到狮子馆的距 离为________m. （3）大象馆在大门的北偏东___° 的方向上，到大门的距离为 _______m. 63.5 60 225 15 270 385 【选自教材P60 练习 第2题】 3.为发展海洋经济，保护海洋生态环境，某单位派遣一 艘海洋科考船对某海域进行考察.如图，已知该科考船在O点用声纳发现了几群鲸鱼，若规定1个单位长度代表10km长，试用适当的方法来表示A，B，C，D，E这5个目标鲸鱼群相对于点O的位置. 解：A相对点O的位置是南偏东45°30km处； 【选自教材P60 练习 第3题】 B北偏东60°30km处； C北偏东45°20km处； D南偏西60°20km处； E北偏西30°50km处. 课堂小结 确定位置 平面直角坐标系 方位法 经纬度法 区域定位法 随堂练习 1.如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10，20）表示的位置是（ ） A.点A B.点B C.点C D.点D B 2.芳芳放学从校门向东走400米，再往北走200米到家，丽丽出校门向东走200米到家，则丽丽家在芳芳家的（ ） A.东南方向 B.西南方向 C.东北方向 D.西北方向 B 3.某学校的平面示意图如图所示，为了管理的方便，在该平面图上建立了一个直角坐标系，如果实验楼所在位置的坐标为（2，-3），教学楼所 在位置的坐标为（3，2），那么 图书馆所在位置的坐标为_______. （0，3） 4.根据以下条件在图中画出小玲、小敏、小凡家的位置，并写出它们的坐标.（1个单位长度代表50m长） 小玲家：出校门向西走150m， 再向北走100m； 小敏家：出校门向东走200m， 再向北走300m； 小凡家：出校门向南走100m， 再向西走300m，最后向北走250m. 小玲家（-3，2）， 小敏家（4，6）， 小凡家（-6，3）. 湘教版 八年级 数学（下） 第2章　图形与坐标 习题2.1 58 解：A(5, 2)，B(0, 4)，C(-3, 3)，D(-5, 0)，E(-3, -4)，F(4, -3). 1.如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D，E，F的坐标. 【选自教材P61 习题2.1 第1题】 解：建立平面直角坐标系，描出各点如右图所示. A(1, 3)在第一象限， B(-2, 1)在第二象限， C(3, -4)在第四象限， D(-4, -2)在第三象限， E(-3, 0)在x轴的负半轴上， F(0, -5)在y轴的负半轴上. 2.建立平面直角坐标系，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上. A(1，3)，B(-2，1)，C(3，-4)， D(-4，-2)，E(-3，0)，F(0，-5). 【选自教材P61 习题2.1 第2题】 3.如图，象棋棋盘上的“帅”位于点（1，-2），“炮”位于点（-2，1)，则“相”位于点（ ） （A）(2，-2) （B）(2，-1) （C）(3，-2) （D）(3，-1) 【选自教材P61 习题2.1 第3题】 C 相 4.如图是某县的局部平面示意图，每个小方格的边长表示3km.（1）借助量角器，描述各镇相对于城关镇的位置，如果以C镇为参照点呢？ （2）分别以城关镇和C镇 为原点建立平面直角坐标系， 写出各镇的坐标. 【选自教材P61 习题2.1 第4题】 (1)相对城关镇，A镇距离约为21.2公里，东偏北45°;B镇距离为约10.8公里，南偏西约33.4°;C镇距离为30公里，正东方向;D镇距离为约33.5公 里，东偏南约26.5°. 以C镇为参照点时，城关镇距离为30公里，正西方向;A镇距离约为21.2公里，北偏西45°;B镇距离约36.1公里，南偏西约67°;D镇距离为15公里，正南方向. (2)以城关镇为坐标原点时，A镇的坐标为(5，5)，B镇坐标为(-2,-3)，C镇坐标为(10,0)，D镇坐标为(10,-5)，图略; 以C镇为坐标原点时，城关镇的坐标为(-10，0)，A镇坐标为(-5,5),B镇坐标为(-12,-3)，D镇坐标为(0,-5)，图略 (2)以城关镇为坐标原点时，A镇的坐标为(5，5)，B镇坐标为(-2,-3)，C镇坐标为(10,0)，D镇坐标为(10,-5)，图略; 以C镇为坐标原点时，城关镇的坐标为(-10，0)，A镇坐标为(-5,5),B镇坐标为(-12,-3)，D镇坐标为(0,-5)，图略 5.根据以下条件画一幅示意图，并分别标出校门、李明家、王强家、张英家的位置： 李明出校门向东走200m，再向北走400m就到家了； 王强出校门向西走300m，再向北走450m也到家了； 张英出校门向东走300m，再向南走250m到家. 【选自教材P61 习题2.1 第5题】 解：如右图所示，以校门所在位置为原点，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表100m. 7.平面直角坐标系中，有一点P（-m+1，2m-6）， 试求满足下列条件的m的值或取值范围： （1）点P在х轴上； （2）点P在第三象限； （3）点P到y轴的距离是1. 【选自教材P62 习题2.1 第7题】 解：（1）由题意得，2m-6=0. 解得m=3. （2）由题意得， . 解得 1＜m＜3. -m+1＜0 2m-6 ＜0 （3）由题意得， -m+1=1. 解得m=0. 69 解：(0, 0)，(0, 3)，(4, 3) 或(0, 0)，(0, 3)，(-4, 3) 或(0, 0)，(0, 3)，(-4, 0). 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0），点 B（0，3），若有一个直角三角形与Rt△AOB全等，且OB是它们的公共边，试写出这个直角三角形的顶点坐标. 【选自教材P62 习题2.1 第6题】 $