专题17～20 容斥原理等-2026版小升初数学名校真题分类试卷

专题17容斥原理 考点1两量容斥(5年15考) 考向1求总量 1.(2025江苏南京)（★☆☆）三(1)班的同学参加了小小志愿者活动。周六下午有 23人参加活动，周日下午有20人参加活动，两天下午都参加活动的有5人。参加小小志愿者 活动的一共有 人。 报 考向2求重复分量 2.(2024陕西西安)（★★☆）三(1)班45名学生都参加了这次语文、数学两门学科的期末测验， 其中语文获优秀的有31人，数学获优秀的有27人，两门学科都优秀的至少有 人。 考向3求不重复分量 3.(2025河南郑州)（★☆☆）学校组织同学报名参加活动，光明小学五(1)班有44名同学。参 加音乐活动的有36人，参加美术活动的有31人，两种活动都参加的有25人，也有同学两种活 动都没有参加，都没有参加的同学有 名。 4.(2024陕西西安)（★☆☆）某班有36名同学，在一项测验中，答对第一题的有25人，答对第二 题的有23人，两题都答对的有15人。有多少名同学两题都答得不对？ 量 答题区 考点2三量容斥(5年9考) 考向1求三量均重复部分 视 5.(2025云南昆明)（★★☆）边长为6、5、2的三个正方形， 舜 如图所示，它们盖住部分的面积是 考向2求三量均不重复部分 6.(2025河南郑州)（★★★）某学校六年级兴趣班有50人，共有三个科技兴趣小组：天文、无线电和 计算机。参加天文组的有38人，参加无线电组的有35人，参加计算机组的有31人，既参加天文组 又参加无线电组的有29人，既参加天文组又参加计算机组的有28人，既参加无线电组又参加计算 机组的有26人，三个科技兴趣小组都参加的有24人，求三个科技兴趣小组都没有参加的人数。 答题区 …25… 专题18鸡兔同笼问题(5年24考) 1.（2025陕西西安)（★☆☆）晓晓有1元和5元的人民币共10张，合计38元，则1元 的人民币有张。 2.(2024广东广州)（★☆☆）某社区为了更好地开展垃圾分类工作，规定每次正确投放垃圾获 得10个积分，错误投放倒扣5个积分。塘塘家4月一共投放垃圾30次，累计活动积分240 个，他家这个月正确投放垃圾 次。 3.(2024河南洛阳)（★★☆）活动课上有30个同学在12张乒乓球桌上同时进行乒乓球单打和双打 比赛，其中正在进行单打比赛的乒乓球桌有 张，进行双打的乒乓球桌有 张。 4.（2025河北石家庄)（★★☆）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和 豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如表所示： 品名 西红柿 豆角 批发价（元/kg) 1.2 1.6 零售价（元/kg)》 1.8 2.5 他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？ 答题区 新考法·创新题专练 (新情境)（★★☆）爱心人士开展“助农”直播活动，橙子促销价为每箱60元，荔枝促销价为每箱 80元。开播1小时后两种水果共卖出200箱，共收入12800元，共卖出多少箱橙子？ 方法一：60×(200-x)+80x=12800。 方法二：用“鸡兔同笼”策略来解决，先假设卖出的全是橙子。 (1)方法一是用方程解，请将下面内容补充完整。 解：设( )。 等量关系式是( )。 (2)根据方法二，列式计算。 答题区 。·26… 专题19植树问题 /考点1两端都种(5年7考)⑨ 1.(2024湖南长沙)（★☆☆）路边等距离栽树（如图），第1棵树与第100棵树相 距 米。 8m 8m 2.（2024浙江宁波)（★★☆）把一些规格相同的杯子叠起来，如图， 4个杯子叠起来高15厘米，6个杯子叠起来高19厘米。那么9个 15厘米 19厘米 杯子叠起来高多少厘米？n个杯子呢？ 答题区 考点2一端种一端不种(5年9考)⑨ 3.(2025贵州贵阳)（★☆☆）绿化队要在一条50m长的小路两边栽树，每隔5m 栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽()棵树。 A.10 B.20 C.22 D.18 4.(2024河南郑州)（★★☆）25名同学在老师画好的圆形场地上玩“抢板凳”游戏（板凳沿圆形 摆一圈，且间隔相等)。开始时，相邻两个板凳的间隔是0.5米，玩了一会儿，有14名同学被淘 汰，剩下的同学继续玩，现在相邻两个板凳的间隔是 米。（注：“抢板凳”游戏中，板凳 数=人数-1) 考点3两端都不种(5年8考)⊙ 5.(2025湖北武汉)（★☆☆）将一根木棒锯成4段需要12分钟，则将这根木棒锯成 6段需要( )分钟。 A.12 B.15 C.18 D.20 6.(2024江苏苏州)（★★☆）一张纸条长36厘米，先从左端起每隔3厘米点一个点，再从左端起 每隔4厘米点一个点，纸条的两端都不点，最后纸条上一共有 个点。 7.（2025福建厦门)（★★☆）厦门海沧大桥是一座典型的悬索桥，也是我国第一座特大型三跨 吊钢箱梁悬索桥。主桥主跨区一侧的两个桥塔之间共有53个吊索，桥塔和吊索、吊索和吊索 之间的距离都相等，约是12米。厦门海沧大桥主桥的主跨区全长大约多少米？ 答题区 …27· 专题20平均数问题(5年89考) 1.(2024山东青岛)（★☆☆）小刚上学期期末测验语文、数学两门课的平均成绩是 87分，数学、英语两门课的平均成绩是93分，他的英语成绩比语文成绩多 分。 2.(2025山东济南)（★★☆）某班女生人数是男生人数的子，男生平均体重是35千克，女生平均 体重是32千克，该班全体同学的平均体重是 千克。 3.(2024河南郑州)（★★☆）甲、乙、丙三数的平均数是35，甲、乙两数的平均数是29，则丙数 是()。 A.50 B.48 C.47 D.46 4.(2024河南洛阳)（★★★）一次测验，统计出甲、乙两人的平均成绩是360分，乙、丙两人的平 均成绩是310分，丙、甲两人的平均成绩是330分，甲、乙、丙三人各得多少分？ 答题区 5.(2025河南洛阳)（★★★）有甲、乙、丙、丁、戊五个数，甲是86，乙比五个数的平均数少9，丙是 89,丁比五个数的平均数多4，戊比丁多2，戊是多少？ 答题区 6.(2025河北衡水)（★★☆）下表是小丽在迎“六一”歌咏大赛中，七位评委的打分情况。 评委 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 分数 9.8 9.7 9.6 9.3 9.6 9.9 9.6 (1)这组数据的平均数是 （得数保留两位小数) (2)如果按照“去掉一个最高分，去掉一个最低分”计算平均分数，小丽的最后得分 是 0 7.(2025山东青岛)（★★☆）甲、乙、丙三人一共买了5块巧克力慕斯，甲付了3块巧克力慕斯的 费用，乙付了2块巧克力慕斯的费用，丙没有付钱。三人将所有巧克力慕斯平均分配吃完之 后，丙给了甲30元，丙应该给乙()元。 A.8 B.4 C.3 D.7.5 ……28·2解[号×得+*刘-号+告号 =方 2:[×传+*刘l=3 5.（1)解：设每辆车上有x个座位。 5x+10=6x-32 号x得+*刘品×号 x=42 (2)5×42+10=220(名) 8×传+*刘-的+日 6.解：设五年级有x名学生参加活动。 13 633 8+★=10×8 (1+4}x=240x=192 59 7.解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元。 ★=80 r5x+3y=348 专题11新定义 3x+2y=216 解得/：48 y=36 1.1435492.233.164.55 8.解：设小长方形的宽为x,长为y。 8 5x=3y 5.4△1=3×4-2×1=10 ly+1=2x 解得：=3 ly=5 x△(4△1)=x△10=3x-2×10=3x-20 新考法·创新题专练 3x-20=7x=9 1.解：设该市去年上半年的国内旅游收人是 新考法·创新题专练 x亿元。 3x+13.12=337.24 x=108.04 2.(1)小恒(V)小荣(×) 专题12列方程解决问题 1.王娟每分钟录入的字数×2+王娟和李丽一起录 (2)将“东东邮票数量的号和明明郎票数量的4 入的时间×（王娟每分钟录入的字数+李丽每分 相等”转化为“东东邮票数量与明明邮票数量的 钟录入的字数)=总字数 比是3：4”或“东东邮票数量是明明邮票数量的 85×2+(85+95)x=2870 2.B ”,根据东东和明明的邮票数量之间的关系，可 3. (?)棵 以求出东东有56÷(3+4)×3=24（枚）邮票，明 原计划C 明有56÷(3+4)×4=32（枚）邮票。 比原计划多 （20)% (3)解：设东东有x枚邮票，则明明有(56-x)枚 实际 邮票。 （720)棵 日=4(56- 原计划培育桃树苗(1+20%) x=24 解：设原计划培育桃树苗x棵。 56-24=32(枚) (1+20%)x=720x=600 东东有24枚邮票，明明有32枚邮票。 【解题关键】弄清题意，找出合适的等量关系。 【思路妙解】根据题意可知：把原计划培育的桃 模块四常见典型应用题 树苗看作单位“1”，比原计划多20%，即实际培 专题13归一、归总问题 育桃树苗的棵数是原计划的(1+20%)，根据 1.182.930÷30×90=2790(个)3.39 “原计划培育桃树苗的棵数×(1+20%)=实际 4.（从上往下)1218 培育桃树苗的棵数”代入数值，列式解答即可。 5.(1)40×3=120(千米) 【名师点拨】“比原计划多20%”即实际培育桃树 (2)120÷2=60(千米) 苗的棵数是原计划的(1+20%)。 专题14和差倍问题 4.解：设田叔叔现在乘坐地铁上班需要x小时。 1.1602.(390-30)÷2÷3=60(页)3.40 3x-1=5 4.梯形的上底、高：40÷(1+1+2)=10（米） 6=6 梯形的下底：10×2=20（米） ·111… 梯形的面积：(10+20)×10÷2=150（平方米） 数里面包含了三个科技兴趣小组都参加的人数， 5.B 上面的算式相当于把每个科技兴趣小组都参加 6.两条绳子差：148-100=48（分米） 的人数减去了两次，这时人数为21+24=45，要 第二根绳子剩下：48÷(3-1)=24（分米） 再加上三个科技兴趣小组都没有参加的人数即 第一根绳子剩下：24×3=72（分米） 为全班人数，由此可知三个科技兴趣小组都没有 专题15年龄问题 参加的人数是50-45=5。 1.552.C3.45 【名师点拨】参加天文组、无线电组和计算机组 4.张师傅今年的年龄：(99+3)÷2=51（岁） 的人数之和，减去参加了两项的人数，加上三个 王师傅今年的年龄：99-51=48（岁） 科技兴趣小组都参加的人数，最后再加上三个科 5.246.6 技兴趣小组都没有参加的人数即为全班人数。 7.解：设2024年孙子x岁，则爷爷10x岁。 专题18鸡兔同笼问题 10x+12=4(x+12)x=6 1.32.263.93 6+1=7(岁) 4.假设40kg都是西红柿，则 8.36 豆角：(60-40×1.2)÷(1.6-1.2）=30(kg) 【解题关键】仔细审题，找出各个量之间的关系。 西红柿：40-30=10(kg) 【思路妙解】设今年甲、乙、丙三名学生的年龄分 (1.8-1.2)×10+(2.5-1.6)×30=33(元) 别为x岁、y岁、z岁，则老师今年的年龄是 新考法·创新题专练 （x+y+z)岁；根据“9年后，老师的年龄为甲、乙 (1)共卖出x箱荔枝 两名学生的年龄和”可知x+y+z+9=(x+9)+ 卖橙子的收入+卖荔枝的收入=总收人 (y+9),等号两边同时减去x+y+9可得z=9, (2)12800-60×200=800(元) 即今年丙的年龄是9岁；再根据又过了3年，也 800÷(80-60)=40(箱) 就是12年之后，老师的年龄为甲、丙两名学生的 200-40=160(箱) 年龄和，可以求出今年乙的年龄是12岁；同理求 共卖出160箱橙子。 出今年甲的年龄是15岁，那么老师今年的年龄是 专题19植树问题 9+12+15=36(岁)。 1.792 【名师点拔】方程的两边同时加上或减去同一个 2.(19-15)÷(5-3)=2(厘米) 数，等式仍然成立。 15-3×2=9(厘米) 专题16排列组合 9+(9-1)×2=25(厘米) 1.32.63.C4.B5.C6.87.208.7 9+(n-1)×2=(2n+7)(厘米) 9.B 即9个杯子叠起来高25厘米，n个杯子叠起来高 专题17容斥原理 (2n+7)厘米。 1.382.133.24.36-(25+23-15)=3(名) 【解题关键】本题考查植树问题的灵活应用，先 5.53 求出1个间隔的高度和1个杯子的高度是解答 6.解：设三个科技兴趣小组都没有参加的人数 本题的关键。 是x。 