第1章 四边形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了四边形的核心知识，涵盖多边形内角和与外角和、平行四边形的性质与判定、中心对称、三角形中位线及矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过表格对比、几何语言转化等方式构建知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于采用“考点例题-归纳拓展-针对训练”的复习策略，如多边形内角和例题通过方程思想求解边数，平行四边形性质结合图形直观分析选项，培养学生的推理意识和几何直观能力。分层设计的针对训练让不同水平学生巩固知识，教师可借助资料精准把握复习重点，提升教学效率。

小结与复习 第1章 四边形 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 一、多边形的内角和与外角和 多边形的内角和等于(n - 2) ×180° 多边形的外角和等于 360° 正多边形每个内角的度数是 正多边形每个外角的度数是 要点梳理 几 何 语 言 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∴ AD = BC，AB = DC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A =∠C，∠B =∠D. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 二、平行四边形的性质 对角线互 相平分 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥DC. A B C D O 几 何 语 言 文字叙述 两组对边相等 一组对边平行且相等 ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD=BC ，AB=DC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AB=DC，AB∥DC. 三、平行四边形的判定 对角线互相平分 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ OA = OC，OB = OD. 两组对边分别平行(定义) ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD∥BC ，AB∥DC. 平行线之间的距离处处相等 A B C D O 1．中心对称 在平面内，把一个图形上的每一个点 P 对应到它绕点 O 旋转 °下的像 P′,这个变化称为关于点 O 中心对称. 180 四、中心对称 2．中心对称的特征 中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过 ，并且被对称中心________． 3.中心对称图形 把一个图形绕着一个点 O 旋转 °，所得的像与原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心． 对称中心 平分 180 1.三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 五、三角形的中位线 用符号语言表示 ∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE∥BC， 项目 四边形 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 六、矩形、菱形、正方形的性质 项目 四边形 条件 ① 定义：有一个角是直角的平行四边形 ② 三个角是直角的四边形 ③ 对角线相等的平行四边形 ① 定义：一组邻边相等的平行四边形 ② 四条边都相等的四边形 ③ 对角线互相垂直的平行四边形 ① 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 七、矩形、菱形、正方形的判定方法 考点一 多边形的内角和与外角和 例1 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数. 解：设此多边形的外角的度数为 x， 则内角的度数为 4x， 则 x + 4x = 180°，解得 x = 36°. ∴边数 n = 360°÷36° = 10. 考点讲练 【归纳拓展】在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数. 【针对训练】1.一个正多边形的每一个内角都等于 120°，则其边数是 . 6 【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于 120°，所以它的每一个外角都等于 60°. 所以边数是 6. 考点二 平行四边形的性质 例2 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　） A．∠1 = ∠2 B．∠BAD = ∠BCD C．AB = CD D．AC = BC 【解析】A.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1 = ∠2，故 A 正确；B.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠BAD = ∠BCD，故 B 正确；C.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = CD，故 C 正确. D 主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等. 归纳总结 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B =∠D，AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD， （平行四边形的对角相等，对边相等） ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠EAB = ∠BAD，∠FCD = ∠BCD， ∴∠EAB = ∠FCD. 2. 如图，已知▱ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交 BC，AD于点 E，F．求证：AF = EC． 针对训练 在△ABE 和△CDF 中 ∠B＝∠D ， AB＝CD ， ∠EAB＝∠FCD ， ∴△ABE≌△CDF. ∴BE = DF． ∵AD = BC， ∴AF = EC． 例3 如图，在▱ABCD 中，∠ODA = 90°，AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为（　　） A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC = 10 cm，BD = 6 cm ∴OA = OC = AC = 5 cm， OB = OD = BD = 3 cm. ∵∠ODA = 90°， ∴AD= = 4 cm． A 主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用. 归纳总结 【解析】∵在▱ABCD中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm， ∴AO = CO = 12 cm，BO = 19 cm，AD = BC = 28 cm. ∴△BOC 的周长是BO+CO+BC = 12+19+28 = 59(cm)． 3. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm， AD = 28 cm，则△BOC 的周长是（　　） A. 45 cm B. 59 cm C. 62 cm D. 90 cm B 考点三 平行四边形的判定 例4 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　　） A．OA = OC，OB = OD B．∠BAD = ∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD = BC D．AB = CD，AO = CO D 平行四边形的判定方法： ① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 归纳总结 4. 如图，点 D，C 在 BF 上，AC∥DE，∠A = ∠E，BD = CF， (1) 求证：AB = EF； (1) 证明：∵AC∥DE， ∴∠ACD = ∠EDF. ∵BD = CF，∴BD+DC = CF+DC， 即 BC = DF. 又∵∠A = ∠E，∴△ABC≌△EFD（角角边）. ∴AB = EF. 针对训练 (2) 连接 AF，BE，猜想四边形 ABEF 的形状，并 说明理由． (2)解：猜想：四边形 ABEF 为平行四边形， 理由如下：由(1)知△ABC≌△EFD， ∴∠B =∠F. ∴AB∥EF. 又∵AB = EF， 四边形 ABEF 为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 考点四 中心对称及中心对称图形 例5 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称 图形的是 (　　) 　　　A　　　　　 B　　　　　 C　　　　 　D D 【解析】图 A 、图 B 都是轴对称图形，图 C 是中心对称图形，图 D 既是中心对称图形也是轴对称图形. 5.下列说法不正确的是（ ） A. 任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形 B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对 称图形 D. 正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形，且对称轴都不止一条 B 针对训练 考点五 三角形的中位线 例6 如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 的延长线与 AC 的交点.求证： 证明：过点 D 作DH∥BF，交 AC 于点 H. ∵AD 是△ABC 的中线. ∴D 是 BC 的中点. ∴CH＝HF＝ CF. ∵E 是 AD 的中点，EF∥DH. ∴AF＝FH. ∴AF＝ FC. A B C D E F H 6. 若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ，三角形的周长为 60 cm，那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿； 解析：设三角形的三条中位线之长分别为 6x，5x，4x， 则三角形的三条边长分别为 12x，10x，8x， 依题意有 12x＋10x＋8x＝60， 解得 x＝2. 所以，最长边 12x＝24 (cm). 24 cm 针对训练 例7 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O， ∠AOD = 120°，AB = 2.5 ，求矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD (矩形的对角线相等). OA = OC= AC，OB = OD = BD ， (矩形对角线相互平分) ∴OA = OD. A B C D O 考点六 矩形的性质和判定 A B C D O ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA = ∠OAD = (180°- 120°) = 30°. 又∵∠DAB = 90° ， （矩形的四个角都是直角） ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. 7. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， △ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积. A B C D O 针对训练 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形, ∴OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°. ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD 是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形). ∴∠ABC = 90° (矩形的四个角都是直角) . 在Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB2 + BC2 = AC2 ， ∴BC = ∴S□ABCD = AB·BC = 4× = A B C D O 8. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE，CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由. D A B C E O 解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC = 90°. ∵BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 CEBO 是平行四边形. ∴四边形 CEBO 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 例8 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)， OB = OD = BD = ×6 = 3 (菱形的对角线互相平分). A B C O D 考点七 菱形的性质和判定 在等腰三角形 ABC 中， ∵∠BAD = 60°， ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB = BD = 6. ∴在Rt△AOB 中，AO ∴AC = 2AO = A B C O D 证明：在△AOB 中， ∵AB = ，OA = 2，OB = 1， ∴AB2 = AO2 + OB2. ∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 9. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证：□ABCD 是菱形. A B C O D 针对训练 10. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由. A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形. 过点 C 作 AB 边的垂线，交点为 E，作 AD边上的垂线，交点为 F. S 四边形ABCD = AD · CF = AB ·CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴AD = AB . ∴四边形ABCD是菱形. 例9 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形. F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形BECF 为平行四边形；再由一组邻边相等可得菱形；最后由一个直角，得出是正方形. 45° 45° 考点八 正方形的性质和判定 F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. ∵BE 平分∠ABC， CE 平分∠ DCB， ∴∠EBC = 45°，∠ECB = 45°. ∴ ∠EBC =∠ ECB . ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形 . 在△EBC 中， ∵ ∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 90°. ∴菱形 BECF 是正方形. （有一个角是直角的菱形是正方形） F A B E C D 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 多边形的内角和与外角和 内角和计算公式 (n-2) × 180°（n≥3的整数） 外角和 多边形的外角和等于 360° 特别注意：与边数无关 正多 边形 内角= ，外角= 课堂小结 平 行 四 边 形 性质 ① 对边平行且相等 ② 对角相等，邻角互补 ③ 对角线互相平分 判定 ① 两组对边分别平行的 ② 两组对边分别相等的 ③ 一组对边平行且相等的 ④ 对角线互相平分的 四 边 形 平行四边形 有一对邻边相等 (或对角线互相垂直) 四边形的分类及转化 有一个角是 90° (或对角线相等) 有一对邻边相等 (或对角线互相垂直) 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直且相等） 有一个角是90° (或对角线相等) 见章末练习 课后作业 $