专题07 圆的性质综合与切线相关证明计算（5大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题07 圆的性质综合与切线相关证明计算 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 垂径定理 题型02 圆周角定理 题型03 切线的判定与性质 题型04 阴影面积的计算 题型05 圆幂定理（相交弦、切割线）的应用 模块三、综合实战演练 一、切线的证明思路： 核心逻辑：紧扣切线判定的两大核心情形，围绕“切点/半径/垂直”做文章，无切点先定切点，有切点直接证垂直，辅助线为关键抓手。 情况1：已知直线与圆有公共点（有切点） 作辅助线：连接圆心与该公共点（即连半径）， 证明目标：证该半径与直线垂直（证∠=90°，可通过勾股定理、圆周角定理、平行线性质、全等/相似等推导）。 情况2：未知直线与圆的公共点（无切点） 作辅助线：过圆心作直线的垂线段， 证明目标：证该垂线段的长度等于圆的半径（利用距离公式、全等、勾股等计算长度相等）。 二、圆幂定理的应用技巧 核心逻辑：先辨模型再套乘积公式，以“同点出发”配线段，设参列方程求长度，直接用线段乘积关系替代相似推导，简化计算。 1. 三步辨型，精准套公式 - 相交弦：圆内两弦相交→交点分弦，积相等（）； - 切割线：圆外一点引切线+割线→切线平方=割线两段积（）； - 双割线：圆外一点引两条割线→同点出发，割线两段积相等（）。 2. 关键标量，按规则配对 所有线段均以交点/圆外点为起点，配对“整段×外段”（割线）或“弦的两段”（相交弦），避免线段错位。 3. 设参求解，方程化计算 遇未知线段，设其为，用含式子表示相关线段，代入乘积公式列方程，解出线段长（优先化简，避免复杂运算）。 4. 联动定理，补全条件 结合切线性质（切线⊥半径）、圆周角定理（等角转化）、勾股定理，补全半径、线段长等关键条件，适配公式应用。 题型01 垂径定理 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，点F为上一点，且满足，，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 2．如图，是的直径，弦于点E，，如果，则的半径长为（   ） A． B．2 C．4 D．1 3．如图，是的直径，与相切于点B，连接，与圆交于点F，作，交于点D，若，，则长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 5．如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 核心：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，知二推三（直径、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧，排除平分弦为直径的情况）。 1. 解题步骤：① 连半径，作弦心距，构造直角三角形（半径为斜边，弦心距、半弦为直角边）；② 结合勾股定理求弦长、半径、弦心距；③ 利用弧的平分关系推角度/弧长。 2. 关键：弦心距是核心辅助线，遇弦长/弦距/半径问题必作；注意“平分弦的直径垂直弦”仅适用于弦非直径。 题型02 圆周角定理 1．如图，量角器的直径与含30°角的直角三角板的斜边重合，D为上一点，作射线交于点．若，则点E在量角器上所对应的读数为（   ） A．20°，160° B．30°，150° C．40°，140° D．50°，130° 2．如图，点A，点B，点C在上，连接，连接并延长交于点D．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，弦，弦交于，若，则弦的长为（    ）． A．12 B．10 C．9 D．8 4．如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为______． 5．如图，是的直径，点在半圆上，与相切于点，若，则的度数为_______． 核心：同弧/等弧所对的圆周角相等，且等于所对圆心角的一半；直径所对圆周角为直角（90°），逆定理也成立。 1. 解题步骤：① 标同弧/等弧对应的圆周角、圆心角，找等角/倍半角关系；② 遇直径，直接得直角三角形，用勾股/相似；③ 圆内接四边形利用“对角互补、外角等于内对角”推角度。 2. 关键：角的转化优先找同弧所对角，直径是直角的“天然条件”，遇直径连弦即得直角。 题型03 切线的判定与性质 1．已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． (3)若，，求的半径的长． 2．如图，O为正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点M，与，分别相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若正方形的边长为2，求的半径． 3．如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 4．如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 5．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径长． 判定（证直线是圆的切线） 1.已知公共点：连半径，证垂直（半径⊥直线，用直角、勾股、相似等推90°）； 2.未知公共点：作垂线，证垂线段等于半径（距离法）。 性质（已知直线是圆的切线） 1.核心结论：切线⊥过切点的半径（切点连半径，必垂直）； 2.延伸：切线长定理（从圆外一点引两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分切线夹角）。 题型04 阴影面积的计算 1．如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，点B和点D分别是和的中点，，图中阴影部分的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 5．如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 核心：割补法为主，公式法为辅，将不规则阴影转化为“圆/扇形/三角形/矩形”的和差，优先找等积变换简化。 1. 常用转化：① 割：拆阴影为几个规则图形之和；② 补：用大规则图形减多余规则图形；③ 旋转移位：将分散阴影拼接为一个整体。 2. 核心公式：扇形面积（为圆心角度数，为弧长）；圆面积。 3. 关键：遇扇形先定圆心角和半径；阴影含弧线必关联扇形，含直线必关联三角形/矩形。 题型05 圆幂定理（相交弦、切割线）的应用 1. 如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）． 2. 古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 3. 请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ，， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角），，， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），． 完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 4．阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据） ∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 5．（2025·广东深圳校考一模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用． (1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点， ①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F； ③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由． (2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度． 核心：圆幂定理是线段乘积的“万能结论”，直接套公式推线段长度，无需复杂相似推导。 1. 三大结论： - 相交弦定理：圆内两弦相交，； - 切割线定理：圆外一点引切线和割线，（为切线，为割线）； - 割线定理：圆外一点引两条割线，。 2. 解题步骤：① 标图识别定理类型（相交/切割/双割线）；② 找准对应线段，直接套乘积公式；③ 设未知量，列方程求解线段长。 3. 关键：线段乘积需按“同一点出发”配对；切割线定理中切线是“平方项”，优先识别切线。 1．如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中， 是直径， 是弦， 于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 5．如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为________． 6．如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 7．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为__________． 8．如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________． 9．如图，是的直径，是的弦，是的切线，为切点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 10．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点是上的一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 11．如图①，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D，连接并延长，交于点H，交的延长线于点． (1)求证：为的切线． (2)如图②，记（1）中的切点为E，连接，．求证：． (3)若的半径为3，，求的长． 12．如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，求的值． 13．如图，是的直径，，点在直径上运动，，垂足为C，，在右侧作的切线，切点为，连接． (1)如图1，当点与点重合时，连接． ①求证：； ②直接写出此时与的位置关系（不说理由）； (2)设线段与交于点，如图2，当时，求劣弧的长； (3)直接写出长的最小值． 14．如图，是的直径，是的切线，切点为，连接，过点作交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的性质综合与切线相关证明计算 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 垂径定理 题型02 圆周角定理 题型03 切线的判定与性质 题型04 阴影面积的计算 题型05 圆幂定理（相交弦、切割线）的应用 模块三、综合实战演练 一、切线的证明思路： 核心逻辑：紧扣切线判定的两大核心情形，围绕“切点/半径/垂直”做文章，无切点先定切点，有切点直接证垂直，辅助线为关键抓手。 情况1：已知直线与圆有公共点（有切点） 作辅助线：连接圆心与该公共点（即连半径）， 证明目标：证该半径与直线垂直（证∠=90°，可通过勾股定理、圆周角定理、平行线性质、全等/相似等推导）。 情况2：未知直线与圆的公共点（无切点） 作辅助线：过圆心作直线的垂线段， 证明目标：证该垂线段的长度等于圆的半径（利用距离公式、全等、勾股等计算长度相等）。 二、圆幂定理的应用技巧 核心逻辑：先辨模型再套乘积公式，以“同点出发”配线段，设参列方程求长度，直接用线段乘积关系替代相似推导，简化计算。 1. 三步辨型，精准套公式 - 相交弦：圆内两弦相交→交点分弦，积相等（）； - 切割线：圆外一点引切线+割线→切线平方=割线两段积（）； - 双割线：圆外一点引两条割线→同点出发，割线两段积相等（）。 2. 关键标量，按规则配对 所有线段均以交点/圆外点为起点，配对“整段×外段”（割线）或“弦的两段”（相交弦），避免线段错位。 3. 设参求解，方程化计算 遇未知线段，设其为，用含式子表示相关线段，代入乘积公式列方程，解出线段长（优先化简，避免复杂运算）。 4. 联动定理，补全条件 结合切线性质（切线⊥半径）、圆周角定理（等角转化）、勾股定理，补全半径、线段长等关键条件，适配公式应用。 题型01 垂径定理 1．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，点F为上一点，且满足，，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】连接，由垂径定理得到，根据圆周角定理，得到，由此得到是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的直径垂直于弦， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在，，即， ∴， ∴． 2．如图，是的直径，弦于点E，，如果，则的半径长为（   ） A． B．2 C．4 D．1 【答案】B 【分析】连接，，证明为等边三角形，再根据三角函数解答即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的直径，弦， ，， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ， ， ， ， ． 3．如图，是的直径，与相切于点B，连接，与圆交于点F，作，交于点D，若，，则长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明，由垂径定理求得，求得，解直角三角形求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 【答案】3 【分析】由垂径定理得，设，则，，，根据勾股定理得，求出或（舍去），代入计算即可． 【详解】解：∵是的直径，于M，， ∴， ∵, 设，则，，， 根据勾股定理得即， 解得或（舍去）， ∴． 5．如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 核心：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，知二推三（直径、垂直弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧，排除平分弦为直径的情况）。 1. 解题步骤：① 连半径，作弦心距，构造直角三角形（半径为斜边，弦心距、半弦为直角边）；② 结合勾股定理求弦长、半径、弦心距；③ 利用弧的平分关系推角度/弧长。 2. 关键：弦心距是核心辅助线，遇弦长/弦距/半径问题必作；注意“平分弦的直径垂直弦”仅适用于弦非直径。 题型02 圆周角定理 1．如图，量角器的直径与含30°角的直角三角板的斜边重合，D为上一点，作射线交于点．若，则点E在量角器上所对应的读数为（   ） A．20°，160° B．30°，150° C．40°，140° D．50°，130° 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 取的中点，连接，则，由三角形外角的性质可得到，根据“直径所对的圆周角等于”可知点在上，即可求出，，即可得出点在量角器上所对应的读数． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ， ， 点在上， ∴， ． 则点在量角器上所对应的读数为，． 故选：C． 2．如图，点A，点B，点C在上，连接，连接并延长交于点D．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆周角定理求出，及，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据三角形外角的性质可得，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， 解得． 3．在中，弦，弦交于，若，则弦的长为（    ）． A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形性质、圆周角定理证明，再根据相似三角形的性质求的长即可． 【详解】解：如图：连接 ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． 4．如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】由点是的中点，则，由等弧所对的圆周角相等得，所以，又是的直径，则，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 5．如图，是的直径，点在半圆上，与相切于点，若，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据，以及切线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵是的切线 ∴ ∴ 核心：同弧/等弧所对的圆周角相等，且等于所对圆心角的一半；直径所对圆周角为直角（90°），逆定理也成立。 1. 解题步骤：① 标同弧/等弧对应的圆周角、圆心角，找等角/倍半角关系；② 遇直径，直接得直角三角形，用勾股/相似；③ 圆内接四边形利用“对角互补、外角等于内对角”推角度。 2. 关键：角的转化优先找同弧所对角，直径是直角的“天然条件”，遇直径连弦即得直角。 题型03 切线的判定与性质 1．已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明． (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得直线垂直平分，进而得到，由等边对等角得到，再由切线的性质得到，即可证明结论； （2）由圆周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上则，进而证明可得，再整理即可解答； （3）设交点为，由垂径定理可得，进而得到；由可得；再根据可得则、，进而得到即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵的直径垂直于弦， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：，证明如下： 是的直径， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，设交点为， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 的半径的长为． 2．如图，O为正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点M，与，分别相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若正方形的边长为2，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过点O作，垂足为N，根据切线的性质得出，根据正方形的性质和，，得出，即可得与相切． （2）设的半径为R，则，求出，，在中，根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接，过点O作，垂足为N， ∵与相切于M， ∴， ∵正方形中，平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． （2）解：设的半径为R，则． ∵正方形的边长为2， ∴，． 在中， ∵， ∴， 解得． 3．如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，先由圆周角定理求解，即可求解，再由四边形内角和等于求解即可； （2）过点O作，垂足为D，先由等腰三角形得到，再解即可求解半径． 【详解】（1）解：证明：连接 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵与相切于点A ∴ 又∵，， ∴ 又∵点B是上的一点 ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为D ∵，， ∴ 在中，， ∵，， ∴ ∴的半径为2． 4．如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，再证明可得即可证明结论； （2）设，则；在中运用勾股定理列方程求得，即；设，在中，，即，解得，则；最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵点D在圆上， ， ， ∴， ， ， ∴直线与相切． （2）解：设， ，，为半径， ，是的切线， 在中，， 即， 解得， ． 是的切线，切点分别为B，D， ∴， 设，在中，， 即， 解得， ， ∴在中，． 5．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）过点作于点，由垂线的定义和直角三角形两锐角互余可得；由切线的性质得到，则，据此可证明，由角平分线的性质得到，则可证明是的切线； （2）过点作于点，由（1）可得，由切线的性质得到，解直角三角形得到，则；根据，得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点， ， ， ， 又为的切线， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 是的切线； （2）解：如图所示，过点作于点， 由（1）可得， 为的切线， ， ， 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为3． 判定（证直线是圆的切线） 1.已知公共点：连半径，证垂直（半径⊥直线，用直角、勾股、相似等推90°）； 2.未知公共点：作垂线，证垂线段等于半径（距离法）。 性质（已知直线是圆的切线） 1.核心结论：切线⊥过切点的半径（切点连半径，必垂直）； 2.延伸：切线长定理（从圆外一点引两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分切线夹角）。 题型04 阴影面积的计算 1．如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据阴影部分的面积等于，进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵以边的中点O为圆心的半圆与相切， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴ ． 2．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，点B和点D分别是和的中点，，图中阴影部分的面积为，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：该阴影部分的面积为， 解得：． 3．如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，得出，，通过面积的计算得出，结合扇形公式进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点，对各区域面积进行标注，如下图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，线段是的直径，点是上一点，连接，，以点为圆心，线段长为半径所作的弧恰好经过点．若的半径为2，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【分析】分别求出的面积和阴影的面积，然后利用概率公式求解． 【详解】解：∵的半径为2， ∴， ∵线段是的直径，点C是上一点， ∴，， ∵， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ ∴这个点取在阴影部分的概率是． 5．如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 核心：割补法为主，公式法为辅，将不规则阴影转化为“圆/扇形/三角形/矩形”的和差，优先找等积变换简化。 1. 常用转化：① 割：拆阴影为几个规则图形之和；② 补：用大规则图形减多余规则图形；③ 旋转移位：将分散阴影拼接为一个整体。 2. 核心公式：扇形面积（为圆心角度数，为弧长）；圆面积。 3. 关键：遇扇形先定圆心角和半径；阴影含弧线必关联扇形，含直线必关联三角形/矩形。 题型05 圆幂定理（相交弦、切割线）的应用 1. 如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）． 【答案】②③ 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC， ∴△PAD∽△PCB，∴，∴①错误；②正确； ③连接AC，BD，∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB， ∴，∴，正确；故答案为：②③． 2. 古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 【答案】（新知探究）：见详解；（类比探究）：；（延伸结论）： 【详解】（新知探究）：∵， ∴，∴，； （类比探究）：如图所示：连接，       ∵四边形是圆内接四边形，， ，，； （延伸结论）：如图所示：连接， 是的切线，，，， 是的直径，，，， ，，， ，，，． 3. 请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ，， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角），，， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），． 完成下列任务：(1)将上述证明过程补充完整；(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；；(2)①；②，证明见解析 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点，，， 是直径，∴（直径所对的圆周角是直角），，， 又（同弧所对的圆周角相等），．故答案为：；；； （2）解：①如图，是的切线，切点为，， 又，，，即：，，解得：； ②如图，连接，是直径，，， 又，是的角平分线，即：， 又是的切线，，． 4．阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据） ∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；(2) 【详解】（1）连接．∵，． ∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去），的半径为． 5．（2025·广东深圳校考一模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用． (1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点， ①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F； ③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由． (2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度． 【答案】(1)见解析(2)证明见解析， 【详解】（1）作图如下：连接OE，EQ，∵以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；∴QE=QP， ∵MN是OP的中垂线，∴OQ=OP，点O在圆Q上，∴OQ=EQ=PQ，∴∠EOQ=∠OEQ，∠PEQ=∠EPQ， ∵∠EOP+∠OEQ+∠QEP+∠EPQ=180°，∴2（∠OEQ+∠QEP）=180°， ∴∠OEQ+∠QEP=90°，即∠OEP=90°，OE垂直EP，∴PE是圆O的切线． （2）证明：连接BE，OA， ∵EP是圆O的切线， AB为圆O的直径，∴∠OEP=90°，∠BEA=90°，∴∠BEO=∠AEP ∵OE和OB为圆O的半径，∴∠BEO=∠EBO，∴∠EBO=∠AEP， ∵∠EPB=∠EPA，∴，∴，∴． ∵OB=4，PB=14，∴AB=2OB=8，AP=BP－AB=14－8=6，∴，∴． 核心：圆幂定理是线段乘积的“万能结论”，直接套公式推线段长度，无需复杂相似推导。 1. 三大结论： - 相交弦定理：圆内两弦相交，； - 切割线定理：圆外一点引切线和割线，（为切线，为割线）； - 割线定理：圆外一点引两条割线，。 2. 解题步骤：① 标图识别定理类型（相交/切割/双割线）；② 找准对应线段，直接套乘积公式；③ 设未知量，列方程求解线段长。 3. 关键：线段乘积需按“同一点出发”配对；切割线定理中切线是“平方项”，优先识别切线。 1．如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弧弦关系得,由等腰三角形性质得，由直径性质得，由直角三角形性质得，即得答案． 【详解】解：∵点C，D在上，， ∴， ∵， ∴, ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根据可得，根据邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得，最后根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中， 是直径， 是弦， 于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】可先求出半径和的长度，再根据垂径定理，得出，在中，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得： ， ∴． 4．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】作，设，先说明四边形是矩形，得到，证明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，作于点， 设， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点到水面的距离为， ∴，则， ∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，，即， 整理得：， 解得：， ∴或， ∵， ∴点是的中点，即， ∴或， 则水面宽度为或． 5．如图，内接于，为的直径，点B是的中点，延长至点D，连接，若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据题意得，，，，求得，，根据计算即可． 【详解】解：∵内接于，为的直径，点B是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 6．如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，，由此求出，观察图形可得图形关于的轴对称图形，阴影部分面积等于. 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是的中点，即， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积等于 ， 7．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】观察图形可知，，则需求得、、、的度数，根据矩形和切线的性质可得，根据垂径定理得的长，由圆周角定理可得， 再由含角直角三角形的性质结合勾股定理即可求得、的长，即可得解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 边与相切于点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 8．如图，为半圆的直径，弦，点在上，连接，．若，，则的值为___________． 【答案】 【分析】过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h，易证明四边形是矩形，进而得到，由垂径定理得到、，根据勾股定理得到的长，在中，，在中，，进而得到关于的等式，利用、求解即可． 【详解】解：过点P作于点 H，连接，过点作于点，设半圆 O 的半径为 R，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 h， 、， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径的一部分， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， ， ， 、， ． 9．如图，是的直径，是的弦，是的切线，为切点，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理以及圆周角定理和扇形的面积公式，解题关键在于利用切线性质证明三角形全等． （1）连接，由圆周角定理可得，由是的切线且为切点，则，结合四边形内角和，，可得与相切． （2）连接，先证，，利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：相切． 连接，如图 ， ． 是的切线且为切点， ． ， 在四边形中， ． 故． 与相切． （2）解：如图2，连接． ，是的切线， ． 在和中 ． ，． 在中， ， ． ． ． ． ． 10．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点是上的一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的应用，关键是掌握切线的判定定理，利用全等三角形证明垂直关系，结合直角三角形的特殊性质建立方程求解． （1）通过连接，利用平行线性质、等腰三角形性质证明，得到，从而证明，证得是的切线； （2）先由的值得出，利用切线长定理得到，再结合三角函数求出的长度，利用直角三角形中角的性质得到，结合的表达式建立方程求解半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即，解得， 故的半径长为2． 11．如图①，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D，连接并延长，交于点H，交的延长线于点． (1)求证：为的切线． (2)如图②，记（1）中的切点为E，连接，．求证：． (3)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点O作于点E，证明，得出，说明是的半径，即可得出答案； （2）连接，根据切线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明两个三角形相似； （3）根据切线的性质和切线长定理得出，，根据勾股定理得出，根据三角函数定义得出，证明，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则， 与相切于点D， ∴， ∴， 为等腰三角形， ∴， 又O是底边的中点， ∴， ∴， ，即是的半径． 为的切线． （2）证明：如图，连接， 与相切于点E， ∴， ∴， 为的直径， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图．，为的切线，切点分别为D，E， ∴，， 的半径为3， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 12．如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 13．如图，是的直径，，点在直径上运动，，垂足为C，，在右侧作的切线，切点为，连接． (1)如图1，当点与点重合时，连接． ①求证：； ②直接写出此时与的位置关系（不说理由）； (2)设线段与交于点，如图2，当时，求劣弧的长； (3)直接写出长的最小值． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)劣弧的长为 (3)3 【分析】（1）①连接，易证为的切线，根据切线长定理，即可得出结论；②证明，进而推出，从而证出结论； （2）连接，利用勾股定理求出，易证是等腰直角三角形，得到，再利用弧长公式计算即可； （3）设交于点D，延长线交于点E，设，利用相似三角形的性质，可得出的长和y与x之间的关系式，进而求得的最小值． 【详解】（1）①证明：连接， ∵，且为半径， ∴为的切线， ，为的切线， ∴， ∵点与点重合， ∴； ②解：，理由如下： ∵， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴劣弧的长为； （3）解：设交于点D，延长线交于点E，连接， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 连接，过T作，交于点M，连接，则为圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， ∴的最小值为． 14．如图，是的直径，是的切线，切点为，连接，过点作交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）连接交于点，设，根据勾股定理，得，再利用三角形的面积，勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， 又因为是半径， 是的切线； （2）解：连接交于点， 的半径为6， ， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ， ， 解得， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $