专题04 利用三角形全等测距离（五大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版新教材）

专题04 利用三角形全等测距离（五大题型） 【题型1 添加条件使三角形全等】.........................................................................................1 【题型2 全等三角形判定与性质的综合问题】......................................................................5 【题型3 全等三角形在生活中的实际应用】..........................................................................12 【题型4 垂线模型】.............................................................................................................18 【题型5 倍长中线法型】.......................................................................................................33 【题型1 添加条件使三角形全等】 1．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，可以判定； 当时，则，可以判定； 当时，可以判定； 当时，无法判定. 2．如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 3．如图，已知，欲证，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知一边一角，再补充一组角相等，即可证，结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ B选项补充 ∴，即 ∴ 补充其他选项都不能证明， 故选：B． 4．如图，，添加一个条件使，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 由条件可得，结合，则还需要一边或一角，再结合选项可得答案． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，即，结合，，利用可以证明，故选项符合题意； B、添加，结合，，不可以利用证明，故选项不符合题意； C、添加，结合，不可以证明，故选项不符合题意； D、添加，不可以证明，故选项不符合题意． 故选：A． 5．能判定的条件是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 需依据全等三角形的判定定理（）对各选项逐一分析，注意不能判定两个三角形全等． 【详解】解：选项A：，，，属于两边及其中一边的对角对应相等，∴无法判定 选项B：，，，属于两边及其中一边的对角对应相等，∴无法判定 选项C：，，，属于两边及其中一边的对角对应相等，∴无法判定 选项D：∵，，，即两边及其夹角对应相等 ∴根据全等判定定理，， 故选：D． 6．如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③；④，其中能判定的条件个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 由题意易得，然后可根据全等三角形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当添加时，则可根据“”判定； 当添加时，则有，即，所以根据“”判定； 当添加时，不能判定； 当添加时，则可根据“”判定； 综上符合条件的有①②④，共3个． 故选C． 【题型2 全等三角形判定与性质的综合问题】 7．已知：如图，在中，于点D，为上一点，且，交于点． (1)求证：； (2)连接，作交于点G，求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再证明，即可利用证明，则可证明； （3）设，则，利用三角形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∵ ， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 8．王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40cm (3) 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ； （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为． （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积 ． 9．如图，在和中， ，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据已知角和边的条件判定三角形全等，再利用全等三角形对应边相等求解的长度．首先根据已知的两组角相等和一组边相等，利用判定定理证明和全等；再根据全等三角形对应边相等，结合已知，即可得到的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 10．如图，点B，E，C，F在同一直线上，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）由，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 11．如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在多边形中，，于点F，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据题意，证明，然后即可求解； （2）先证明，得到，然后证明，得到，，最后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 【题型3 全等三角形在生活中的实际应用】 14．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 15．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图         设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米． 任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由． 任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离． 【答案】（1）见解析；（2）50米 【分析】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），对顶角相等等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得； （2）利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差说明即可． 【详解】（1）解：理由如下：由作图知，（对顶角）， ∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E， ∴． ∴， ∴． （2）解：在和中， ∵，，（对顶角）， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴米． 16．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲：可行；乙：可行 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）根据全等三角形的判定方法，即可判断是否可行； （2）根据全等三角形的判定及性质即可求得答案． 【详解】（1）解：甲：可行； 乙：可行； （2）甲可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 乙可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 17．根据以下材料，完成探究任务． 背景 为测量某池塘A，B之间的距离，小颖设计出如下方案 测量示意图 测量步骤 如图，在平地上取、两点，连接、交于点O，测得，，测量的周长为，即可计算的距离． 问题解决 任务一：该方案是否可行？若可行，直接回答；若不可行，说明原因； 任务二：若方案可行，请写出计算距离的过程；若不可行，请修改方案并说明理由． 【答案】任务一：可行；任务二：见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键． 任务一：根据已知条件分析即得该方案可行； 任务二：根据，，得，可得，即得小颖同学的方案可行． 【详解】任务一：解：∵该方案可以证明， ∴． 故答案为：可行． 任务二：解：理由如下， ∵，，且， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故该方案可行． 18．兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭A点处，正对他的黄河中点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案： 课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离 测量工具 皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点； ②从点沿河岸继续向前走与等长的距离，到达点； ③在点向左转（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像与羊皮筏子在同一直线上时，停下记作点． 测量数据 米，米，米 (1)凉亭A与羊皮筏子之间的距离是___________米； (2)请说明小明做法的正确性． 【答案】(1)20 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． （1）由补充完整的图形可知，，且与是对应边，可知米； （2）由题意可知米，，与是对顶角，由“”可判定，则米，说明小明的方案是正确的． 【详解】（1）解：由得米， 故答案为：20 （2）解：由题意可知，， 又 ∴， ∴米， 即测得的长就是凉亭与游船之间的距离． 因此，小明的方案是正确的． 19．为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下方案：如图，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点作的垂线，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上．则测出的长即是的距离． (1)该方案是否可行？请说明理由： (2)小明说在该方案中，并不一定需要，，只需要______就可以了，请把小明所说的条件补上． 【答案】(1)该方案可行，详见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的应用． （1）利用证明，即可； （2）利用得到当时，即可． 掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：该方案可行 理由如下：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．故该方案可行． （2）∵， ∴只需要，即可得到，从而得到； 故答案为：． 【题型4 垂线模型】 20．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 22．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 23．是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 24．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 【题型5 倍长中线法模型】 25．如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：延长至，使， 是边上的中线， ， ， （）， ， ， ， ， 故选：A． 26．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 27．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 【答案】（1）（2）②④（3）见解析 【分析】（1）通过倍长中线构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质和三角形三边关系定理求解； （2）通过倍长中线构造全等三角形，根据中线的定义、等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质进行判断； （3）通过倍长中线构造全等三角形，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理进行证明. 【详解】（1）如图延长到点，使得，连接. 是的中线， ， 在和中， ， ． ， ， （2）如图②，延长至点H，使，连接DH． 是中线， ． 又 ， ， ，． ， ． ，， ． AD为中线， ， ． 又 ， ， ，， ， 故正确选项的序号是②④． （3）如图①，延长OE至点H，使，连接CH．                 E是AC的中点， ． 又 ，， ， ，， ， ． 与互补， ， ． 又 ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形三边关系，通过倍长中线构造全等三角形，将分散的线段和角集中到一个三角形中，利用三角形的性质进行求解 28．【阅读理解】 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； A． SSS    B． SAS    C． AAS    D． ASA （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是 ． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2， 是的中线，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）B；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了中线的应用，三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质． （1）延长到点E，使，连接，证明，根据的是，解答即可； （2）根据，得到，利用三角形三边关系解答即可； （3）延长到点G，使，连接，先证明，再证明即可得证． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）， ， ， ， ， ， 故， 故答案为：； （3），理由如下： 延长到点G，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 29．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）见解析（3）结论：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明即可解决问题． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，且， ， ， ， ． （2）解：如图，延长到，使得，连结，． ∵在中，是边上的中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ，， ． （3）解：结论：． 理由：延长到，使得． ， ， ，        ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 30．综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据证明； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：延长 到点， 使 连接， 是 的中点， ， 在 和  中， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，延长 交 的延长线于点，    ，， ，      是 的中线， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 31．【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【答案】（1）；（2）6；（3）见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）过点D作，根据全等三角形的判定和性质得出，，求解即可； （3）证明，得出；延长，截取，连接，证明，得出，，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （3）将延长至，使，连接，证明，即可得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ， 在中，， ； 故答案为：； （3）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 利用三角形全等测距离（五大题型） 【题型1 添加条件使三角形全等】.........................................................................................1 【题型2 全等三角形判定与性质的综合问题】......................................................................2 【题型3 全等三角形在生活中的实际应用】..........................................................................5 【题型4 垂线模型】...............................................................................................................8 【题型5 倍长中线法型】.......................................................................................................12 【题型1 添加条件使三角形全等】 1．如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，欲证，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，添加一个条件使，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 5．能判定的条件是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③；④，其中能判定的条件个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 全等三角形判定与性质的综合问题】 7．已知：如图，在中，于点D，为上一点，且，交于点． (1)求证：； (2)连接，作交于点G，求证：； (3)若，求的长． 8．王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 9．如图，在和中， ，求的长． 10．如图，点B，E，C，F在同一直线上，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 11．如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 12．如图，在多边形中，，于点F，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 13．如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【题型3 全等三角形在生活中的实际应用】 14．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 15．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图         设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米． 任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由． 任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离． 16．某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 17．根据以下材料，完成探究任务． 背景 为测量某池塘A，B之间的距离，小颖设计出如下方案 测量示意图 测量步骤 如图，在平地上取、两点，连接、交于点O，测得，，测量的周长为，即可计算的距离． 问题解决 任务一：该方案是否可行？若可行，直接回答；若不可行，说明原因； 任务二：若方案可行，请写出计算距离的过程；若不可行，请修改方案并说明理由． 18．兰州黄河风情线是兰州的城市名片，小明站在中山桥附近的凉亭A点处，正对他的黄河中点停有一艘羊皮筏子（与河岸垂直）．他想测量凉亭与羊皮筏子之间的距离，制定了如下方案： 课题 测兰州黄河风情线凉亭与羊皮筏子的距离 测量工具 皮尺等． 测量方案示意图 测量步骤 ①小明沿黄河风情线（河岸）走到黄河母亲雕像处，记为点； ②从点沿河岸继续向前走与等长的距离，到达点； ③在点向左转（朝向远离河岸方向）直行，直到观察到黄河母亲雕像与羊皮筏子在同一直线上时，停下记作点． 测量数据 米，米，米 (1)凉亭A与羊皮筏子之间的距离是___________米； (2)请说明小明做法的正确性． 19．为了测量一池塘的两端A，B之间的距离，同学们想出了如下方案：如图，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点作的垂线，在垂线上选一点E，使A、C、E三点在一条直线上．则测出的长即是的距离． (1)该方案是否可行？请说明理由： (2)小明说在该方案中，并不一定需要，，只需要______就可以了，请把小明所说的条件补上． 【题型4 垂线模型】 20．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 21．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 22．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 23．是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 24．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【题型5 倍长中线法模型】 25．如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 27．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图①，在中，，．AD是的中线，求AD的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图①，①延长AD到点E，使得；②连接BE，通过三角形全等把AB，AC，2AD转化在中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为______________________． 【问题解决】 （2）如图②，AD是的中线，AE是的中线，．下列四个选项中，正确的是________（填序号）． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图③，，，与互补，连接AC，BD，E是AC的中点．试说明：． 28．【阅读理解】 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ； A． SSS    B． SAS    C． AAS    D． ASA （2）利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是 ． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中； 【问题解决】 （3）如图2， 是的中线，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 29．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点E使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．的取值范围是_________________． （2）如图2，在中，是边上的中线，点E，F分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点H，使……请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点E，F分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 30．综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 31．【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 32．（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $