2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（相似三角形问题）

2026年中考数学第一轮专题复习 二次函数压轴题（相似三角形问题） 1．抛物线过点，顶点为P，与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点P的坐标； (2)若点D在抛物线上且，求点D的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点Q坐标． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知：拋物线与轴分别交于点、点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上一点，作直线与轴正半轴交于点，若，求点的坐标； (3)如果点在线段BC上，且以为顶点的新抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，过点向轴作垂线，交原抛物线于点，当四边形是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式． 3．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点运动到何处时，的面积恰好为面积的一半？求出此时点的坐标： (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．抛物线与x轴负半轴、正半轴交于A、B，与y轴交于点． (1)当时，直接写出A点的坐标为________，B点的坐标为________； (2)如图1，若，求m的值； (3)如图2，在（1）的条件下，直线垂直于y轴交抛物线于M，N两点，，交于y轴上一点H，若，求M点的横坐标． 5．如图，开口向下的抛物线与轴正负半轴分别交于、点，与轴交于点，且； (1)直接写出点坐标（ ，0），并求的值； (2)抛物线在第三象限内图象上是否存在一点，在轴负半轴上有一点，使以点、点、点为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在线段上有一点，连结、，若，则直接写出点坐标（ ， ） 6．已知抛物线C：的最小值为． (1)求a的值； (2)已知直线l：，记，求的最小值（用k表示）； (3)如图，为抛物线C上一点，，直线过点，在抛物线上取一点P，使得，若，求的最小值． 7．已知抛物线经过点，，对称轴直线与抛物线交于点C，与直线交于点D，与x轴交于点M． (1)试确定抛物线的解析式； (2)若当时，的最小值为2，最大值为20，则m的取值范围为______； (3)连接，在对称轴上，是否存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似?若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (4)将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A，M，与x轴的另一个交点为点N，在平面上是否存在点F，使得以点A，B，N，F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1，已知抛物线与轴交于点与轴交于点，  且关于对称，连接． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点是抛物线上位于直线下方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点， (ⅰ)若点的坐标为，求证：， (ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，将抛物线位于轴上方面的部分不变，位于轴下方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向上平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有两个不同交点，请直接写出的取值范围． 10．在平面直角坐标中，点为坐标原点，过点的抛物线与轴交于另一点． (1)求的长； (2)如图1，点在第二象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，点在线段上，连接，的延长线交抛物线于点，，交于点，于点，且，点在第一象限的抛物线上，连接，点的纵坐标为，的长为，当为的垂直平分线时，求点的坐标． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线和交于点，若点在直线上，求的值． 13．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为抛物线上一点，点到直线的距离与到直线的距离相等，求点的坐标； (3)如图2，过作直线和直线，分别交抛物线于两点，且与抛物线均只有唯一一个公共点，求的值． 14．已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象的顶点为，对称轴是直线，图象经过点，向左平移一个单位后经过坐标原点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)试判断的形状，并说明理由． (3)直线经过点，交轴于点，求的度数． 15．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且，． (1)求抛物线的表达式； (2)动点D在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于E点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)当点F为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点M，使得以A，C，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（相似三角形问题）》参考答案 1．(1)；顶点的坐标为； (2)或； (3) 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标为，在线段上取点，使，此时，求得，则，分点在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线的解析式，联立解一元二次方程即可求解； （3）根据相似三角形的性质可得，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，证明，求得点的坐标为，求得直线的解析式，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴, ∴； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：在中，当时，则， 解得或， ∴点的坐标为， ∴； 如图所示，在线段上取点，连接，使得，则， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， 如图所示，当点在轴上方时，设直线交轴于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则， ∴ ∴直线的解析式为， 联立，解得或 ∴点的坐标为； 如图所示，当点在轴下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则， ∴ ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标； 综上，点的坐标或； （3）解：∵， ∴， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标． 2．(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用待定系数法求得抛物线的表达式，然后将表达式化为顶点式即可求解； （2）设，过M作轴交y轴于G，过E作轴，两线相交于H，证明，根据相似三角形的性质可求出e的值，即可求解； （3）待定系数法求出直线的表达式，设，当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在上，故点D只能在y轴右侧，由新抛物线的对称轴与经过原点可知点，当垂直平分时，方程无解；当垂直平分时，则点与点G的纵坐标的绝对值相等，据此列出关于m的方程，解得m的值即可求得新抛物线的解析式． 【详解】（1）解：抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：， ∵， ∴顶点的坐标为 （2）解：∵ ∴， 设， 如图，过M作轴交y轴于G，过E作轴，两线相交于H， 则，，， ∴，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵ 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：； ∴设， 当点D在y轴左侧时，如图， 此时，点P不可能在线段上，故点D只能在y轴右侧， 由新抛物线的表达式知，其对称轴为， ∵以P为顶点的新抛物线经过原点， 则点， 当垂直平分时， 则， 此方程无解，即此种情况不存在； 当垂直平分时， 则，即， 解得：（舍去）或2， ∴， 设新抛物线的表达式为， 则， ∴， ∴新抛物线的表达式为：． 3．(1)；对称轴为直线； (2)或 (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可； （2）求出点坐标，进而求出的解析式，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，列出方程进行求解即可； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入，得 ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是第四象限内抛物线上的一个动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， ∵，，， ∴， 由题意，，解得或， ∴当时，；当时，； ∴或； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 4．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）令，再解方程即可； （2）利用因式分解求出点坐标，令得到点坐标，设点关于轴对称点为，再证，进而得到，利用勾股定理列式求解即可； （3）设，，则，直线的解析式为，联立，根据根与系数的关系得到，同理可得，进而可得，，结合，解出即可． 【详解】（1）解：，则， 令，即，解得， 故A点的坐标为，B点的坐标为； （2）解：令，即， 即，解得， ， ， 令，即， 设点关于轴对称点为，则，， ， 又， ， ， 又， ，即， 解得（负值已舍去）； （3）解：，则， ∴对称轴为直线， 设，，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ，即， 设方程两个解为，则， 又，则，， 故点的横坐标， 设直线的解析式为， 同理可得点的横坐标， 故， ， 解得或， 即M点的横坐标为或． 5．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）令，可解得或，所以，当时，，根据，建立关于的方程，求解即可； （2）设点的横坐标为，则，分情况进行讨论，根据相似三角形的性质进行列方程求解； （3）求出直线的解析式为：，取点，连接，则，作过点，，三点的圆，圆心为，该圆与线段交于点，点即为所求，设，利用半径列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当， 解得或， ，， ， 当时，， ， ， ， 解得； （2）解：由（1）得，， 在中，，，根据勾股定理可得， 设点的横坐标为，则， 当点为直角顶点时： ①若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ，， ， 解得，不符合题意； ②若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，此时； 此时点的坐标为； 当点为直角顶点时： ①若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，此时； 过点作轴，设的长度为， ，， ， ， 解得． ； 点的坐标为； ②若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，不符合题意， 综上，点的坐标为：或； （3）解：，， 直线的解析式为：， 如图，取点，连接，则， 作过点，，三点的圆，圆心为，该圆与线段交于点，点即为所求， 此时半径， 设， ， ， ， 解得或（舍去， ． 6．(1)2 (2) (3)5 【分析】（1）由抛物线C的解析式可知对称轴为直线，进而可得时，从而可解得a； （2）先求出直线l：过定点，且在抛物线C：的图象上，令，可得，求出方程的另一个解为，故，再根据k的不同取值展开分类讨论求m（x）最小值即可； （3）连接，求出，则，，得到，易证，推出，进而得到，再求出，即可得到的最小值为5． 【详解】（1）解：∵抛物线C的解析式为， ∴抛物线C的图象与x轴的交点坐标为， ∴抛物线C图象的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴； （2）解：∵， 当时，则， ∴直线l：过定点， 将代入抛物线C：中，则， ∴在抛物线C：的图象上， 令，可得， 设方程的解为， ∴， ∵是方程的一个解， ∴方程的另一个解为； 故， 当时，一次函数的函数值y随x的增大而减小，即时，的最小值为6； 当时，，即； 当时，一次函数的函数值y随x的增大而增大，即时，的最小值为； ∵抛物线的对称轴为直线， 当时，直线， 故此时的最小值为在抛物线顶点处取得，即最小值为． 