专题二 微重点1 三角函数中的ω，φ的范围问题-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

第2编　微重点突破 微重点1　三角函数中ω，φ的范围问题 [考情分析]　三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上． 考点一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围 [例1]　(2025·高三湖南长沙二模)已知函数f(x)＝sin ωx＋2cos2(ω>0)在区间(，)上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A．(0，4] B．(0，]∪[，4] C．(0，]∪[，3] D．[，3] 解析　f(x)＝sinωx＋2cos2＝sinωx＋cos ωx＋1＝sin (ωx＋)＋1，因为x∈(，)，所以ωx＋∈(ω＋，ω＋) 因为函数f(x)在区间(，)上单调递增，所以函数y＝sin x在(ω＋，ω＋)上单调递增，且－≤T＝，即0<ω≤4.因为(ω＋，ω＋)⊆(，)，所以，函数y＝sin x在(ω＋，ω＋)上单调增，等价于ω＋≤或， 所以，解不等式得0<ω≤或≤ω≤3， 所以ω的取值范围是(0，]∪[，3].故选C. 答案　C 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． 跟踪训练1　(2025·高三江西宜春二模)已知函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)在区间[，π]上单调递减，则ω的取值范围是 ． [，]　[因为f(x)在区间[，π]上单调递减，所以≥π－＝，则T≥，即≥，所以0<ω≤，因为x∈[，π]，ω>0，所以ωx－∈[－，ωπ－]，因为0<ω≤，所以－∈(－，]，ωπ－∈(－，]，因为f(x)在区间[，π]上单调递减，所以，解得≤ω≤， 所以ω的取值范围为[，]. 故答案为：[，].] 考点二　三角函数对称性与ω，φ的取值范围 [例2]　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)＝sin (ωx＋)在(0，)上有三条对称轴和两个极小值，则(　　) A．<ω≤ B．<ω≤ C．－≤ω<－ D．－≤ω<－ 解析　∵x∈(0，)， ①当ω＞0时，ωx＋∈(，＋)， 若f(x)在(0，)上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意； ②当ω＜0时，ωx＋∈(＋，)， 又函数f(x)＝sin (ωx＋)在(0，)上有三条对称轴和两个极小值， ∴－≤＋<－，解得－≤ω<－， 综上，－≤ω<－.故选C. 答案　C 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围． 跟踪训练2　(2025·衡水模拟)已知直线x＝是函数f(x)＝sin (3πx＋φ)的一条对称轴，f(x)在区间(－t，t)(t>0)内恰好存在3个对称中心，则t的取值范围为 . 　[由题意知直线x＝是函数f(x)＝sin (3πx＋φ)(0<φ<)的一条对称轴，故＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z)，因为0<φ<，故φ＝，故f(x)＝sin (3πx＋)，令3πx＋＝k′π(k′∈Z)，解得x＝－＋，原点附近的6个对称中心分别为点，，，，，，若3个对称中心恰好是点，，，则则t不存在，不符合题意；若3个对称中心恰好是点，，， 则则<t≤，故当<t≤时，符合题意．故t的取值范围为.] 考点三　三角函数的零点与ω，φ的取值范围 [例3]　(2025·高三江西九江二模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)，若方程|f(x)|＝1区间在(0，2π)上恰有5个实根，则ω的取值范围是(　　) A．(，] B．(，] C．(，] D．(，] 解析　由方程|f(x)|＝|sin (ωx＋)|＝1，可得sin (ωx＋)＝±，所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)，当x∈(0，2π)时，ωx＋∈(，2ωπ＋)，所以ωx＋的可能取值为，，，，，，...， 因为原方程在区间(0，2π)上恰有5个实根， 所以<2ωπ＋≤，解得<ω≤， 即ω的取值范围是(，].故选D. 答案　D 已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围． 跟踪训练3　(2025·高三湖南邵阳三模)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωx cos ωx(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是(　　) A．(，] B．[，) C．(，] D．[，) D　 [f(x)＝2cos2ωx＋2sinωx cos ωx＝sin (2ωx＋)＋1，令f(x)＝0，得sin (2ωx＋)＝－.∵x∈[0，2π]，∴2ωx＋∈[，4πω＋].令t＝2ωx＋，由y＝sin t的图象得：4π－≤4πω＋<5π＋，化简得≤ω<.故选D.] 考点四　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 [例4]　(2025·高三四川绵阳二模)已知函数f(x)＝2sin ωx cos ωx＋2cos2ωx的定义域为[0，]，在定义域内存在唯一x0，使得f(x0)＝3，则ω的取值范围为(　　) A．[，] B．[，) C．[，] D．[，) 解析　由题意f(x)＝sin2ωx＋cos 2ωx＋1＝2sin (2ωx＋)＋1，x∈[0，]， 在定义域内存在唯一x0，使得f(x0)＝3， 所以sin (2ωx＋)＝1在x∈[0，]上有唯一解，令t＝ωx＋∈， 所以sin t＝1在t∈上有唯一解， 则由正弦函数图象性质可知≤ωπ＋<，⇒≤ω<.故选D. 答案　D 根据三角函数的最值或值域求解参数问题是，要灵活运用整体的思想，将问题转化在基本函数y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x上，借助函数图象性质来处理会更加明了，注意对ω正负的讨论． 跟踪训练4　(2025·高三湖南长沙二模)已知a＝(sin ωx，cos ωx－)，b＝(cos ωx，cos ωx＋)(ω>0)，若函数f(x)＝a·b在区间[0，π]上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数ω的取值范围是(　　) A.[，]　B．[，)　C．[，]　D．[，) B　[根据题意可得：f(x)＝a·b＝sin ωx cos ωx＋cos2ωx－＝sin2ωx＋cos 2ωx＝sin (2ωx＋)，由于x∈[0，π]，可得：2ωx＋∈[，2ωπ＋] 由于函数f(x)恰好有5个最大值，4个最小值， 则4×2π＋≤2ωπ＋<4×2π＋，解得≤ω<.故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $