专题01 认识三角形（十大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版新教材）

专题01 认识三角形（十大题型） 【题型1 三角形的识别与有关概念】......................................................................................1 【题型2 三角形的分类】.........................................................................................................2 【题型3 构成三角形的条件】................................................................................................3 【题型4 确定第三边的取值范围】.........................................................................................3 【题型5 等腰三角形的定义】................................................................................................4 【题型6 画三角形的高】........................................................................................................4 【题型7 三角形角平分线的定义】........................................................................................5 【题型8 与三角形中线有关的运算】....................................................................................6 【题型9三角形内角和的证明】.............................................................................................7 【题型10与平行线有关的三角形内角和问题】....................................................................9 【题型1 三角形的识别与有关概念】 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 3．若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 4．下列说法中正确的是(   ) A．直角三角形的高只有一条 B．锐角三角形的三条高交于三角形内部 C．直角三角形的高没有交点 D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点 5．关于三角形的三条高，下列说法正确的是（    ） A．三条高都在三角形的内部 B．三条高都在三角形的外部 C．至多有一条在三角形的内部 D．至少有一条在三角形的内部 【题型2 三角形的分类】 6．在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 7．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 10．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【题型3 构成三角形的条件】 11．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 13．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 14．现有长度为和的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒首尾相连构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 15．已知三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型4 确定第三边的取值范围】 16．已知三角形的三边长分别为，若x为整数，则满足条件的x的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 17．三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知三角形的三边长分别为3，，，则的取值可以是（   ）． A．3 B． C．4 D． 19．如果三角形的两边长分别为和，则周长的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【题型5 等腰三角形的定义】 20．已知等腰三角形的两个边长分别为3和7，则这个三角形的另一条边长是（    ） A．3或7 B．3 C．7 D．以上均不对 21．等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 22．已知一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D．或 23．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【题型6 画三角形的高】 24．下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 25．如图，中边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 26．用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 27．如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【题型7 三角形角平分线的定义】 28．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 29．如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 30．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 31．如图，在中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（    ） A．B． C．平分 D． 32．如图，在中，，则下列说法中，正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C．是的高线 D．是的中线 【题型8 与三角形中线有关的运算】 33．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 34．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 35．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 36．如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是______． 【题型9三角形内角和的证明】 37．定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 38．在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 39．如图，在中，为延长线上一点，于，，，则的度数为（     ）. A． B． C． D． 40．著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 41．如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【题型10与平行线有关的三角形内角和问题】 42．如图，已知直线，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 43．如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 44．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，若，，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 45．如图，已知，，，则等于_____． 46．如图，，，垂足为点，如果，那么______    47．如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 认识三角形（十大题型） 【题型1 三角形的识别与有关概念】......................................................................................1 【题型2 三角形的分类】.........................................................................................................3 【题型3 构成三角形的条件】................................................................................................5 【题型4 确定第三边的取值范围】.........................................................................................7 【题型5 等腰三角形的定义】................................................................................................9 【题型6 画三角形的高】........................................................................................................11 【题型7 三角形角平分线的定义】........................................................................................13 【题型8 与三角形中线有关的运算】...................................................................................15 【题型9三角形内角和的证明】.............................................................................................18 【题型10与平行线有关的三角形内角和问题】....................................................................22 【题型1 三角形的识别与有关概念】 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 3．若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短， ∴， 故选C． 4．下列说法中正确的是(   ) A．直角三角形的高只有一条 B．锐角三角形的三条高交于三角形内部 C．直角三角形的高没有交点 D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点 【答案】B 【分析】根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点进行判断即可． 【详解】解：A．直角三角形的高有三条，故选项错误，不符合题意； B．锐角三角形的三条高交于三角形内部，故选项正确，符合题意； C．直角三角形的高交于直角顶点，故选项错误，不符合题意； D．钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点，熟练掌握三角形高的特点是解题的关键． 5．关于三角形的三条高，下列说法正确的是（    ） A．三条高都在三角形的内部 B．三条高都在三角形的外部 C．至多有一条在三角形的内部 D．至少有一条在三角形的内部 【答案】D 【分析】根据三角形的高的概念解答即可． 【详解】解：锐角三角形有三条高，高都在三角形内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，所以A、B、C都错误，只有D是正确的． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部． 【题型2 三角形的分类】 6．在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类．根据三角形内角和为，求出的度数，再根据角的大小判断三角形形状． 【详解】解：在中，三角形内角和为，已知，， 则， 所以是钝角三角形． 故选：B． 7．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 8．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 9．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 10．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选C． 【题型3 构成三角形的条件】 11．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系，若两条较短边的和大于最长边，即可组成三角形，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求； B选项：，满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合要求； C选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求； D选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求． 12．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】验证两条较短边的长度和大于最长边的长度即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系， 、∵较短边为，，最长边为，， ∴能组成三角形，符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意； 、∵较短边为，，最长边为，， ∴不能组成三角形，不符合题意． 13．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每组中较短的两边长度相加，和大于最长边即可组成三角形． 【详解】解：A. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，A不符合题意； B. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，B不符合题意； C. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒不能组成三角形，C不符合题意； D. ∵， ∴ 长度为的三根小木棒能组成三角形，D符合题意． 14．现有长度为和的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒首尾相连构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两较短的小棒的长度之和与较长小棒的长度的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C 15．已知三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三边关系得到第三边的取值范围，进而判断出选项中不符合该范围的数值． 【详解】解：三角形的两边长分别为和，设第三边长为， 由三角形三边关系可得， 即， 选项中不满足，其余选项均满足， 此三角形第三边的长不可能是． 故选：． 【题型4 确定第三边的取值范围】 16．已知三角形的三边长分别为，若x为整数，则满足条件的x的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的应用．利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”确定x的取值范围，再找出范围内的整数即可得出答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为， ∴，即， ∵x为整数， ∴x 的值为5、6、7、8、9，共5个． 故选B 17．三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4 故选：D． 18．已知三角形的三边长分别为3，，，则的取值可以是（   ）． A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是关键． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边，列不等式求解即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得， ， 解得，，只有选项D符合． 故选：D． 19．如果三角形的两边长分别为和，则周长的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，熟记两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系，第三边的取值范围为，周长，故可得的取值范围． 【详解】解：三角形的两边长分别为和， 第三边满足：，即． 又周长， 当时，；当时，， ． 故选：D． 【题型5 等腰三角形的定义】 20．已知等腰三角形的两个边长分别为3和7，则这个三角形的另一条边长是（    ） A．3或7 B．3 C．7 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题根据等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论，再利用三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形有两边相等，已知两边长为3和7，因此分两种情况讨论： 情况1：若腰长为3，则三边长为 ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，因此这种情况不成立，舍去； 情况2：若腰长为7，则三边长为 ∵，，满足三角形三边关系，因此这种情况成立，即这个三角形的另一条边长为7． 21．等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，即可计算得到周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去； 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 此时三角形的周长为． 22．已知一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，分腰长为和腰长为两种情况讨论，利用三角形三边关系验证是否构成三角形，再计算周长即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当腰长为，底边长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形， 此时三角形的周长为； 当腰长为，底边长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形， 此时三角形的周长为； 综上，三角形的周长为或， 故选：． 23．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．根据等腰三角形的性质，设腰长为a，底边长为b，则周长为，已知一边长为5，需分情况讨论5是腰或底，结合三角形两边之和大于第三边的不等式，判断是否成立，即可作答． 【详解】解：依题意，设腰长为a，底边长为b， ∵等腰三角形的周长为21， ∴， ∵其中一边长为5， ∴当时，则，解得， 则，此时不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当时，则，解得， 则，此时符合三角形三边关系， 综上：该等腰三角形的底边长为5， 故选：C． 【题型6 画三角形的高】 24．下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是边上的高，故符合题意； C．是边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 25．如图，中边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查三角形高的定义，关键是理解三角形高的概念：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是该边上的高． 【详解】解：根据三角形高的定义，在中，边上的高是从点向边所在直线作的垂线段，观察图形可知线段符合条件； 故选：A． 26．用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 27．如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的高的定义对各选项分析判断求解． 【详解】解：于点， ∴是边上的高，故A不符合题意； ∵于点E， ∴线段是边上的高，故 D符合题意； 线段不是任何边上的高，故B，C不符合题意； 故选：D． 【题型7 三角形角平分线的定义】 28．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】∵，， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 29．如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的概念，正确理解三角形角平分线的概念是解题的关键． 【详解】∵在中，，是的角平分线， ∴． 故选：B． 30．如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 31．如图，在中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三条角平分线相交于同一点可知平分，从而得解． 【详解】解：∵角平分线，相交于点， ∴平分． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握三条角平分线相交于同一点是解题的关键． 32．如图，在中，，则下列说法中，正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C．是的高线 D．是的中线 【答案】B 【分析】利用已知条件可得，即可得到答案． 【详解】解：A、点不是的中点，故不是的中线，故A错误； B、∵， ∴， 即， ∴是的角平分线，故B正确； C、无法得到，不一定是的高线，故C错误； D、无法得到为的中点，不一定是的中线，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中线高线、角平分线的判断，解题的关键是根据题意得到． 【题型8 与三角形中线有关的运算】 33．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 34．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 【详解】解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 35．如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 36．如图，是上的中线，是上的中线．是的中点，的面积是40，则的面积是______． 【答案】5 【分析】本题考查了根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键．根据三角形中线将三角形的面积平分，可逐步求得，，． 【详解】解：是上的中线，的面积是40， ， 是上的中线， ， 是的中点， ． 故答案为：5． 【题型9三角形内角和的证明】 37．定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论． 【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴． ①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意； ②@表示，故②正确，符合题意； ③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意； 综上：正确的有②④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 38．在中，，按图中虚线将剪去后，等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出． 【详解】解：假设虚线为DE， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键． 39．如图，在中，为延长线上一点，于，，，则的度数为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据△ADE中三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据△ABC中三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】∵CE⊥AF于E，∴∠AED＝90°， ∵∠D＝20°， ∴∠A＝180°−∠AED−∠D＝180°−90°−20°＝70°， ∵ ∴＝180°−∠A−∠C＝180°−70°−40°＝70°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理d的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和为180°. 40．著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 41．如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型10与平行线有关的三角形内角和问题】 42．如图，已知直线，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义和直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据平行线的性质得到的度数，再根据垂线的定义和直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ． 故选：B． 43．如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 44．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，若，，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和得出，利用角平分线得出，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】解： ，， ， 平分交于点， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答． 45．如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 46．如图，，，垂足为点，如果，那么______    【答案】 【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解． 【详解】解：延长交于，   ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 47．如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则_______．    【答案】/度 【分析】根据题意及平行线的判定与性质推出，设，则，，根据三角形内角和定理、三角形外角性质推出，据此求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：：， 设则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $