专题3 数的整除、余数问题&专题4 因数与倍数-2026版小升初数学名校真题分类试卷

参考 模块一数论专题 专题1数的认识 1.（1)8712(2)八百零七万零一百零二 【解题关键】大数的读法和写法。 【思路妙解】(1)设原密码4个数位上的数字从 左到右分别是a、b、c、d(a、b、c、d都是0~9中的 任意一个数字且a≠0)，则新密码4个数位上的 数字从左到右分别是d、c、b、a。由题意可得： a b cd ×4 ，因此a<3,又因为d×4的末位是 d cb a a,所以a=2,那么d=8,故b=1或2，代入验证 可得b=1,c=7,即小丽家门锁的新密码是 8712。(2)插入3个0后要能读出3个0，即每个 0都要读出，那么3个0不能连续，这个数应为 8070102,按大数的读法读出即可。 【名师点拨】一个四位数乘4还是一个四位数，那 么这个四位数的首位不是1就是2；一个自然数 乘4不进位，那么这个自然数不是1就是2。 2.四千零八十万五千七百四十4081 3.55000649994.900.09 5.4.954.01238 【解题关键】小数的写法。 【思路妙解】已知这个小数的整数部分是4，主 要看小数部分。小数部分各数位上的数字的和 是14且数字各不相同，则最大数应是从十分位 起，往右每个数位上的数字尽量最大，14=9+ 5,即符合条件的最大数是4.95；最小数应是从 十分位起，往右每个数位上的数字尽量最小， 14=0+1+2+3+8,即符合条件的最小数是 4.01238。 【名师点拨】小数大小的比较是从最高位开始 的，求符合条件的最大数时，直接确定十分位是 9;求符合条件的最小数时，确定了前面五个数位 之后，最后只剩下8，所以最后一个数位上是8。 6.700.05 7.90009.09九万零九点零九90009.1 8.-0.757142.5 9.(1)小明小宇0.3(2)1375 。10 答案 10.11号 8 12g 【解题关键】利用分数的性质解决分子变化 问题。 【思路妙解】根据题意，分母不变，分子加上一 个数等于号，分子减去同一个数等于号，可以得 出这两个分数的和是原分数的2倍，所以原分 数是（号+号2-品 【名师点拔】若一个分数的分母不变，分子分别 增加和减少相同的数，则得到的两个新分数之 和是原分数的2倍。 13.9914.20% 15.-2<-0.41<0<+号<25%<136%16.a 17.A=987654321×123456789 =987654321×(123456788+1) =987654321×123456788+987654321 B=987654322×123456788 =(987654321+1)×123456788 =987654321×123456788+123456788 两个算式中都有987654321×123456788，而 987654321>123456788,所以A>B。 【解题关键】把两个数转化成相同的数相乘再 加一个数的情况。 【思路妙解】通过观察可以发现，A与B中的两 个因数只是个位数字不同，因此比较A与B两 个数大小的关键是将A中的123456789分成 (123456788+1),将B中的987654322分成 (987654321+1),再各自应用乘法分配律展开 就可直接进行比较了。 【名师点拨】如果若干组两个数的和相等，其中 两个数相差越小，积越大。 专题2奇数与偶数、质数与合数、 分解质因数 1.n-2n+2m-1m+32.16203.A 4.25.B6.D7.171328.111213 9.6 【解题关键】分解质因数。 5 ，。e 【思路妙解】将252000分解质因数为25×32× 【名师点拨】此题考查数的整除特征，解决此题 53×7,则a=5,b=2,c=3,d=1。组成的三位数 的关键是理解乙、丙、丁取走的总块数是5的 共有4×3×2=24（个）。小于250的数中，首位 倍数。 是1的数有123,125,132,135,152,153，其中能 4.8+9+16+20+22+27=102(千克) 被3整除的数有123,132,135,153；首位是2的 102÷(1+2)=34(千克) 数有213,215,231,235，其中能被3整除的数有 9÷（1+2)=3(千克) 213,231,共有4+2=6（个）。 27÷(1+2)=9(千克) 【名师点拨】将252000分解质因数时，采用短除 即卖出的一筐橘子的质量为9千克或27千克。 法更方便。 若卖出9千克的一筐，则剩下的橘子的质量为 10.37 (102-9)÷3=31(千克)，但在剩下的五个数中 【解题关键】根据在有余数的除法中，被除数、 没有几个数的和是31，不合题意；若卖出27千克 除数、商和余数之间的关系进行分析。 的一筐，此时橘子的质量为(102-27)÷3=25 【思路妙解】2033除以质数a,余数是35，即 (千克)，符合题意。所以质量为9千克、16千 2033÷a=商35，先用“2033-35”求出除数 克、27千克的是橘子，剩下的是香蕉，即有3筐是 和商的积为1998，然后分解质因数：1998=2× 香蕉。 3×3×3×37。当a=2时，商是3×3×3×37= 【解题关键】香蕉的质量是橘子的2倍。 999,不符合条件；当a=3时，商是2×3×3× 【思路妙解】抓住条件“在剩下的5筐水果中香 37=666,不符合条件；当a=37时，商是2×3× 蕉的质量是橘子的2倍”可以得出剩下的5筐水 3×3=54,符合条件。 果的总质量是3的倍数，而原来这6筐水果的质 【名师点拔】解决此类题要根据a是一个质数 量为8+9+16+20+22+27=102（千克），也是 和商是一个两位数排除不符合条件的数。 3的倍数，故卖出的一筐橘子质量也应该是3的 11.819=1×7×9×13=1×3×13×21=1×3× 倍数，在这6筐水果中，质量是3的倍数的有9 7×39 千克和27千克，由此入手即可解决问题。 1+7+9+13=301+3+13+21=38 【名师点拨】初步得出卖出的一筐橘子的质量应 1+3+7+39=50 该是3的倍数，即卖出了9千克或27千克，此时 50>38>30,所以a+b+c+d的最大值是50。 不要盲目下结论，要验证一下结果是否成立。 12.1395=1×3×15×31=1×5×9×31=1×3× 5.76.2448 5×93 7.56 1+3+15+31=501+5+9+31=46 【解题关键】和能被77整除。 1+3+5+93=102 【思路妙解】数由1~9组成，可知无论怎么分，三 46<50<102,所以a+b+c+d的最小值是46。 个数之和首先必为9的倍数，又根据“和能被77 新考法·创新题专练 整除”，可知该和应该为693的倍数。由此分析： (1)31127(2)222倒数2 假设和为693，此种情况不合题意；假设和为 专题3数的整除、余数问题 693×2=1386,由于123+456+789=1368，也不 1.810108180.8102.6 合题意；假设和为63×3=2079，因为1234+56+ 3.31 789=2079符合要求，所以中间一段的数是56。 【解题关键】数的整除。 【名师点拔】一个数各数位上的数字的和是9的 【思路妙解】设丁取走x块，则乙和丙各取走2x 倍数，则这个数就是9的倍数。 块，乙、丙、丁三人共取走5x块，5x是5的倍数， 8.57 则5x的个位是0或5.7+13+24+28+30+31+ 【解题关键】数的整除。 33+40=206(块)。206-7=199（块），206-13= 【思路妙解】在解这道题之前我们先看一个规 193(块)，206-24=182（块），206-28=178（块）， 律：互为反序数的两个九位数的差，一定能被99 206-30=176(块)，206-31=175（块），206-33= 整除。396=99×4，所以我们只用考虑它能否被 173(块)，206-40=166（块），只有175是5的倍 4整除，只有当剪开处两个数字的奇偶性相同时 数，因此甲取走的一盒中有31块糖。 才有可能被4整除。注意图中的具体数字，(3， 。。