第9章 微专题5-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第九章 平面解析几何 微专题(五)　离心率的范围问题 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 01 高考预测练 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 　 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 　 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 B 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 　 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 B 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（四十四）” (单击进入电子文档) 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第九章 平面解析几何 返回导航 下一页 上一页 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 　(1)(2025·三亚模拟)已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 【解析】　设椭圆左、右焦点分别为F1，F，连接F1A，F1B， 由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF1 为平行四边形， 且∠AFB＝120°，∠FAF1＝60°， 在△AFF1中， |FF1|2＝|AF|2＋|AF1|2－2|AF|·|AF1|cos∠FAF1 ＝(|AF|＋|AF1|)2－3|AF|·|AF1|， ∴(|AF|＋|AF1|)2－|FF1|2＝3|AF|·|AF1|≤3(eq \f(|AF|＋|AF1|,2))2， 当且仅当|AF|＝|AF1|时等号成立， 可得eq \f(1,4)(|AF|＋|AF1|)2≤|FF1|2， 即a2≤4c2，则e＝eq \f(c,a)≥eq \f(1,2)， 又∵椭圆的离心率e∈(0,1)， ∴椭圆的离心率e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 【答案】　C (2)(2025·咸宁模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e1e2的取值范围是(　　) A．(eq \f(1,9)，＋∞) B．(1，＋∞) C．(eq \f(1,3)，＋∞) D．(eq \f(1,2)，＋∞) 【解析】　设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2， |PF1|＝r1，|PF2|＝r2， ∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，点P在第一象限， ∴|PF2|＝|F1F2|，|PF1|>|PF2|， |PF2|＋|F1F2|>|PF1|， 即r1＝24，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1， ∴2c<24,4c>24，解得6<c<12. 在双曲线中，|PF1|－|PF2|＝2a2， ∴e2＝eq \f(c,a2)＝eq \f(2c,2a2)＝eq \f(2c,r1－r2)＝eq \f(2c,24－2c)＝eq \f(c,12－c)； 在椭圆中，|PF1|＋|PF2|＝2a1， ∴e1＝eq \f(c,a1)＝eq \f(2c,2a1)＝eq \f(2c,r1＋r2) ＝eq \f(2c,24＋2c)＝eq \f(c,12＋c)， ∴e1e2＝eq \f(c,12＋c)·eq \f(c,12－c)＝eq \f(1,\f(144,c2)－1)， ∵6<c<12， ∴36<c2<144，则1<eq \f(144,c2)<4， ∴0<eq \f(144,c2)－1<3， 可得eq \f(1,\f(144,c2)－1)>eq \f(1,3)， ∴3e1e2的取值范围为(1，＋∞)． 【答案】　B 【规律方法】　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． [跟踪训练] 1．(2025·亳州模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为___________. (eq \r(2)，2) 解析：双曲线C与直线y＝x有交点， 则eq \f(b,a)>1，eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)>1， 解得e＝eq \f(c,a)>eq \r(2)， 双曲线上存在不是顶点的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则P点在双曲线右支上， 设PF1与y轴交于点Q， 由对称性得|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1， 所以∠PF2Q＝∠PF2F1－∠QF2F1＝2∠PF1F2＝∠PQF2， 所以|PQ|＝|PF2|， 所以|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a， 由|QF1|>|OF1|得2a>c，所以e＝eq \f(c,a)<2， 又在△PF1F2中，∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2<180°， ∠PF1F2<45°， 所以eq \f(c,2a)＝cos∠PF1F2>eq \f(\r(2),2)， 即e＝eq \f(c,a)>eq \r(2)，综上，eq \r(2)<e<2. 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 　(1)(2025·张掖模拟)若椭圆E：x2＋eq \f(y2,1－m2)＝1(0<m<1)上存在点P，满足|OP|＝m(O为坐标原点)，则E的离心率的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) 【解析】　设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，由题意知a＝1，b＝eq \r(1－m2)，c＝m， 椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与椭圆有交点，得c≥b， 所以c2≥b2＝a2－c2，解得eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,2)， 所以e＝eq \f(c,a)≥eq \f(\r(2),2).又0<e<1，所以E的离心率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)). 【答案】　D (2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　) A．(1,1＋eq \r(2)) B．(1,1＋eq \r(3)) C．(1,1＋eq \r(2) ] D．(1,1＋eq \r(3) ] 【解析】　若点P是双曲线的顶点，eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)无意义，故点P不是双曲线的顶点，在△PF1F2中，由正弦定理得eq \f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq \f(|PF2|,sin∠PF1F2)， 又eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，∴eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(c,a)，即|PF1|＝eq \f(c,a)·|PF2|，∴P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a， ∴eq \f(c,a)|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝eq \f(2a2,c－a)， 由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，∴eq \f(2a2,c－a)>c－a，即c2－2ac－a2<0， ∴e2－2e－1<0，解得－eq \r(2)＋1<e<eq \r(2)＋1，又e>1， ∴双曲线离心率的取值范围是(1,1＋eq \r(2))． 