专题一 微专题 1 函数的图象与性质-【创新大课堂】2026年高考二轮数学专题复习

第1编　微专题讲练 微专题1　函数的图象与性质 [考情分析]　1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题． 考点一　函数的概念与表示 1．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域． 2．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． [例1]　(2025·新高考Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f(－)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【分析】　根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2，3]的范围中求解． 解析　分段函数＋函数性质　通解　当x∈[－1，0] 时，－x＋2∈[2, 3 ]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f＝1－＝－.故选A. 答案　A (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 跟踪训练1　(2025·河北保定三模)已知函数f(x)＝，若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[0，1] C．[0，＋∞) D．(－∞，1] B　[根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数y＝x＋1和g(x)＝2x的图象如右图所示：由图可知，当x＝0或x＝1时，两图象相交，若f(x)的值域是R，以实数a为分界点，可进行如下分类讨论：当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R；同理当a>1，值域也不是R；当0≤a≤1时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R.综上可知，实数a的取值范围是0≤a≤1.故选B.] 考点二　函数的图象 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 考向1　函数图象的识别 [例2]　(2025·天津市滨海新区三模)函数f(x)＝(x－)sin |x|(－π≤x≤π，x≠0)的图象可能为(　　) 解析　根据函数的奇偶性排除A、B，再由x∈(0，1)，f(x)<0即可得出选项．f(x)＝(x－)sin |x|(－π≤x≤π，x≠0)，f(－x)＝(－x＋)sin |－x|＝(－x＋)sin |x|＝－f(x)，所以函数为奇函数，故排除A、B；当x∈(0，1)时，f(x)＝(x－)sin |x|<0，故D正确．故选D. 答案　D 考向2　函数图象的变换及应用 [例3]　(1)(2025·山西太原二模)将函数y＝向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为(　　) 解析　 ∵y＝， 可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象．故选C. 答案　C (2)(2025·高三·江西南昌二模)已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝x2＋1，则图象为右图的函数可能是　(　　) A．y＝f(x)＋g(x)－1 B．y＝f(x)－g(x)＋1 C．y＝f(x)g(x) D．y＝ 解析　由题意，函数f(x)＝sin x，g(x)＝x2＋1，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，对于A中，函数y＝f(x)＋g(x)－1＝x2＋sin x不是奇函数，所以A不符合题意；对于B中，函数y＝f(x)－g(x)＋1＝sin x－x2不是奇函数，所以B不符合题意；对于C中，函数y＝f(x)g(x)＝(x2＋1)·sin x此时函数为奇函数，又由y′＝cos x·(x2＋1)＋sin x·2x，当x∈(0，)时，y′>0，此时函数在区间x∈(0，)单调递增，而图象中先增后减，所以C不符合题意．故选D. 答案　D (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． 跟踪训练2　 (2025·高三江西萍乡二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)可能的解析式是(　　) A．f(x)＝ex·ln |x| B．f(x)＝ C．f(x)＝ex＋ln |x| D．f(x)＝ex－ln |x| C　[对于A，因为f(x)＝ex·ln |x|，所以f(－1)＝e－1·ln |－1|＝0，f(－e)＝e－e·ln |－e|＝，f(－e2)＝e－e2·ln |－e2|＝，而2ee<e2e<ee2，∴<＝，即－e2<－e<－1，f(－e2)<f(－e)，所以f(x)在(－∞，－1)上并不单调递减，故A错误；对于B，因为f(x)＝，所以f(1)＝＝0，f(e)＝＝，f(e2)＝＝，显然1<e<e2，f(e)>f(e2)，所以f(x)在(1，＋∞)上并不单调递增，故B错误；对于D，因为f(x)＝ex－ln |x|，所以f(－1)＝e－1－ln |－1|＝，f(－e)＝e－e－ln |－e|＝－1，显然－e<－1，f(－e)<f(－1)，所以f(x)在(－∞，0)上并不单调递减，故D错误；对于C，因为f(x)＝ex＋ln |x|定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)＝ex＋ln x，由复合函数的单调性易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，f(x)＝ex＋ln (－x)，y＝ex在(－∞，0)上单调递增且0<ex<1，y＝ln (－x)在(－∞，0)上单调递减，当x→－∞时f(x)→＋∞，当x→0时f(x)→－∞，符合题意，结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确．故选C.] 考点三　函数的性质 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数的周期性 若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|. 4．函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 考向1　单调性与奇偶性 [例4]　(2025·山西省吕梁市三模)已知函数f(x)＝(x－a)2－|x－a|－a2＋a(a>0)有三个零点，则三个零点之和为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】　通过换元法将函数转化为关于新变量的方程，再求解新变量，进而得到原函数的零点，最后求出三个零点之和． 解析　令t＝x－a，则x＝t＋a，函数f(x)＝(x－a)2－|x－a|－a2＋a(a>0)可转化为g(t)＝t2－|t|－a2＋a.因为函数f(x)有三个零点，所以函数g(t)也有三个零点．g(t)是偶函数，其图象关于y轴对称．因为g(t)有三个零点，根据偶函数的性质可知，必有一个零点为t＝0.将t＝0代入g(t)＝t2－|t|－a2＋a中，可得－a2＋a＝0，即a2－a＝0，因式分解得a(a－1)＝0.因为a>0，所以a－1＝0，解得a＝1.当a＝1时，g(t)＝t2－|t|.当t≥0时，g(t)＝t2－t，令g(t)＝0，即t2－t＝0，因式分解得t(t－1)＝0，解得t＝0或t＝1.因为g(t)是偶函数，所以当t<0时，g(t)＝t2＋t，令g(t)＝0，即t2＋t＝0，因式分解得t(t＋1)＝0，解得t＝0或t＝－1.所以g(t)的三个零点为－1，0，1.因为t＝x－a，a＝1，所以当t＝－1时，x＝－1＋1＝0；当t＝0时，x＝0＋1＝1；当t＝1时，x＝1＋1＝2.即f(x)的三个零点为0，1，2.三个零点之和为0＋1＋2＝3.故选D. 答案　D 考向2　奇偶性与周期性、对称性 [例5]　(2025·高三甘肃临夏三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋b，则f()＋f()＋f()＝(　　) A． B．0 C．－ D．－1 解析　因f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)，又因f(x＋1)为奇函数，故f(－x＋1)＝－f(x＋1)，则f(－x)＝－f(x＋2)，故有f(x＋2)＝－f(x)，由f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)可得4是函数f(x)的一个周期．又因f(x＋1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，因函数f(x)的定义域为R，则f(1)＝1＋b＝0，解得b＝－1，故当x∈[0，1]时，f(x)＝x－1，于是f()＝－，f()＝－f()＝，f()＝f(－4)＝f(－)＝f()＝，故f()＋f()＋f()＝－＋＋＝.故选A. 答案　A [二级结论]　(1)若f(x＋a)＝－f(x)(或f(x＋a)＝，其中f(x)≠0)，则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|. (3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|. 跟踪训练3　(多选)(2025·高三海南二模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x＋2)是偶函数，且对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)，则以下判断正确的是(　　) A．若f(1)＝－1，则f(5)＝1 B．函数f(x)的最小正周期是4 C．函数f(x)在[2，6]上单调递增 D．直线x＝3是f(x－1)图象的对称轴 ACD　[由f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，由f(x＋2)是偶函数，得函数f(x)关于x＝2对称，则直线x＝3是f(x－1)图象的对称轴，故D正确；且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋4)＝f(－x)，所以f(x＋4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，故B错误；对于A，由f(x＋4)＝－f(x)，若f(1)＝－1，则f(5)＝－f(1)＝1，故A正确；对任意的x1，x2∈[－2，0]，当x1≠x2时，都有x1f(x1)＋x2f(x2)<x1f(x2)＋x2f(x1)，即(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在[－2，0]上递减，结合奇函数知，函数在[0，2]上递减，即函数[－2，2]上函数递减，由于函数f(x)关于x＝2对称，所以函数f(x)在[2，6]上单调递增，故C正确．故选ACD.] 学科网（北京）股份有限公司 $