精品解析：吉林长春市公主岭市第三中学校2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

公主岭三中高一下月考 数学试卷 考试范围：第七章 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知， 与的夹角为90°，且，若，则 A. B. 6 C. 3 D. 4. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 在中，D为BC中点，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 在中，内角，，的对边分别是，，，的面积，且，则的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则一定为等腰三角形 ②若，则一定为锐角三角形 ③若，，则面积的最大值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意单位向量的模都相等. B. 若，是平面内的两个不同的点，则 C. 若向量，，则 D. 零向量与任意向量平行 10. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 在△中，若，则 B. 已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 C. 在△中，若，则△定为等腰三角形 D. 若，则与的夹角是钝角 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则________． 13. 已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求： （1）； （2）； （3）. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求． 17. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为. （1）若，求实数的值； （2）求向量与向量的夹角. 18. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 19. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公主岭三中高一下月考 数学试卷 考试范围：第七章 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的向量，结合向量坐标运算法则求得结果. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量坐标运算公式，属于基础题目. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知， 与的夹角为90°，且，若，则 A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，化简即可得到答案． 【详解】因为， 与的夹角为90°，则 由于，所以，解得， 故选B. 【点睛】本题考查向量垂直的关系，向量的数量积的运算，属于基础题 4. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理即可. 【详解】在中利用余弦定理得，. 故选：C 5. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据向量平行得到关系式，解得答案. 【详解】已知向量，，若，所以， 则实数. 故选：A. 6. 在中，D为BC中点，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值. 【详解】因为D为BC中点，所以， 由题意，即. 故选：D 7. 在中，内角，，的对边分别是，，，的面积，且，则的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由正弦定理面积公式和余弦定理进行化简，找到，再根据正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以． 设的外接圆的半径为，所以，解得． 故选：D． 8. 在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则一定为等腰三角形 ②若，则一定为锐角三角形 ③若，，则面积的最大值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正弦定理及二倍角公式化解可得或，进而判断即可；②结合平面向量的定义可得，即可得到为锐角，进而判断即可；③根据余弦定理及基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】①由，根据正弦定理得， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故①错误； ②由，则，所以为锐角， 此时不一定为锐角三角形，故②错误； ③由余弦定理得， 则，当且仅当时等号成立， 则，故③正确. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，满分18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任意单位向量的模都相等. B. 若，是平面内的两个不同的点，则 C. 若向量，，则 D. 零向量与任意向量平行 【答案】AD 【解析】 【分析】根据单位向量、向量共线的定义判断即可； 【详解】解：对于A：根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确； 对于B：与互为相反向量，故B错误； 对于C：若时，与不一定共线，故C错误； 对于D：零向量与任意向量平行，故D正确； 故选：AD 10. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理， 得a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴4＝b2＋12－6b， 即b2－6b＋8＝0， ∴b＝2或b＝4. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 在△中，若，则 B. 已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为 C. 在△中，若，则△定为等腰三角形 D. 若，则与的夹角是钝角 【答案】AB 【解析】 【分析】A讨论、两种情况，结合三角形内角的性质及诱导公式判断；B根据投影向量的定义写出在上的投影向量即可；C、D应用特殊处理，令判断C，由，反向共线判断D. 【详解】A：若，显然成立，若，则，故，正确； B：由题设，在上的投影向量为，正确； C：当时也成立，此时△为直角三角形，但不是等腰三角形，错误； D：当，反向共线时也成立，但与的夹角为，不是钝角，错误； 故选：AB 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可得，又，，， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可. 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为． 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则_______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可. 【详解】， 由正弦定理可得： ， 得， 左右两边同时除以， 可得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义运算； （2）由向量数量积的运算律结合（1）求解； （3）根据向量数量积的运算律运算求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1），. 【小问3详解】 . 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，从而得到角C. （2）由正弦定理即可求解,进而即可得. 【小问1详解】 由余弦定理可得，有，有， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，有，即，有，因为，所以，从而有． 17. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为. （1）若，求实数的值； （2）求向量与向量的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据投影向量求出的值，然后根据向量垂直列出等式，进而通过化简得到，最后即可求出的值. （2）先求出，然后求出，最后根据向量夹角的余弦公式求出夹角的余弦值，进而求得该夹角的值. 【小问1详解】 因为，且在上的投影向量为， 所以，所以. 因为，所以， 所以，则有， 化简得，解得. 【小问2详解】 因为，. 所以. 又因为向量之间的夹角范围为，所以向量与向量的夹角为. 18. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角； （2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 故的周长为12. 19. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值； （3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围. 【小问1详解】 证明：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以为锐角， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 由正弦定理得 . 令，则在上单调递增， 而，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $