1.7正方形 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

1.7 正方形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 正方形的定义 正方形的性质 正方形的判定 知1－讲 感悟新知 知识点 正方形的定义 1 1. 正方形的定义：正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，也可看作是一组邻边相等的矩形，或者有一个角是直角的菱形. 感悟新知 知1－讲 2. 四边形定义间的关系： 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 正方形必备的三个条件： (1) 四边形是平行四边形； (2)有一个角是直角； (3) 有一组邻边相等.三者缺一不可. 2. 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形、特殊的菱形. 知1－练 感悟新知 如图1.7-1，在Rt △ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为点E，F. 求证：四边形BEDF是正方形. 例1 解题秘方：紧扣正方形的定义进行判定. 知1－练 感悟新知 证明：因为DE⊥BC，∠ABC=90°， 所以DE∥ AB. 同理可得DF∥BC， 所以四边形BEDF是平行四边形. 因为BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， 所以DE=DF. 又因为∠ABC=90°， 所以四边形BEDF是正方形. 三者缺一不可 知1－练 感悟新知 方法点拨 利用正方形的定义判定正方形，需先证明四边形是平行四边形或菱形或矩形，然后再证相应的条件，进而证明四边形是正方形. 感悟新知 知2－讲 知识点 正方形的性质 2 1. 正方形的性质： 感悟新知 知2－讲 性质 符号语言 图示 边 四条边都相等 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB=BC=CD=AD 角 四个角都是直角 因为四边形ABCD 是正方形，所以∠BAD =∠ABC =∠BCD =∠ADC=90° 对角线 对角线相等，且互相垂直平分 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ⊥ BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD 感悟新知 知2－讲 性质 符号语言 图示 对 称 性 轴对称图形 四条对称轴： 两条对角线所 在直线，以及 过每一组对边 中点的直线 直线m，n，AC，BD 是正方形ABCD 的四条对称轴 中心对称图形 对称中心：对 角线的交点 AC 与BD 的交点O 是正方形ABCD 的对称中心 知2－讲 感悟新知 特别解读 正方形的特殊性质： 1. 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形. 2. 正方形的面积=边长的平方=对角线平方的一半. 3. 周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 感悟新知 知2－讲 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比： 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 感悟新知 知2－讲 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对 角 线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对 称 性 共性 中心对称图形 特性 轴对称图形 2 条对称轴 2 条对称轴 4 条对称轴 知2－讲 感悟新知 图示 平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们之间的关系如图1.7-2 所示. 知2－练 感悟新知 [中考·广安] 如图1.7-3，E，F是正方形ABCD的对角线BD 上的两点，BD=10，DE=BF，连接AE，AF，CE，CF． 例2 解题秘方：利用正方形的性质证明与计算，不必用到所有的性质，要根据已知条件，结合要证明全等的三角形和要求的线段长，选择必要的性质. 知2－练 感悟新知 (1)求证：△ADE≌△CBF 证明：因为四边形ABCD为正方形， 所以AD=BC，∠ADE= ∠CBF=45°. 在△ADE和△CBF中， 所以△ADE≌△CBF(边角边). 知2－练 感悟新知 (2)若四边形AECF的周长为4，求EF的长． 解：如图1.7-3，连接AC，交BD于点O. 因为四边形ABCD为正方形，BD=10， 所以BD⊥AC，OA=OC=OB= BD=5.所以AF=CF，AE=CE.由(1)知，△ADE≌△CBF，所以AE=CF. 所以AF=CF=AE=CE.因为四边形AECF的周长为4，所以AF= ×4 = .在Rt △AOF中，OF= =3， 所以BF=DE=OB-OF=5-3=2. 所以EF=BD-BF-DE=6. 感悟新知 思路点拨 利用正方形的性质求解线段的长的思路： 利用正方形的性质求解线段的长时，通常将涉及的线段转化到三角形中，然后结合勾股定理或三角形全等，再根据线段的和差关系求解. 知2－练 感悟新知 知3－讲 知识点 正方形的判定 3 1. 正方形的判定方法： (1) 从四边形出发：①四条边相等，三个角是直角的四边形是正方形；②对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形； 感悟新知 知3－讲 (2) 从平行四边形出发：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3) 从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4) 从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 感悟新知 知3－讲 2. 四边形间的关系：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如图1.7-4 所示. 感悟新知 知3－讲 特别解读 常见的判定思路： (1)从边上证明：矩形正方形； (2)从角上证明：菱形正方形； (3)从对角线上证明： ①矩形正方形；②菱形正方形； ③平行四边形正方形； ④四边形正方形. 感悟新知 知3－练 如图1.7-5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.求证：四边形AECF是正方形. 例3 解题秘方：证明一个四边形是正方形，一般先证明它是矩形或菱形，再从边、角、对角线的角度出发寻找条件进行证明. 感悟新知 知3－练 证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，OA=OC，OB=OD. 因为BE=DF，所以OE=OF. 所以四边形AECF是菱形. 因为OE=OA， 所以OE=OF=OA=OC，即EF=AC. 所以四边形AECF是正方形. 感悟新知 方法点拨 判定四边形是正方形的方法： 如果已知条件是平行四边形，需证它既是菱形又是矩形； 如果已知条件是四边形，则需证它的四条边相等，三个角是直角；或先证它是平行四边形，再证它既是菱形又是矩形； 如果已知条件是矩形，需证它的邻边相等或对角线互相垂直； 如果已知条件是菱形，需证它有一个角是直角或对角线相等. 知3－练 正方形 正方形 性质 特殊的 矩形 定义 判定 特殊的 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 一个角是直角 对角线相等 $