106…… 8)处、(8,1)处、(1,6)处、(4,9)处、(9,2)处 【思路妙解】 (2,5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定 若一个两位数减去一个一位 不满足，而(6,4)处、(5,7)处、(7,3)处的两个数 数得到一个一位数，则这个两 字奇偶性相同，有可能满足。从(6,4)处剪开 位数的第一位一定是1。 两个九位数的末两位数字之差为94-16=78， 不是4的倍数，不满足题意；从(5,7)处剪开， 两个九位数的末两位数字之差为37-25=12， 是4的倍数，满足题意；从(7,3)处剪开，两个 九位数的末两位数字之差为83-57=26，不是 4的倍数，不满足题意。所以只有从(5,7)处剪 开，所得的两个互为反序的九位数的差才是 同理，推出箭头所指的方框里 的数也是1。 396的倍数。 【名师点拔】n位原序数与n位反序数的差一定 99的倍数(n为奇数时) 是{ 9的倍数(n为偶数时) 判断多位数能不能 被4整除，主要看这个数的末两位数字，若末两 位数字能被4整除，则这个数就能被4整除。 9.0 10.13 再反过来想，一个两位数减去 【解题关键】有余数除法。 一个一位数等于1的情况只 【思路妙解】假设原来房间的号码为x,根据题 有10-9符合，推出箭头所指 意得x需满足：(x-3)÷5为整数与(x-6)÷7 位置是9，圆圈的位置是0。此 为整数这两个条件，在1~30之间满足第一个 时，除数只能是9或者3，又因 10 条件的数有：3,8,13,18,23,28，在这六个数中 满足第二个条件的数为13，所以原来的房间号 为余数是3，则推出除数只能 是9。最后可补全整个竖式。 码为13。 【名师点拨】此题的解题关键是理解题意，抓住 同理可得第二个竖式。 【名师点拨】遇到较为复杂且 3 1~30中，除以5余3的数有3,8,13,18,23,28， 而其中除以7余6的数是13。 未知量较多的竖式题目时，要将数的整除、余数等 11.127÷6=21(组)…1（人），6-1=5（人），所 相关知识牢记于心，从点到面，逐个击破。 以至少再来5人刚好分成整数组；至少减少1 专题4因数与倍数 1.64202.42403.BA 人刚好分成整数组。 新考法·创新题专练 4.36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6 两个数越接近，它们的和越小，所以当两个自然 回回回 回回2 数都是6时，它们的和最小，最小的和是12。 回▣回可回 可▣a回可 5.1326.7 9 9 7.(1)14☆21=42-7=35 10 四o (2)6☆x=[6,x]-(6,x)=27 回 9 由题意可知，(6，x)只能是6或3或2或1。 回② ▣9 当(6，x)=6时，[6，x]=27+6=33,33不是6的 倍数，不成立；当(6，x)=3时，[6，x]=27+3= 回 回8 30,30是6的倍数，成立，此时x=30÷6×3= 3 1 【解题关键】熟练掌握整除和余数问题。 15;当(6，x)=2时，[6，x]=27+2=29,29不是 6的倍数，不成立；当(6，x)=1时，[6，x]=27+ 107… 1=28,28不是6的倍数，不成立。综上可得 【名师点拨】此题的解题关键是理解题意，找到8 x=15。 和12的最小公倍数。 【解题关键】最小公倍数与最大公因数的应用。 2.8 【思路妙解】(1)中14和21的最小公倍数是42， 模块二数的运算 最大公因数是7，代入求差即可。(2)中不能直 专题5四则混合运算 接把数代入表达式求x,只能用推理的方法。因 1.原式=87.3+12.7-58 为6☆x=27,而6与x的最大公因数只能是1、2、 =100-58 3或6，所以6与x的最小公倍数只能是28、29、 =42 30或33。这四个数中，只有30是6的倍数，所 以6与x的最小公倍数和最大公因数分别是30 2.原式=[4.8-0.24÷0.24]÷3.8 和3。所以6☆x=30-3=27,由此求得x=15。 =3.8÷3.8 【名师点拨】解决定义新运算的相关题目需要理 =1 解给出的定义，将其代入算式中计算。 