【思路妙解】根据题图可知，1个杯子的高度+3个 (38+35+31-29-28-26+24)+x=50 间隔的高度=15厘米；1个杯子的高度+5个间隔 x=5 的高度=19厘米，两个式子相减，可求出1个间 则三个科技兴趣小组都没有参加的人数是5。 隔的高度和1个杯子的高度；9个杯子叠起来的 【解题关键】厘清参加天文组、无线电组和计算 高度=1个杯子的高度+8×1个间隔的高度；n 机组的人数之和又包含三个料技兴趣小组都参 个杯子叠起来的高度=1个杯子的高度+ 加的人数。 (n-1)×1个间隔的高度。 【思路妙解】参加天文组、无线电组和计算机组 【名师点拨】植树问题的三个公式：距离÷间隔 的人数总和为38+35+31=104，里面包含参加 长+1=棵树（两端都种）；距离×间隔长=棵树 了两项的人数，减去参加两项的人数，这时人数 （只种一端)；距离÷间隔长-1=棵树（两端都 为104-29-28-26=21，又因为参加两项的人 不种)。 。。112。· 3.B4.1.25.D6.17 7.(53+1)×12=648(米) 专题20平均数问题 1.122.33.83.C 4.360×2=720 310×2=620 330×2=660 (720+620+660)÷2=1000 丙：1000-720=280（分） 甲：1000-620=380（分） 乙：1000-660=340（分） 5.4+2+4-9=1(86+89+1)÷2=88 88+4+2=94 6.(1)9.64(2)9.66分7.D 专题21盈亏问题 1.2730 2.解：设计划租客车x辆。 45x+15=60x-60x=5 总人数：60×5-60=240（人） 45座客车平均每人每日租金：250÷45-公（元) 60座客车平均每人每日租金：300÷60=5（元） 5<9,所以多租60座客车，且要尽量坐满更 合算。 240÷60=4(辆) 所以，租4辆60座客车更合算。 3.20137 4.解：设租了x条船。 4x+3×4=6x-2x=7 6×7-2=40(人) 所以师生们共有40人，租了7条船。 5.若每间都住3人，剩：5×(4-3)+4=9（人） 若每间都住5人，差：3×(5-4)=3（人） 房间数：(9+3)÷(5-3)=6（个） 总人数：6×3+9=27（人） 专题22抽屈原理 1.42.83.1021 4.这种说法对。 理由：一年有12个月。 13÷12=1(份)…1（份） 1+1=2(份) 所以至少有2份报纸是同一个月的。 5.(1)52÷4+1=14(张) (2)4+1=5(张) ·11 (3)4+1=5(张) (4)52÷4×3+2=41(张) 新考法·创新婴专练 n的最小值是9。 【解题关键】每个120°的扇形都覆盖了4个字母， 可以列举出所有的覆盖4个字母的组合，然后从这 些组合中找出可以覆盖12个字母的情况。 【思路妙解】每个扇形覆盖4个字母的情况可能是 第一组：(A,B,C,D),(E,F,G,H),(I,J,K,L)； 第二组：(B,C,D,E),(F,G,H,I),(J,K,L,A); 第三组：(C,D,E,F),(G,H,I,J),(K,L,A,B); 第四组：(D,E,F,G),(H,I,J,K),(L,A,B,C)。 共12种组合。如果可以从n个扇形中找出处在同 一组的三个组合，那么就可以覆盖转盘的12个字 母；2×4=8（个），8+1=9（个），所以n的最小值 是9。 【名师点拨】本题考查的是最不利原则：不符合要 求的最大数量+1=符合要求的最小数量。 专题23推理问题 1.0 2兴趣小组类型电脑 足球篮球象棋 元元 × × × 小红 × X X V 乐乐 V X × × 奇奇 × X / X 足球象棋电脑篮球 3.北京律师 4.(30+31+32+…+58+59)×3=4005(分) 4806-4005-88-85-80=548(分) 548-3×79-3×78=77(分) 3+3+3+1=10(名) 在这次比赛中得分不低于60分的学生至少有10 名。 【解题关键】本题是求“至少”的问题，找到满足 “至少”的条件是解题的关键。 【思路妙解】低于60分的学生最多占去的分数： (30+31+32+…+58+59)×3=4005(分)，除去 低于60分的及前三名学生的得分，还有4806一 4005-88-85-80=548(分)，再从这548分中依 次去掉3个79分和3个78分，得77分，这说明得 79分的有3人，得78分的有3人，得77分的有1 人，再加上前三名学生，共10人得分不低于60 分，即不低于60分的学生至少有10人。 【名师点拨】此题关键在于先减去前三名及最低 分还剩余的分数。使不低于60分的人数尽可能 少，则让低于60分的人尽可能多且高于60分的 3.(1)60(2)5n(3)可以，和为100时求出正中 分数尽可能高。 间的数为20，观察月历表可知，这种情况是存 专题24牛吃草问题 在的。 1.设每头牛每周吃“1”份草。 【解题关键】观察月历表，利用月历表行与行、列 每周增加的草量： 与列之间的规律解题。 (23×9-27×6)÷(9-6)=15(份) 【思路妙解】(1)当正中间的数为12时，框中的5 原有的草量：27×6-15×6=72（份） 个数分别为5,11,12,13,19，用加法求出这5个 吃一周的牛头数：(72+15)÷1=87（头） 数的和。(2)当正中间的数为n时，n上面的数 2.设每头牛每天吃“1”份草。 为(n-7),n下面的数为(n+7),n左边的数为 每天减少的草量： (n-1),n右边的数为(n+1),用含有n的式子 (30×8-21×10)÷(10-8)=15(份) 表示出这5个数的和。(3)略。 原有的草量：21×10+15×10=360（份） 【名师点拨】月历表中某个数比上方多7，比下方 可供45头牛吃的天数： 少7，比左侧多1，比右侧少1。 360÷(45×1+15)=6(天) 4.8 3.设每头牛每天吃“1”份草。 5 5.(1)2212(2)12 15头牛8天吃：15×8=120（份） 专题26周期规律、尾数规律、文字描述找规律 15头牛吃了2天，又来了2头牛，总共7天共吃： 1.庚午2.93.4 2×15+(15+2)×(7-2)=115(份) 4.解：设尖顶上有x盏红灯，则下面每层依次有 每天增加的草量：120-115=5（份） 2x、4x、8x、16x、32x、64x盏红灯。 x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381x=3 原有的草量：120-5×8=80（份） 【解题关键】将方程思想和找规律结合起来。 15头牛2天吃：15×2=30（份） 【思路妙解】根据题意可得，一共有381盏红灯， 剩余草量：80+5×2-30=60（份） 共7层，红灯数每向下一层就会增加一倍，所以 又来了5头牛可吃：60÷(15+5-5)=4（天） 尖顶上灯数最少，设尖顶上有x盏红灯，依次表 4.设每头牛每天吃“1”份草。 示出剩余6层的灯数，相加列方程解答即可。 每天增加的草量： 【名师点拨】根据题意列方程解答时要找到关键 (17×30-19×24)÷(30-24)=9(份) 条件，注意每向下一层红灯数会增加一倍。 牧场原有的草量：(17-9)×30=240（份） 专题27图形找规律 草的总量：240+9×(6+2)=312（份） 1.2n(n+1) 牛头数：(312+4×2)÷8=40（头） 2.C 新考法·创新题专练 【解题关键】阅读材料找规律。 (10×20-15×10)÷(20-10)=5(份) 【思路妙解】A项13不是“正方形数”，3和10不 20×10-20×5=100(份) 是两个相邻的“三角形数”，不符合；B项25是 100÷(30-5)=4(时) “正方形数”，9和16不是“三角形数”，不符合；C 【解题关键】变形的牛吃草问题。 项36是“正方形数”，15和21是两个相邻的“三 【思路妙解】此题为牛吃草问题，设每台抽水机每 角形数”，符合；D项49是“正方形数”，18和31 小时抽1份水，算出每小时涌出的泉水，再算出池 不是“三角形数”，不符合。 中原有泉水，把30台抽水机分成两部分，一部分抽 【名师点拨】根据“三角形数”和“正方形数”的定 每小时涌出的泉水，一部分抽原有泉水，原有泉水 义解题，且两个“三角形数”必须是连续的。 抽完的时间即为所求时间。 3.(1)13(2)3n+14.A 【名师点拨】牛吃草问题的关键是找到题中的不变 5 量和变量。 模块五找规律 专题25数字、数式、数表找规律 1.(1)2568192(2)3157(3)64 2.777777777999999999 …114…