【答案】　A 【规律方法】　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解． [跟踪训练] 2．设M是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则C的离心率的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)　)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 解析：设P(x0，y0)，M(0，b)， 因为eq \f(x\o\al(2,0),a2)＋eq \f(y\o\al(2,0),b2)＝1，a2＝b2＋c2， 所以|PM|2＝xeq \o\al(2,0)＋(y0－b)2 ＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y\o\al(2,0),b2)))＋(y0－b)2 ＝－eq \f(c2,b2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(b3,c2)))2＋eq \f(b4,c2)＋a2＋b2，－b≤y0≤b， 由题意知，当y0＝－b时，|PM|2取得最大值， 所以－eq \f(b3,c2)≤－b，可得a2≥2c2， 即e2≤eq \f(1,2)，则0<e≤eq \f(\r(2),2). 利用几何图形的性质求离心率的范围 　(1)(2025·榆林模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cos∠PAQ≥－eq \f(3,5)，则该双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1，eq \r(13) ] B. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2) )) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(21),3) )) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(21)，＋∞)) 【解析】　以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2， 双曲线C的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2，)))) 解得(不妨设)P(a，b)，Q(－a，－b)，A(－a,0)， 所以eq \o(AP,\s\up16(→))＝(2a，b)，eq \o(AQ,\s\up16(→))＝(0，－b)， 所以cos∠PAQ＝eq \f(\o(AP,\s\up16(→))·\o(AQ,\s\up16(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up16(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AQ,\s\up16(→)))))＝eq \f(－b2,\r(4a2＋b2)·b)＝－eq \f(b,\r(4a2＋b2))≥－eq \f(3,5)， 整理得25b2≤36a2＋9b2，即4b2≤9a2，eq \f(b2,a2)≤eq \f(9,4)， 所以双曲线的离心率1<e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))≤eq \f(\r(13),2). 【答案】　B (2)(2025·无锡模拟)已知点P在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若d1d2≤eq \f(1,2)|OP|2恒成立，则C的离心率的最大值为(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5) 【解析】　双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0， 设双曲线上的点P(x0，y0)， 所以eq \f(x\o\al(2,0),a2)－eq \f(y\o\al(2,0),b2)＝1，即b2xeq \o\al(2,0)－a2yeq \o\al(2,0)＝a2b2， 则P(x0，y0)到两条渐近线bx±ay＝0的距离分别为d1＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(bx0＋ay0)),\r(a2＋b2))， d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(bx0－ay0)),\r(a2＋b2))， 所以d1d2＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,0)－a2y\o\al(2,0))),a2＋b2)＝eq \f(a2b2,a2＋b2)， 又|OP|2＝xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝a2＋eq \f(a2,b2)yeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝a2＋(eq \f(a2,b2)＋1)yeq \o\al(2,0)，y0∈R， 所以|OP|2≥a2， 因为d1d2≤eq \f(1,2)|OP|2恒成立，所以eq \f(a2b2,a2＋b2)≤eq \f(1,2)a2， 整理得b2≤a2，即eq \f(b2,a2)≤1，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))≤eq \r(2)， 则C的离心率的最大值为eq \r(2). 【答案】　A 【规律方法】　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． [跟踪训练] 3．(2025·成都模拟)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，设∠PF1F2＝θ，当双曲线C的离心率范围为(eq \f(\r(6),2)，eq \r(3))时，θ的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,3))) 解析：在△F1PF2中，由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|) ＝eq \f(sin∠F1PF2,sin∠PF2F1－sin∠PF1F2)＝eq \f(\f(\r(3),2),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))－sin θ)＝eq \f(\r(3),2)·eq \f(1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))). 因为e∈(eq \f(\r(6),2)，eq \r(3))，所以cos(eq \f(π,6)＋θ)∈(eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2))，所以eq \f(π,6)＋θ∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,3))， 所以θ的取值范围为(eq \f(π,12)，eq \f(π,6))． $