8.16309.1210.817 3原式2-(6×停+引×品图+动 11.150÷10=15(棵)150÷15=10（棵） 2-(名+引留 150÷25=6(棵) 55.21.11 10和15的最小公倍数是30,150÷30=5（棵）； =2-42×6 10和25的最小公倍数是50,150÷50=3（棵）； 15和25的最小公倍数是75,150÷75=2（棵）； =2-× 10、15和25的最小公倍数是150,150÷150= 1(棵)。 -2片 马路一边种树的数量是15+10+6-(5+3+ 品 2)+1+1=23(棵) 两边种树的数量是23×2=46（棵） 79+1 【解题关键】最小公倍数、容斥原理和植树问题 4.原式 18×2+6.23 401516-8 结合。 3-4×5 【思路妙解】要充分理解三个数的最小公倍数 7,1 之间的容斥关系，两两一组求出的最小公倍数 4+6:23 与三个数的最小公倍数是有重复部分的，所以 要日 8 先减去三组数的最小公倍数之后，还要再加上 23 三个数的最小公倍数。 【名师点拨】①注意题干中的“两端都种”，棵 4 3 树=段数+1。②不要忽略题干中的“马路两 23、38 边”，式子的结果要乘2。 12 4×23 新考法·创新题专练 1.24 【解题关键】最小公倍数。 5. > 【思路妙解】此题考查最小公倍数。小齿轮的齿 ×号-2号 数是8，大齿轮的齿数是12，要想打开大门，必须 382_13 5x3-5 顺时针旋转大齿轮，直到细线和粗线重新连接在 7639 一起，所以需要找到8和12的最小公倍数。8和 =1515 12的最小公倍数是24，即听到第24下“嘀嗒”声 37 时大门会打开。 二15 ·108…专题3数的整除、余数问题 /考点1数的整除(5年44考)⊙ 考向12、5、3的倍数特征 1.(2024贵州贵阳)（★☆☆）用0、1、8三个数字组成三位数，其中能被2整除的 最大数是 能被3整除的最小数是 能被2、3、5整除的数是 2.(2025上海杨浦)（★☆☆）一个四位数73，它既是3的倍数，又是5的倍数，这样的四 报 位数一共有 个。 3.(2025河南郑州)（★★☆）如图，现有八个盒子，各盒内装的糖的块数分别为7,13,24,28,30， 31,33,40。甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走。已知乙、丙取到的糖块数相同且 分别为丁的2倍。甲取走的一盒中有 块糖。 7 1324 28 3073173340己 4.(2024重庆渝中)（★★☆）一个水果店进了6筐水果（每筐只装一种水果），分别装着香蕉和 橘子，质量分别为8千克，9千克，16千克，20千克，22千克，27千克。当天只卖出一筐橘子， 在剩下的5筐水果中香蕉的质量是橘子的2倍，当天水果店进的水果中有多少筐是香蕉？ 量 答题区 母 考向2其他数的倍数特征 5.(2025重庆渝北)（★☆☆）若123A5能被55整除，则A= 6.(2024陕西西安)（★★☆）用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，每个数字各用一次，组成三个 能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，那么这三个数的和是 总 7.(2024陕西西安)（★★★）将自然数1~9九个数字依次写在一条纸带上，将它剪成三段，每 段上的数字连在一起看作一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数 是 8.(2024云南昆明)（★★★）将1~9九个数字按如图所示排成一个圆圈，请在 某两个数字之间剪开，分别按顺时针次序和逆时针次序形成两个九位数。如 果要求剪开后所得的两个九位数的差能被396整除，那么应在 和 中间剪开。 …5 考点2余数问题5年30考)⑨ 9.(2025福建福州)（★☆☆）一道除法算式，除数是39，商是一位数，试商后，发现 余数正好和除数相等，将商改正确后，余数一定是 0 10.(2024湖南长沙)（★★★）假设一家旅馆一共有30个房间，分别编号1~30，现在要在每个 房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而 使局外人不容易猜到。现在有一种编码的方法：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数 字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房 间号码除以7所得的余数，那么刻的数是36的钥匙所对应的原来的房间号码应该 是 11.(2025河南开封)（★★☆）六年级有127名同学参加社会实践活动，若分成6人一组，至少再 来多少人刚好分成整数组？至少减少多少人刚好分成整数组？ 答题区 新考法·新恐专练 (新角度)（★★★）补全下面的竖式。 。6。。 专题4因数与倍数 。√考点1直接求最大公因数与最小公倍数(5年17考)⑨ 1.（2025上海静安)（★☆☆）已知a=2×2×3×5,b=2×3×7,那么a、b的最大公 因数是 ,最小公倍数是 2.(2024北京昌平)（★☆☆）20和24的最大公因数是 ,12、16和20的最小公倍数 是 3.(2024江苏苏州)（★☆☆）如果A是B的(A、B是非0自然数)，A和B的最小公倍数是 ,最大公因数是 4.(2025河南郑州)（★★☆）两个自然数的乘积是36，当这两个自然数分别是多少时，它们的和 最小？最小的和是多少？ 答题区 √考点2最大公因数与最小公倍数关系的应用(5年17考)⑨ 5.(2024安徽合肥)（★☆☆）甲、乙两数的积是264，最大公因数是2，它们的最小公 倍数是 6.(2024河南郑州)（★★☆）已知A=2×3×5×n,B=5×7×n,如果A和B的最小公倍数是 1470,那么n= 0 7.(2025四川成都)（★★★）对于两个自然数a和b,定义a☆b为它们的最小公倍数与最大公 因数的差。如：12和8的最小公倍数是24，最大公因数是4，那么12☆8=24-4=20。 (1)求14☆21的值。 (2)已知6☆x=27,求x的值。 答题区 √/考点3最大公因数与最小公倍数的实际应用(5年27考)⑨ 8.(2025江苏南通)（★☆☆）用一张长24厘米、宽20厘米的白纸剪同样大小的正 方形，要求剪后没有剩余。剪成正方形的面积最大是 平方厘米，一共 能剪出 个这样的正方形。 9.(2024陕西西安)（★☆☆）将64个苹果、89个梨、103个橘子都平均分给若干位同学，结果多 了4个苹果、5个梨、7个橘子。分这些水果的最多有 位同学。 10.(2025陕西西安)（★★☆）暑假期间，小明和小军都去参加篮球训练，小明每隔4天去一次， 小军每隔3天去一次，7月28日两人都去参加了篮球训练之后，月 日他们 又一起参加篮球训练。 11.(2024河南开封)（★★★）植树节到了，老师组织同学们在一条长150米的马路两边种树 (两端都种)，同学们分成三组轮流种树，第一组每隔10米种一棵树，第二组每隔15米种一 棵树，第三组每隔25米种一棵树，种过的地方不再种，同学们一共种了多少棵树？ 答题区 新考法·制新恐专练 1.(新题型)（★★☆）探险队在某遗迹发现一扇门，门的开与关由两个齿轮控 制。大齿轮每转过一个齿，都会发出一下清脆的“嘀嗒”声，且大齿轮、小齿轮朝相反方向旋转 (如图①)。关于开门的方法，探险队员做了如下笔记。假设你来到紧闭的大门前，齿轮状态 如图②所示，那么顺时针旋转大齿轮，听到第 下“嘀嗒”声时大门会打开。 笔记内容：I.两个齿轮的齿数不一样。 Ⅱ.两个齿轮上分别有一细一粗两条线，摸上去有凹陷的感觉。 Ⅲ.大门紧闭时，两条线是连接在一起的。 V.细线和粗线重新连接在一起时，大门就会打开。 烷 图① 图② 2.(新题型)（★★☆）小白兔和小灰兔在种满胡萝卜的菜地里比赛，小白兔每次向前跳12cm, 小灰兔每次向前跳14cm,它们一起从起点开始跳，并且跳的次数相同。菜地里每隔16cm有 一根胡萝卜（起点处没有胡萝卜），当它们中的一只第一次吃到胡萝卜时，另一只距离最近的 一根胡萝卜 cmo …8…