综上，； （3）解：如图所示，连接， 由题意可得， 则， 又， 故， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即的最小值为5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，包括对称轴，最值，一次函数的图象和性质，根系关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，熟练掌握以上内容综合分析是解题关键． 7．(1)抛物线的解析式为； (2) (3)在对称轴上，存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似，点E的坐标为或； (4)点F的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得以及点关于直线的对称点为，利用配方法求得顶点，据此求解即可； （3）先求得，推出是等腰三角形，得到也是等腰三角形，分三种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （4）先求得平移后的解析式为，点N的坐标为，设点F的坐标为，利用平行四边形的性质结合中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，，此时， ∵对称轴直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵，， ∴当时，有最小值为2， 此时， ∵当时，的最小值为2，最大值为20， ∴； 故答案为：； （3）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵点，，， 作于点， ∴， ∴，，，， ∴， ∴是等腰三角形，点B，D，E为顶点的三角形与相似， ∴也是等腰三角形， 当点在点B上方时，作于点， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴点E的坐标为； 当点在点D上方，点B下方时，作于点， ，， ∵， ∴，即， 解得， ∴点E的坐标为； 当点在点D上下方时， ∵，而， ∴，此情况不存在， 综上，在对称轴上，存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似，点E的坐标为或； （4）解：设平移后的解析式为， ∵抛物线与x轴交于点M， ∴点M的坐标为， 将，代入得，， 解得， ∴平移后的解析式为， 令，则， 解得或， ∴点N的坐标为， 设点F的坐标为， 当为对角线时，，， 解得，， ∴点F的坐标为； 当为对角线时，，， 解得，， ∴点F的坐标为， 当为对角线时，，， 解得，， ∴点F的坐标为， 综上，点F的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 8．(1) (2)①，；②存在，或 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设，则，其中，确定，即可求解； ②根据待定系数法确定直线的解析式为，得出点的坐标为，分别过点、作轴于点轴于点，由，得，然后分两种情况讨论：I．当时，，II．当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 该抛物线的表达式为； （2）①当时，， ∴， 设直线的解析式是：， 则，解得：， ∴直线的解析式是：， 如图1，设，则，其中， 则， 当时，线段有最大值，为，， 此时点的坐标为． ②存在，理由如下： ， 使用待定系数法同理可得：直线的解析式为． 令，则， 点的坐标为． ， ，且， ． 如图1，分别过点、作轴于点轴于点． 由，得， ∴． 分两种情况讨论： I．当时，， 即， 解得，满足， 此时点的坐标为． II．当时，， 即， 解得，满足，此时，点的坐标为． 综上所述，存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似， 点的坐标为或． 9．(1) (2)（i）见详解  （ii）有最大值为 (3)或 【分析】（1）根据题意得到，用待定系数法求解析式即可； （2）求出直线的解析式为，设 ，则， ，(ⅰ)根据 ，得是等腰直角三角形        ，进而可得，由点的坐标为，可得出，即可得结论；(ⅱ) 过作轴，交于点，则，得出， 根据相似三角形的性质得出面积比，即，进而根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， 且关于对称， 点的坐标为， 将代入得 ， 解得：， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设 ，则，， （i），， 是等腰直角三角形        ，                           ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ； （ii）解：如图， 过作轴，交于点，则， ∴ ，              当时，有最大值为； （3）解：依题意，， 新的图形的顶点坐标为， 则新的抛物线解析式为， 设平移后的直线解析式为， ①当经过点时，有3个交点，此时， 则直线与抛物线有两个交点时，； ②当与只有一个交点， 则， 即， ∴， 解得：， 结合函数图象可得：  ， 综上，当 或 时，直线与图象有两个交点． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令解析式等于，即，求出，坐标即可求出长度； （2）利用点的横坐标为且在抛物线上，所以，利用、点的坐标求出直线解析式，将代入即可得； （3）过作轴于，过作，交于点，交抛物线于点，则，，在中，，，，由勾股定理得，即：①，再证，得，即，化简得：②，将②代入①，并化简得：③，继续证，得④，由得：，即⑤，将⑤代入④得：，化简得：⑥，将②代入⑥并化简得：，即⑦，由③得：⑧，所以，化简整理，得，解得：或，因为在第二象限，所以，进而可得到，，抛物线的解析式为：，进一步可求出点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，因为，可得点的坐标为，进一步得出直线的解析式，根据直线和抛物线相交于第一象限的点，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，解之得：或， ∵点坐标为， ∴点坐标为， ． （2）证明：点的横坐标为且在抛物线上， ， ， ， 设直线解析式为， 将、点的坐标代入解析式可得，解之得， 直线解析式为， 将代入可得：， 化简可得：， 点在第二象限， ， ，即． （3）解：如图所示，过作轴于，过作，交于点，交抛物线于点，则，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴，， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即：①， 轴，， ， ， 即， 化简得：②，， 将②代入①得：    ， 即：， 即③， ， ，， 又∵， ， ④， ∵，， ∴， ∴， 即， 即⑤， 将⑤代入④得：， 化简得：，进一步整理为，交叉相乘可得，约分后为，即， 即：⑥， 将②代入⑥得：， 进一步化简，得：， 即⑦， ∵ 由③得：⑧， ， 即， 即， ， 化简得：， 解得：或， 在第二象限， ， 将代入⑦得：， 将，代入②得：， 故抛物线的解析式为：，即， ∴点的坐标为，点的坐标为，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在第一象限的抛物线上，在直线上， 令，整理得：， 解得：， ∵点在第一象限的抛物线上， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的性质，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数和二次函数的交点，本题属二次函数综合题目，难度较大，熟练应用以上知识是解题的关键． 11．(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 12．(1) (2)点的横坐标为或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可； （3）设，，，由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，从而可得，，求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，结合题意可得，由①可得，由②可得，从而得出，整理可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则，即， ∵，， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 连接、， ∵与相似， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 当时，，即， ∴， 过点作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）； 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； （3）解：设，，， 由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设直线的解析式可得， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵直线和交于点， ∴， 由①可得：，由②可得：， ∴， 整理可得： ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 13．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）过点作平分，交抛物线于点，交轴于点，根据角平分线的性质定理可得点即为所求，先求出点的坐标，证出，根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立，解方程组即可得；过D作交抛物线于，延长至F，根据余角的性质可得，根据角平分线的性质可得到直线的距离与到直线的距离相等，在轴上取点，过G作轴交于H，证明，得出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，与二次函数的解析式联立，解方程组即可得； （3）先根据二次函数与直线只有唯一一个公共点可得，，再将点代入两条直线的解析式可得，，从而可得是方程的两个实数根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作平分，交抛物线于点，交轴于点， ∴点到直线的距离与到直线的距离相等，即为所求， 由（1）已得：， 当时，，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（即为点）， ∴点的坐标为； 如图，过D作交抛物线于，延长至F， 则，， ∵， ∴， ∴到直线的距离与到直线的距离相等， 在轴上取点，过G作轴交于H， ， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组，解得或（即为点）， ∴， 综上，点D的坐标为或． （3）解：联立得：， ∵抛物线与直线只有唯一一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式，即， 同理可得：， ∵点在直线和直线上， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是方程，即的两个实数根， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、角平分线的性质定理、一元二次方程的根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 14．(1) (2)是直角三角形，见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）由、两点坐标、对称轴，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）利用勾股定理可求得，，的长，根据勾股定理的逆定理判断的形状； （3）先求得点坐标，根据相似三角形的判定与性质可得，依此可求的度数． 【详解】（1）解：把，代入二次函数得， ，即， 联立解得，，， 这个二次函数的表达式为． （2）解：由题意知：，，， ，，， ， 是直角三角形； （3）解：当时，， ， ，， ， ， ． 15．(1) (2)， (3)存在，或或 【分析】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象及性质，待定系数法和相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）过点D作轴交于点P，过点A作轴交于点Q，然后证明，表示出，求出直线的解析式为，点A的坐标为，点Q的坐标为，得到，设，则，，则，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）首先根据二次函数的解析式求出顶点坐标，然后证明，最后分情况利用相似三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得，． 抛物线的表达式为； （2）过点D作轴交于点P，过点A作轴交于点Q， ∴， ∴， ∴ ∵的面积为，的面积为， ∴ 设直线的解析式为，将，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，，解得，或， ∴点A的坐标为， 当时，， ∴Q的坐标为， ∴， 设，则，， ∴， 当时，的最大值为， 当时，， ∴ （3）∵， ． 又，， ，，． ， ． 如图所示：连接． ，， ，． ， 又， ∽． 当Q的坐标为时，∽． 过点C作，交x轴与点． 为直角三角形，， ∽． 又∽， ∽． ， 即， 解得：． ． 过点A作，交y轴与点． 为直角三角形，， ∽． 又∽， ∽． ，即， 解得：． ， 综上所述：当M的坐标为或或时，以A，C，M为顶点的三角形与相似． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $