1.7 正方形 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 1.7 正方形 第1章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年4月7日 湘教版数学八年级下册1.7 正方形 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 本套练习题围绕正方形的定义、性质（边、角、对角线）及判定方法设计，分层考查基础知识点、逻辑推理及综合应用能力，贴合课时重点，助力巩固所学知识，衔接矩形、菱形的相关知识，培养几何综合素养。 一、基础选择题（每题3分，共15分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是菱形 C. 正方形是特殊的平行四边形，不是特殊的矩形和菱形 D. 对角线相等的菱形是矩形 2. 已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，则下列说法错误的是（ ） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等且互相垂直平分 C. 对角线平分内角 D. 对角线互相平行 3. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则正方形的边长为（ ） A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2 4. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是正方形的是（ ） A. 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 B. 对角线相等且互相垂直的矩形 C. 对角线互相垂直且平分的菱形 D. 对角线相等且互相垂直的平行四边形 5. 已知矩形ABCD是菱形，则矩形ABCD一定是（ ） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 无法确定 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 有一组邻边相等且有一个角是________的平行四边形叫做正方形，正方形是特殊的矩形和菱形。 2. 正方形的性质：四条边都________；四个角都是________；对角线相等、互相________且平分。 3. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=________°，OA=3，则正方形的周长为________cm。 4. 已知正方形的边长为6cm，则它的对角线长为________cm。 5. 正方形的一条对角线把正方形分成两个________三角形（填“等腰直角”或“等边”）。 三、解答题（共70分） 1. （10分）如图，在正方形ABCD中，求证：正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 2. （15分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD，且AC、BD互相平分。 3. （15分）如图，在正方形ABCD中，边长为8cm，求对角线AC、BD的长度及正方形的面积。 4. （15分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：矩形ABCD是正方形。 5. （15分）已知：如图，在菱形ABCD中，有一个角是直角，求证：菱形ABCD是正方形。 参考答案提示 一、选择题：1.A 2.D 3.B 4.D 5.B 二、填空题：1.直角；2.相等，直角，垂直；3.90，12√2；4.6√2；5.等腰直角 三、解答题（略，重点考查正方形的定义、性质及判定方法的应用，证明过程需规范，贴合课时核心知识点，注重逻辑推理和计算准确性，衔接矩形、菱形的相关性质） 说明：本套题重点考查正方形的定义、性质及判定方法，贴合课时重难点，衔接前面矩形、菱形的知识，可用于课后巩固练习，培养几何综合推理和计算能力。 2026年4月7日星期二6时37分45秒 2026年4月7日星期二6时37分47秒 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形的性质 正方形 1 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么 发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 归纳总结 证明：∵四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°， AB = AD (正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形(矩形的定义)， 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证一证 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC，BD相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形 ABCD 是矩形， ∴AO = BO = CO = DO. ∵正方形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 归纳总结 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此： A B C D 知识要点 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证： △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 是全等的 等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO 都 是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 典例精析 证明 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 AD = CD，∠A =∠DCF = 90°. 因为 DF⊥DE， 所以∠EDF = 90°，即∠1 +∠3 = 90°. 又因为∠2 +∠3 = 90°，所以∠1 = ∠2. 因此△AED≌△CFD(角边角)， 从而 DE = DF. 例2 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意 一点，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F. 求证：DE = DF. 1 2 3 例3 如图，在正方形 ABCD 中， △BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴BE = CE = BC，∠EBC = ∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB = BC = CD，∠ABC = ∠DCB = 90°. ∴AB = BE = CE = CD，∠ABE=∠DCE=30°. ∴△ABE，△DCE是等腰三角形. ∴∠BAE = ∠BEA = ∠CDE = ∠CED = 75°. ∴∠EAD = ∠EDA = 90° - 75° = 15°. 正方形的判定 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 2 13 已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC ， DB 是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO＝CO＝BO＝DO ，∠ADC＝90°. ∵AC⊥DB， ∴ AD＝AB＝BC＝CD. ∴四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对 角线， AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°. ∴四边形 ABCD 是正方形. 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形. 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角 一组邻边相等 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等且 一内角是直角 归纳总结 证明 因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 AB = BC. 又因为 AA′ = BB′，所以 A'B = B'C. 又因为∠B =∠C = 90°，BB′ = CC'， 所以△BB'A'≌△CC'B' (边角边)， 从而 B'A' = C'B'. 同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'. 例2 如图，已知点 A'，B'，C'，D' 分别是正方 形 ABCD 四条边上的点，并且 AA'＝BB'＝CC'＝DD'. 求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形. 1 2 3 同理可证，△AA'D'≌△DD'C'，△AA'D'≌△BB'A'. 于是 A'D' = D'C' = C'B' = B'A'. 因此四边形 A'B'C'D' 是菱形. 又因为∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°， 所以∠2 + ∠3 = 90°， 于是∠D'A'B' = 90°. 因此四边形 A'B'CD' 是正方形. 1 2 3 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC = ∠DFC = 90°. 又∵ ∠C = 90°， ∴四边形 EDFC 是矩形. 过点 D 作 DG⊥AB，垂足为 G. ∵AD 是∠CAB 的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE = DG. 同理得 DG = DF. ∴ED = DF. ∴四边形 EDFC 是正方形. 例5 如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B 的平分线交于点 D. DE⊥AC，DF⊥BC. 求证：四边形 CEDF 为正方形. A B C D E F G C 返回 1． 正方形具备而菱形不具备的性质是(　　)  A．对角线互相平分 　　　 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 　　　 D．每条对角线平分一组对角 中考考法 21 返回 C 2． 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为(　　)  A．30° B．25° C．22.5° D．45° 中考考法 22 A 返回 3． 在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(　　) A．①处可填AD＝CB B．②处可填AD⊥AB C．③处可填∠A＝90° D．④处可填AD＝AB 中考考法 23 4． 3 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为 6 cm的等边三角形，当t＝________时，四边形DEBF为正方形. 中考考法 24 【点拨】 由题意得OE＝OF＝t cm，所以EF＝2t cm.因为菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以OB＝OD，AC⊥BD.所以四边形DEBF是菱形．所以当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形．因为△ABD是边长为6 cm的等边三角形，所以BD＝6 cm.所以由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3.所以当t＝3时，四边形DEBF是正方形． 返回 中考考法 5． 1 如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分的面积为________. 中考考法 26 【点拨】 如图．因为四边形A，B是正方形，所以∠DOE＝∠COF＝90°，OD＝OE，∠CDO＝∠FEO＝45°.所以∠COD＋∠DOF＝90°，∠FOE＋∠DOF＝90°.所以∠COD＝∠FOE. 中考考法 返回 中考考法 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 在△COD和△FOE中， 所以△COD≌△FOE.所以S△COD＝S△FOE. 所以S阴影＝S△COD＋S△DOF＝S△DOF＋S△FOE＝S△DOE. 因为S正方形A＝4，所以S阴影＝S△DOE＝S正方形A＝1. $