专题30～32 立体图形—长方体和正方体等-2026版小升初数学名校真题分类试卷

7.(1)420(2)4514 【解题关键】利用分类法数三角形的个数。 【解题关键】数阵图中找规律，观察找到行和列 【思路妙解】①1个三角形组成的有4个，2个三 间的联系。 角形组成的有3个，3个三角形组成的有2个，4 【思路妙解】(1)第1行第2列对应的数是1× 个三角形组成的有1个，一共是4+3+2+1= 2=2,第2行第3列对应的数是2×3=6，第3行 10(个)三角形。②去掉图中间的斜线后，有 第4列对应的数是3×4=12，…所以第20行 3+2+1=6(个)三角形，添上斜线后，上面有 第21列对应的数应该是20×21=420。 3+2+1=6(个)三角形，下面有3个三角形，一 (2)第1列的数分别为1,4,9,16，…，n2,已知 共有6+6+3=15（个）三角形。③假设每个三 45×45=2025,因此，2012应为45行，2025-2012= 角形边长为1，按边长来数。边长为1的有1+ 13,13+1=14列，所以2012应为第14列的数。 3+5+7=16(个)三角形，边长为2的有1+ 【名师点拔】按图中规律排列，第n行第n列的数 2+3=6(个)三角形，还有1个朝下的三角形， 为n2-(n-1)。 边长为3的有1+2=3（个）三角形，边长为4的 8.A 有1个三角形，一共有16+6+1+3+1=27（个） 新考法·创新题专练 三角形。 第8个数是2第11个数是8 【名师点拨】数三角形的个数时，一般用分类的 165 方法。当图中三角形被线段分割时可以采用划 【解题关键】观察分数的分子和分母，找规律。 线法和分类法结合。 【思路妙解】9=316：425-9 14.32 =1×5’12 =2×621=3×7, 15.48 5=48观察分子和分母的规律，得到第n个数 【解题关键】数组合图形中长方形的个数时，要 为(n+2)2 按照顺序逐步观察思考。 n(n+4)° 【思路妙解】在小旗子所在的竖列中，按照由1 【名师点拨】注意找到分子和分母的规律关系后， 个、2个、3个、4个小长方形所组成的长方形的 要验证是否正确。 顺序去计算，包含小旗子的长方形共有1+2+ 2+1=6(个)；在小旗子所在的横行中，按照由 模块六图形与几何 1个、2个、3个、4个、5个小长方形所组成的长 专题28平面图形的认识、分类数图形 方形的顺序去计算，包含小旗子的长方形共有 1.302.钝锐平93 1+2+2+2+1=8(个)，所以包含小旗子的长 3.(1)如图所示。(2)点到直线，垂线段最短。从 方形共有6×8=48（个）。 点A作下水道的垂线即为排水沟。 【名师点拨】也可以想小旗子的上面可以画出2 条线，下面有3条线，左边有4条线，右边有2条 线，在这个范围内都能找到包含小旗子的长方 下水道 形，所以一共有2×3×4×2=48（个）长方形。 4.275.40锐角6.72 16.21 7.2113332 专题29平面图形的周长和面积 8.5+2=7(7-2)×180°=900° 1.243 这个多边形是七边形，它的内角和是900°。 2.44 【解题关键】多边形的内角和。 【解题关键】正方形的面积与百分数的结合。 【思路妙解】由于多边形的边数比其对角线的数 【思路妙解】正方形现在的面积为[(1+20%)× 量多2，依题意知，该多边形为七边形，它的内角 a]2=1.4r,所以面积增加.44a-a× 和为(7-2)×180°=900°。 100%=44%。 【名师点拨】任意多边形的外角和是360°，多边 形的内角和为(n-2)×180°(n为边数)。 【名师点拨】根据正方形的面积等于边长×边 9.210.D11.1012.510 长，求边长增加20%后面积增加了多少。 3.20 13.101527 …·115… 4.B 解答：50×35×100=175000(cm3) 【解题关键】正方形的面积和圆的面积计算。 175000cm3=175dm3 【思路妙解】设周长为x,正方形的面积= 问题2：废弃口罩消毒回收机的表面积是多少平 (-圆的面积= 方分米？ 2m/ 4n,正方形的 解答：(50×35+50×100+35×100)×2= 面积：圆的面积三64 -=T<1,所以圆的面积 20500(cm2) 4 20500cm2=205dm2 大于正方形的面积。 专题31立体图形一圆柱和圆锥 【名师点拨】正方形和圆的周长相等时，圆的面 1.C 积大。 2.628 5.396.84.787.98cm28.5.759.7.4575 【解题关键】圆柱的表面积。 10.10.2611.3012.200.9613.165 【思路妙解】如果截成两个小圆柱形木料，表面 14.28.5cm2 积相当于增加了两个底面积；截成两个半圆柱形 【解题关键】根据位移割补的方法求面积。 木料，表面积相当于增加了两个长方形的面积。 【思路妙解】如图，连 157+300÷2×3.14=628(cm2)。 接OC,把下面的涂 【名师点拨】圆柱的表面积=底面积×2+侧面 色部分平均分成了2 积，圆柱的体积=底面积×高。 部分，然后利用位移 3.56.524.66.28 割补的方法，分别移 5.3140 动到图中划线部分，那么涂色部分的面积就 【解题关键】根据题意求出圆柱的底面半径。 是图中扇形OAB的面积减去直角三角形 【思路妙解】长方体的底面周长比圆柱的底面周 A0B的面积。即}×3.14×102-7×10× 长增加了20厘米，增加的是2r,圆柱的底面半径 10=28.5(cm2)。 为20÷2=10（厘米），再利用圆柱的体积公式代 【名师点拨】通过割补的方法可以将不规则图 入数据，圆柱的体积为3.14×102×10=3140（立 形转化为规则图形。 方厘米)。 15.4416.12017.8 【名师点拨】把圆柱切开拼成一个近似的长方 18.根据沙漏模型的比例关系，得SAOD:S△AoB= 体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体 2:3,ScOD:SA0n=2:3。设△C0D的面积为4 的体积等于圆柱的体积。 份，则△AOD和△B0C的面积均为6份，△AOB 6.125.6 的面积为9份，总面积为50,1份对应的面积为 7.3x3.14×(2÷2)×6×2+3.14×(2÷22×15正 2,则△A0B的面积为18。 专题30立体图形—一长方体和正方体 59.66(cm3) 1.3108722.1501253.574.不变 专题32立体图形综合 5.80×80×80÷20=25600(厘米) 1.(1)(4+7)×3÷2=16.5(cm2) 1 6.148cm1 (2)3.14×32×4+3×3.14×32×(7-4)= 【解题关键】长方体体积的计算。 141.3(cm3) 【思路妙解】宽×高：40÷2=20(cm2) 2.20+5=25(厘米) 长×高：90÷3=30(cm2) 长×宽：96÷4=24(cm2) 500×25 0 400(立方厘米)=400（毫升） 面积：(30+20+24)×2=148(cm2) 3.(1)432 【名师点拨】长方体的表面积=（长×宽+长× (2)3.14×(10÷2)2×2.5=196.25(cm3) 高+宽×高)×2；长方体的体积=长×宽×高。 4.1:4 7.9 【解题关键】利用设未知数的方法表示出两个金 8.(答案不唯一)问题1：废弃口罩消毒回收机的体 属块的体积。 积是多少立方分米？ 【思路妙解】设第二次溢出的水的体积为3a,第 ·116 一次溢出的水的体积为a,这个圆柱形金属块的 实际体积为3a+a=4a,这个圆锥形金属块与这 个圆柱形金属块的体积比是a:4a=1:4。故答 案为1：4。 【名师点拔】第二次放入圆柱形金属块时，容器 内的水是不满的，差了一个圆锥形金属块的 体积。 5.(1)B(2)20 (3)48×25×(24-20)=4800(立方厘米) 4800÷3÷16=900(平方厘米) 【解题关键】根据折线统计图的特点从图中获取 数据，灵活运用长方体和圆锥的体积公式解决 问题。 【思路妙解】(1)根据题中左图可以看出，从点 B的位置开始，线段的倾斜度开始变化，代表水 面高度上升的速度变化，表示停止注水。(2)注 水时间：8时3分-8时=3分，注水量：3×8= 34(立方分米)=24000（立方厘米），那么玻璃缸 水面的高度是24000÷48÷25=20（厘米）。(3)》 从点B到点C增加的水的体积就是圆锥形铁块 的体积。圆锥形铁块的体积=容器的底面积× 水面上升的高度，圆锥形铁块的底面积=体积÷ 子÷高，据此解答。 【名师点拨】测量物体体积时经常用到浸没的方 法，水面上升的体积等于物体的体积。 6.8×8×5=320(立方厘米) 新考法·创新婴专练 球的体积：号×3.14×(13÷2)3=149.76（立方厘米） 3.14×(13÷2)2×13≈1724.65（立方厘米） 1724.65-1149.76=574.89(立方厘米) 574.89立方厘米=574.89毫升 【解题关键】根据给出的公式算球的体积。 【思路妙解】根据圆柱和球的体积公式算出体积， 再用杯子的体积减去冰球的体积，差即为最多能往 杯子中倒入且不溢出来的饮料量。 【名师点拨】圆柱容球时，球的体积是圆柱体积的 三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之 二。冰球的体积占了杯子体积的三分之二，最多能 往杯子中倒入且不溢出来的饮料的量只占杯子的 三分之一。 专题33方向与位置、图形的展开与折叠、 三视图、染色问题 1.D2.(1)1:10000(2)350(3)B 3.B 11 【解题关键】正方体平面展开图的特征及应用。 【思路秒解】根据正方体的表面展开图的情况， 把表面展开图还原成一个正方体来分析，上面的 白色三角形的顶点与下面的黑色三角形的顶点 是相对的，左边的白色三角形的顶点与右边的黑 色三角形的顶点是相对的。一共有四个白色正 方形的面，在同一角度不能同时看到三个白色正 方形的面，所以结合平面图形分析B是正确的。 【名师点拨】正方体展开图分4种类型，11种情 况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律 的，可以动手操作帮助记忆。 4.高：(11-7)÷2=2(cm) 体积：5×7×2=70(cm3) 表面积：(5×7+5×2+7×2)×2=118(cm2) 5.底面半径：25.12÷3.14÷2=4(cm) 体积：3.14×42×5=251.2(cm3) 6.9 【解题关键】从不同角度观察立体图形，分析立 体图形的摆法。 【思路妙解】从左面和前面看到的形状可得出这 个模型有三层三列三行。结合从上面看到的形 状可得出这个模型第一层第一行有2列，第二行 有3列，第三行有1列；第二层的第一行和第二 行只有中间有1列，第三层的第一行只有中间有 1列。所以2+3+1+1+1+1=9（个）。所以该 模型共由9个小正方体拼成。 【名师点拨】结合三视图确定图形有几行几列几 层，再分别确定每个位置的个数，最后相加求得 需要的正方体个数。 7.7 8.(1)不存在(2)存在，四棱锥(3)不存在 9.从上面看：4×4=16(m2) 从侧面看：(1+2+3+4)×4=40(m2) 一共：40+16=56(m2) 专题34图形的操作与变换 1.B2.C 3.(1)见下图(1,10)(2)见下图 （3)见下图(4)见下图（答案不唯一） 1厘米 2 11 10 9 5 10111213141516171819202122232425 4.12:08:51 形的特点，可以判断应分为下图的三部分。 5.100 【解题关键】梯形的面积和三角形的面积计算。 【思路妙解】题中，图1中两个小三角形部分向内 翻折，得到图2，图2比图1的面积少了两个小三 角形面积和的一半（每个小三角形的高没变，底 模块七统计与概率 是原来底的一半)，即20÷2=10(cm2),又有图2 专题35统计图、表 的面积相当于图1的。，即可算出图1的面积， 1.B2.(1)三250(2)210(3)37.5 (20÷2)÷(1-名)=60（平方厘米），原梯形的 3.(1)1253(2)上升第二 (3)190(答案不唯一，合理即可) 面积等于图1面积的2倍减去两个小三角形的 4.（1)共调查学生：80÷40%=200（名） 面积和，即60×2-20=100（平方厘米）。 “了解较少”的学生：200-64-80-16=40（名） 【名师点拔】图形的翻折过程中会产生隐藏条 (补全统计图略) 件，翻折前后的线段相等，角相等。 (2)“很了解”的学生：800×32%=256（名） 6.D “比较了解”的学生：800×40%=320（名） 256+320=576(名) 5.(1)“掷实心球”项目总人数：400+600=1000 “跳绳”项目的女生人数：1000÷2-260=240 (2)达到“优秀”的是投篮项目。 【解题关键】图形的分割与剪拼。 (3)取消投篮项目，因为这个项目男生和女生的 【思路妙解】第一个图形一共有6个正方形和2 成绩都很不错，考评的意义不大；取消跳绳项目， 个三角形，要分成完全相同的两部分，每一部分 因为这个项目男生和女生的成绩都比较差，考评 都要有3个正方形、1个三角形。第二个图形一 的意义也不大。（答案不唯一）》 共有7个正方形和2个三角形，因为正方形的个 【解题关键】平均数的计算。 数是奇数，所以有一个正方形被分成相同的两 【思路妙解】立定跳远、游泳和跳绳这三项男、女 块，按照对称原则从对角线分开。第三个图形一 生平均成绩都小于9，总平均成绩肯定小于9；投 共有6个正方形和6个三角形，分成的两部分每 篮的男、女生平均成绩都大于9，总平均成绩必 部分都要有3个正方形、3个三角形，因为最上 定大于9；掷实心球的平均成绩：400×9.2+ 面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以 600×8.7=8900(分)，8900÷(400+600)= 右下方的两个三角形不能分开，再根据对称原则 8.9(分)；综上，达到“优秀”的是投篮项目。 将图形分开。 【名师点拨】在多组数据中，若每组数据的平均 【名师点拨】注意分割完成后检查图形的形状、 数都小于（或都大于）一个数，则这些数据的总 大小是否完全相同。 平均数都小于（或都大于）一个数。 8.如图，取AB、AC的中点分别为D、E,首先连接 专题36可能性 DE,将△ADE沿DE剪开，再绕点E按顺时针方 1.(1)不可能(2)可能(3)一定 (4)可能 向旋转180°。如下图： 2红黄红黄3品 4.春春春江花花月月夜夜 5.不公平，对小可更有利。理由略。 6.他们获胜的可能性相等。理由略。 新考法·创新题专练 专题37变量间的关系 平面图中一共有18个小方格，要求分割成完全相 1.262.A 同的三块，每一块有18÷3=6（个）小方格，再由图 3.(1)250010 …118……专题30立体图形—长方体和正方体(5年101考) 1.(2025海南海口)（★☆☆）一个长方体的棱长总和是52厘米，长是6厘米，宽是4厘 米，高是 厘米，表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。 2.(2024湖南株洲)（★☆☆）一个正方体的棱长总和为60厘米，这个正方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。 3.(2024山东烟台)（★★☆）如图，一个长7分米、宽4分米、高2分米的木箱，用铁丝捆起来，每 个打结处要用1分米长的铁丝，捆这个木箱一共需要 分米长的铁丝。 报 第3题图 第4题图 4.(2025湖北武汉)（★☆☆）如图，用8个1立方厘米的小方块拼成一个大正方体。如果拿去 1个小方块，那么它的表面积与原来的表面积相比较， 。(填“变大”“变小”或 “不变”) 5.(2025浙江杭州)（★★☆）有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截 面面积是20平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？ 蜜 答题区 6.(2025广东广州)（★★☆）一个长方体，如果长增加2cm,则体积增加40cm;如果宽增加 3cm,则体积增加90cm3;如果高增加4cm,则体积增加96cm3。原长方体的表面积 为 7.(2024河南安阳)（★★☆）“泥叫叫”又名“娃娃哨”，是一种传统的民间工艺品。王叔叔准备 母 了一块棱长为6c的正方体泥巴做泥叫叫，为了便于创作，王叔叔将正方体泥巴捏成了底面 积是24cm2的长方体泥巴，捏成的长方体泥巴的高是 cmo 8.(2025江苏苏州)（★★☆）某医院为每栋楼安置了废弃口罩消毒回收机（如图）。回收机的长 是50cm,宽是35cm,高是100cm。请你自己提出一个数学问题，并解答出来。 舞 废弃口罩消毒回 100cm 机 答题区 35cm 50 cm …41… 专题31立体图形一圆柱和圆锥 考点1圆柱表面积(5年25考)⑨ 1.(2025四川成都)（★☆☆）下面图( )是一个圆柱的展开图。 6 cm 6 cm 6cm 6 cm 9.42 cm 4cm 24 cm 18.84cm 4 cm 28.26cm 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm B D 2.(2024安徽合肥)（★★☆）一段圆柱形木料，如果截成两个小圆柱形木料，它的表面积增加了 157cm2,如果沿着底面直径截成两个半圆柱形木料，它的表面积增加了300cm2,原来圆柱形 木料的表面积是 cm2。 √考点2圆柱、圆锥的体积(5年131考)⑨ 3.(2024江苏苏州)（★☆☆）把一个棱长是6分米的正方体木料削成一个最大的 圆锥，这个圆锥的体积是 立方分米。 4.(2024广东广州)（★★☆）一个圆柱和圆锥的高相等，底面半径都是1分米，它们的体积和是 25.12立方分米。圆柱的高是 分米，圆锥的体积是 立方分米。 5.(2025江苏扬州)（★★☆）把一个高是10厘米的圆柱底面分成16等份，然后沿着高把这个圆 柱切开，拼成一个和它体积相等的近似的长方体，这个长方体的底面周长却比圆柱的底面周 长增加了20厘米。原来这个圆柱的体积是 立方厘米。 6.(2024湖南长沙)（★★☆）把一根1米长的圆柱形木料沿底面直径切割成两个完全一样的半 圆柱形木料后，表面积增加了80平方分米，这根圆柱形木料的体积是 立方分米。 7.(2024安徽合肥)（★☆☆）计算下面图形的体积。 2 cm ←-6cm 15cm 6 cm 答题区 ·42… 专题32立体图形综合 √考点1规则立体图形(5年35考) 1.(2024江苏苏州)（★★☆）根据图中提供的信息解答下面的问题。 (1)这个直角梯形的面积是多少平方厘米？ (2)如果以AB边为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 4 cm 答题区 B 3cm C 考点2不规则立体图形(5年7考)⑨ 考向1等体积转换 2.（2025福建厦门)（★★☆）一种饮料瓶的容积是500立方厘米，正放时瓶中的饮料 高20厘米，倒放时空余部分高5厘米，瓶中的饮料有多少毫升？（见下图） cm 20 cm 答题区 3.（2025四川成都)（★★☆）歙(shè)砚为中国四大名砚之一，有“发墨养毫贮墨久而不涸”的特点。 如图，李师傅用一块长方体石料先凿出一个最大的圆柱，再将圆柱凿制成一方深2.5cm的歙砚台。 12 cm 10 cm Th=2.5 cm 12 cm 12 cm (1)这块长方体石料的体积是( )cm3。 (2)这方歙砚台的容积是多少立方厘米？ 答题区 考向2浸水问题 4.(2025天津和平)（★★☆）一个装满水的圆柱形容器，第一次将一个圆锥形金属块浸没在水 中，然后取出这个圆锥形金属块，第二次将一个圆柱形金属块浸没在水中，第一次溢出的水的 体积是第二次的}。这个圆锥形金属块与这个圆柱形金属块的体积比是 …43… 5.(2025江苏南京)（★★☆）一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有 一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为8立方分米/分，8：03关闭水管停止注 水。接着将一个高为16厘米的圆锥形铁块浸没水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块 的变化情况如图所示。 水面高度厘米 30厘米 24 学 25厘米 48厘米 8:00 8:04时间 (1)上图中，点( )的位置表示停止注水。（填字母） (2)8:03玻璃缸水面的高度为()厘米。 (3)请列式计算，求出圆锥形铁块的底面积。 答题区 6.（2025重庆渝中)（★★☆）有一个长方体容器，它的底面是边长为8厘米的正方形，它的高为 16厘米，向容器中注水，使水面距容器口2厘米。把一个球形铅块放入容器中后，有部分水溢出。 当把这个铅块取出后，水面距容器口有5厘米。求球形铅块的体积。（容器厚度忽略不计) 答题区 新考法·刻新黔专练 (数学文化)（★★☆）古希腊著名数学家阿基米德的墓碑上刻了“圆柱容球”几何 图形，这是他众多发现中最为满意的定理。小明学习了圆柱和球的知识后非常好奇，这天他 在喝饮料时往杯子里放了一个冰球，已知杯子是圆柱形的，盖上盖子后，冰球恰好与杯子的上 面、侧面和底面紧密接触。已知杯子的底面直径是13厘米，你能帮小明求出他最多能往杯子 4 里加人多少毫升饮料且溢不出来吗？(V=3,得数保留两位小数) 答题区 …44…