专题二 微专题1 三角函数-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

第1编　微专题讲练 微专题1　三角函数 [考情分析]　1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． 考点一　三角函数的运算 1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z). 2．诱导公式：在±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan (α±β)＝. 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan2α＝. [例1]　(2025·新高考全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos＝，则sin (α－)＝(　　) A． B． C． D． 【分析】　利用二倍角余弦公式得cos α＝－，则sin α＝，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案． 解析　二倍角公式＋两角差的正弦公式＋同角三角函数的基本关系　cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为 0<α<π，所以sin α＝，所以sin ＝(sin α－cos α)＝×＝.故选D. 答案　D [二级结论]　(1)若α∈(0，)，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二． 跟踪训练1　(2025·高三安徽太湖二模)若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈[，]，β∈[π，π]，则α＋β＝ ． 　[因α∈[，π]，所以2α∈[，2π]，又sin 2α＝>0，所以2α∈(，π). 根据sin2A＋cos2A＝1，得cos2α＝－＝－＝－，同时也能确定α∈(，). 因为sin(β－α)＝，β∈[π，]，α∈(，)，所以β－α∈(，π). cos (β－α)＝－＝－＝－. 所以cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos (β－α)cos 2α－sin (β－α)sin 2α ＝(－)×(－)－×＝－＝＝＝ 因为α∈(，)，β∈[π，]，所以α＋β∈(，2π). 在这个区间内，cos (α＋β)＝时，α＋β＝.故答案为：.] 考点二　三角函数的图象与解析式 由函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 [例2]　(2025·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f(x－)，求g(x)的值域和单调区间． 【分析】　(1)直接由题意得cos φ＝，(0≤φ<π)，结合余弦函数的单调性即可得解； (2)由三角恒等变换得g(x)＝cos (2x＋)，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数g(x)的单调区间． 解　(1)因为 f(0)＝cos φ＝，且0≤φ<π，所以φ＝. (2)第1步：化简g(x) g(x)＝f(x)＋f＝cos ＋cos 2x＝cos 2x cos －sin 2x sin ＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x ＝ ＝cos . 第2步：求g(x)的值域 因为余弦函数y＝cos θ的值域是[－1，1]，令θ＝2x＋，那么函数 y＝cos θ的值域就是[－，]，所以g(x)的值域为[－，]. 第3步：求g(x)的单调区间 易知余弦函数y＝cos θ在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z). 易知余弦函数y＝cos θ在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z). 由三角函数的图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝. (2)T定ω：由周期公式T＝，可得ω＝. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势． 跟踪训练2　(2025·高三安徽二模)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g()＝(　　) A． B． C．1 D．0 B　[由图知T＝－＝⇒T＝π，则＝π⇒ω＝2，由f()＝sin (2×＋φ)＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，故f(x)＝sin (2x＋)，由题意g(x)＝f(x＋)＝sin (2x＋)，故g()＝sin (2×＋)＝sin ＝.故选B.] 考点三　三角函数的性质 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间． (2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴． (3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数． [例3]　(2025·新高考Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan (x－)的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析　正切函数图象的对称性　令 x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故y＝2tan 的图象的对称中心为，k∈Z，由题意知 a＝＋，k∈N，其最小值为.故选B. 答案　B 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项. 跟踪训练3　(2025·高三福建福州二模)已知函数f(x)＝sin ωx＋a cos ωx(ω>0)图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，则f(π)＝(　　) A．1 B．－1 C． D．－ A　[f(x)＝sin ωx＋a cos ωx＝sin (ωx＋φ)，其中tan φ＝a.由函数f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，得f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin x＋a cos x．由函数f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，得f(2(kπ＋)－x)＝f(x)(k∈Z)，令x＝0，得f(2kπ＋)＝f(0)(k∈Z)，即sin (2kπ＋)＋a cos (2kπ＋)＝a(k∈Z)，得a＝1，所以f(x)＝sin x＋cos x，经验证满足题设，则f(π)＝f()＝sin ＋cos ＝1.故选A.] 学科网（北京）股份有限公司 $