专题01 概率初步（八大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

专题01 概率初步 （八大题型） 【题型1 事件类型】..................................................................................................................1 【题型2 可能性大小】..............................................................................................................2 【题型3 概率的意义】...............................................................................................................3 【题型4 几何概率】...................................................................................................................4 【题型5 概率公式】.................................................................................................................5 【题型6 用列举法求概率】.....................................................................................................6 【题型7 频率估计概率】.........................................................................................................7 【题型8 游戏的公平性】..........................................................................................................9 【题型1 事件类型】 1．下列事件中，属于随机事件的是 （   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．煮熟的鸭子飞了 C．全运会射击运动员射击一次命中靶心 D．在标准大气压下，水的沸点是 2．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．实心铁球漂浮在水面上 B．直角三角形的两锐角互余 C．射击运动员射击一次，命中9环 D．从一批混有四件次品的产品中任意抽取五件，那么必有一件是正品 3．下列事件，是必然事件的是（   ） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．足球运动员射门一次，球射进球门 C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．随意翻开一本书，这页的页码是奇数 4．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（   ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水滴石穿 D．竹篮打水 【题型2 可能性大小】 5．盒子里有红球4个、白球3个、黄球8个（这些球除颜色外完全相同）．从盒子里任意摸出一个球，下面说法错误的是（   ） A．不可能摸出黑球 B．摸出黄球的可能性最大 C．摸出红球的可能性最小 D．摸出球的颜色是红、白、黄中的一种 6．一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 7．已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 8．将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数1，2，3，4，5，6，7，8．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件，发生可能性最大的事件是（   ） A．指针落在标有5的区域 B．指针落在标有10的区域 C．指针落在标有奇数的区域 D．指针落在标有能被3整除的数的区域 10．如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，从某个布袋中随机摸出一个球，则下列说法不正确的是（    ） A．摸到红球属于必然事件的布袋是④ B．摸到红球属于不可能事件的布袋是① C．摸到红球属于随机事件的布袋是②和③ D．布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性大 11．天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示，则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是（    ） A．周一 B．周二 C．周四 D．周五 【题型3 概率的意义】 12．天气预报显示，清镇市明天下雨的概率是，对此信息，下列说法正确的是（　　） A．明天一定会下雨 B．明天全市的地方在下雨 C．明天的时间在下雨 D．明天下雨的可能性比较大 13．若某随机事件发生的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．在2次试验中，该事件至少发生1次 B．在1000次试验中，该事件发生的次数一定为500次 C．随着试验次数的增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在 D．当试验次数特别多时，该事件发生的频率为 14．校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．下表是小亮一次训练时的进球情况： 投篮数（次） …· 进球数（次） … 则下列说法正确的是（　　） A．小亮每投个球，一定有个球进 B．小亮投球前个进，第，个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为 D．小亮比赛中投球命中率可能超过 【题型4 概率公式】 15．第十五届全运会于2025年 11 月 9 日至 21 日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了三个安检通道．甲从通道进入体育比赛馆的概率是（    ） A． B． C． D． 16．不透明的袋子里有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球是红球的概率为 （      ） A． B． C． D． 17．在一个不透明的袋子中装有红色小球4个和白色小球2个，除颜色外其他都相同，现随机抽取1个小球，恰好摸到红球的概率为（    ）． A． B． C． D． 18．不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 19．在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 20．东风高中举办校庆活动需要一批志愿者，高一、高二、高三这三个年级报名参加志愿活动的学生人数比例为，学校从每个年级报名人数中按照高一，高二，高三的比率选出一批学生成为志愿者．从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为（   ） A． B． C． D． 21．一个密码锁的密码由六个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当六个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了最后的两个数字，那么他一次就能打开该锁的概率是（    ） A． B． C． D． 22．已知有4条线段，它们的长分别是2，4，6，8，从这4条线段中任取三条，求能够构成三角形的概率（　　） A． B． C． D． 【题型5 几何概率】 23．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在黄色区域的概率是______． 24．如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 25．如图，是一个装蟋蟀的小罐底部的形状，一只蟋蟀在小罐内任意跳动，恰好跳到阴影部分的概率是 __________________． 26．如图，每个小正方形的边长均为1，若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是_________． 27．如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，，随机往地面上撒一粒咖啡豆，咖啡豆落在阴影部分的概率是_______ 【题型6 频率估计概率】 28．“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 29．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 30．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 31．经过大量试验，小康发现抛掷一枚图钉，钉尖朝上的频率为0.68，则随机地抛掷一枚图钉，钉尖朝下的概率为___________． 32．一个袋中装有若干个红球、黄球和蓝球，每个球除颜色外都相同．某兴趣小组开展摸球试验；每次摸出一个球记录下颜色后放回摇匀，重复试验，并统计了蓝球出现的频率，如图所示．再摸一次，估计摸到蓝球的概率为________．（结果精确到0.1） 33．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是_____________．（精确到）． 【题型7 用列举法求概率】 34．在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 35．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，两盏灯都不发光的概率是（   ） A． B． C． D． 36．如图，小红准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“3，5，8”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 37．A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为（    ） A． B． C． D． 38．我们把十位上数字比百位和个位上数字都小的三位数称为“V”型数，如856，325等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”型数的概率为（    ） A． B． C． D． 39．山东博物馆在2024年5月份举办“走近考古”展览，为公众揭开考古学神秘面纱．现小张同学参观博物馆，由于参观人数较多，准备从3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览4个中随机选择2个进行参观，则正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型8 游戏的公平性】 40．口袋里装有20个球，其中红球数是白球数的2倍，其余为黑球，甲从袋中任意摸出1个球，若为红球则甲获胜；甲把摸出的球放回袋中，乙也从袋中任意摸出1个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对双方公平，试问黑球数应为多少只？ 41．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． (1)求小明摸到球面数字为5的概率； (2)你认为这种方法公平吗？请说明理由． 42．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次） (1)如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为______； (2)如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是______； (3)如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 43．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率初步 （八大题型） 【题型1 事件类型】..................................................................................................................1 【题型2 可能性大小】..............................................................................................................3 【题型3 概率的意义】...............................................................................................................7 【题型4 几何概率】...................................................................................................................8 【题型5 概率公式】.................................................................................................................11 【题型6 用列举法求概率】.....................................................................................................14 【题型7 频率估计概率】.........................................................................................................17 【题型8 游戏的公平性】..........................................................................................................20 【题型1 事件类型】 1．下列事件中，属于随机事件的是 （   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．煮熟的鸭子飞了 C．全运会射击运动员射击一次命中靶心 D．在标准大气压下，水的沸点是 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件的定义判断即可． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余一定发生，属于必然事件； B、煮熟的鸭子飞了是不可能出现的情况，属于不可能事件； C、全运会射击运动员射击一次命中靶心，结果可能命中也可能不命中，属于随机事件； D、在标准大气压下，水的沸点是是确定的自然规律，一定发生，属于必然事件； 故选：C． 2．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．实心铁球漂浮在水面上 B．直角三角形的两锐角互余 C．射击运动员射击一次，命中9环 D．从一批混有四件次品的产品中任意抽取五件，那么必有一件是正品 【答案】C 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，关键是准确区分三类事件：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：∵实心铁球的密度远大于水的密度，实心铁球必然下沉，不可能漂浮在水面上， ∴选项A是不可能事件； ∵直角三角形的内角和为，其中一个角为， ∴另外两个锐角的和为，即两锐角必然互余， ∴选项B是必然事件； ∵射击运动员射击一次，命中9环的结果无法预先确定，可能发生也可能不发生， ∴选项C是随机事件； ∵次品仅有4件，抽取5件产品时，即使先抽中全部4件次品，第5件也一定是正品， ∴必然会抽到正品，选项D是必然事件． 故选：C． 3．下列事件，是必然事件的是（   ） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．足球运动员射门一次，球射进球门 C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．随意翻开一本书，这页的页码是奇数 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件、随机事件的概念，解题的关键是准确区分必然事件（一定发生的事件）与随机事件（可能发生也可能不发生的事件）． 根据必然事件的定义，逐一分析每个选项，判断事件是否一定发生． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是$180^\circ$，这是三角形的基本性质，一定发生，此选项符合题意； B、足球运动员射门一次，球射进球门，结果不确定，是随机事件，此选项不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，结果不确定，是随机事件，此选项不符合题意； D、随意翻开一本书，这页的页码是奇数，结果不确定，是随机事件，此选项不符合题意． 故选：A． 4．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（   ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水滴石穿 D．竹篮打水 【答案】D 【分析】本题考查不可能事件的概念，即绝对不可能发生的事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 通过分析各成语的含义，判断其描述事件的可能性，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、守株待兔：兔子撞树可能性极小，但并非绝对不可能，属于随机事件，不符合题意； B、旭日东升：太阳从东边升起是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿：水滴长期冲击石头可能穿透，属于随机事件，不符合题意； D、竹篮打水：竹篮有孔，水会漏出，绝对不可能打到水，是不可能事件，符合题意． 故选：D． 【题型2 可能性大小】 5．盒子里有红球4个、白球3个、黄球8个（这些球除颜色外完全相同）．从盒子里任意摸出一个球，下面说法错误的是（   ） A．不可能摸出黑球 B．摸出黄球的可能性最大 C．摸出红球的可能性最小 D．摸出球的颜色是红、白、黄中的一种 【答案】C 【分析】本题考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．由于盒子里有三种颜色的球，所以从盒子里任意摸出一个球是什么颜色的是不确定事件，再根据不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，据此解答． 【详解】解：A、盒子里没有黑球，故不可能摸出黑球，故A选项说法正确，不符合题意； B、黄球数量最多，故摸出黄球的可能性最大，故B选项说法正确，不符合题意； C、白球数量最少，故摸出白球的可能性最小，故C选项说法错误，符合题意； D、任意摸出一个球，摸出球的颜色是红、白、黄中的一种，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 6．一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．摸出的3个球颜色相同 B．摸出的3个球中有1个白球 C．摸出的3个球中至少有1个白球 D．摸出的3个球颜色不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件和确定事件直接判断即可． 【详解】解：A．摸出的3个球颜色相同是不可能事件，可能性最小，所以A不符合题意； B．摸出的3个球中有1个白球是随机事件，所以B不符合题意； C．摸出的3个球中至少有1个白球是必然事件，可能性最大，所以C符合题意； D．摸出的3个球中摸出的3个球颜色不同是不可能事件，可能性最小，所以D不符合题意． 故选：C． 7．已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（    ）个． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查感受可能性，根据摸到的黄球的可能性大，得到黄球的数量要多于白球的数量，进行判断即可． 【详解】解：∵要使摸到的黄球的可能性大， ∴黄球的数量要多于白球的数量， ∵袋子里白球和黄球共10个 ∴袋子里至少装6个黄球； 故选B． 8．将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可得解，熟练掌握必然事件的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵不透明的袋子中有5个红球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球，事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件， ∴的值可以是， 故选：A． 9．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数1，2，3，4，5，6，7，8．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件，发生可能性最大的事件是（   ） A．指针落在标有5的区域 B．指针落在标有10的区域 C．指针落在标有奇数的区域 D．指针落在标有能被3整除的数的区域 【答案】C 【分析】此题考查了可能性大小，根据每个选项占的区域个数从而确定正确的选项即可． 【详解】解：∵一共被平均分成8个区域， 其中5有1个区域，10没有区域，奇数有4个区域，被3整除的数的区域有3和6，共2个， ∴发生可能性最大的事件是指针落在标有奇数的区域． 故选：C． 10．如图，四个不透明布袋中都装进只有颜色不同的3个球，从某个布袋中随机摸出一个球，则下列说法不正确的是（    ） A．摸到红球属于必然事件的布袋是④ B．摸到红球属于不可能事件的布袋是① C．摸到红球属于随机事件的布袋是②和③ D．布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性大 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类、判断事件发生的可能性的大小，根据事件的分类办法分析即可得解. 【详解】解：A．摸到红球属于必然事件的布袋是④，故A正确，不符合题意； B．摸到红球属于不可能事件的布袋是①，故B正确，不符合题意； C．摸到红球属于随机事件的布袋是②和③，故C正确，不符合题意； D．布袋②中有1个红球，2个白球，布袋③中有2个红球，1个白球，因此布袋②中摸到红球的可能性比布袋③中摸到红球的可能性小，故D不正确，符合题意． 故选：D． 11．天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示，则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是（    ） A．周一 B．周二 C．周四 D．周五 【答案】B 【分析】本题是概率在生活中的实际应用．要想知道居民哪一天出门更有可能带雨具，根据周一到周五下雨的概率就能得出结果． 【详解】解：∵周一到周五，周二下雨的概率最大，故最有可能带雨具的是周二，                                    故选：B． 【题型3 概率的意义】 12．天气预报显示，清镇市明天下雨的概率是，对此信息，下列说法正确的是（　　） A．明天一定会下雨 B．明天全市的地方在下雨 C．明天的时间在下雨 D．明天下雨的可能性比较大 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义，根据概率的意义可知，明天下雨的概率为，表示下雨的可能性较大，但并不代表一定会下雨或具体区域、时间的分布，据此可得答案． 【详解】解；∵概率只表示事件发生的可能性代表， ∴清镇市明天下雨的概率是，表示的是明天下雨的可能性比较大， 故选：D． 13．若某随机事件发生的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．在2次试验中，该事件至少发生1次 B．在1000次试验中，该事件发生的次数一定为500次 C．随着试验次数的增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在 D．当试验次数特别多时，该事件发生的频率为 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，据此根据题意得出答案即可． 【详解】解：∵某个事件发生的概率是， ∴根据概率的意义可知：该事件在一次试验中可能发生也可能不发生，且每次试验中事件发生的可能性是，且随着试验次数的增加，该事件发生的频率会逐渐稳定在， 故选：C． 14．校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率．下表是小亮一次训练时的进球情况： 投篮数（次） …· 进球数（次） … 则下列说法正确的是（　　） A．小亮每投个球，一定有个球进 B．小亮投球前个进，第，个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为 D．小亮比赛中投球命中率可能超过 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的相关知识点，准确判断是解题的关键．根据概率的知识点判断即可． 【详解】解：A、小亮每投个球，不一定有个球进，故错误； B、小亮投球前个进，第、个不一定不进，故错误； C、小亮比赛中的投球命中率可能为，故错误； D、小亮比赛中投球命中率可能为超过，故正确； 故选：D． 【题型4 概率公式】 15．第十五届全运会于2025年 11 月 9 日至 21 日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了三个安检通道．甲从通道进入体育比赛馆的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式的应用，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，直接利用该公式计算即可 【详解】解：∵体育比赛馆开设了三个安检通道且甲选择每个通道的可能性相同，总共有3种等可能的进入情况， ∴甲从通道进入体育比赛馆的概率为， 故选：B. 16．不透明的袋子里有2个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球是红球的概率为 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查概率公式，根据概率公式，事件概率等于事件可能发生的结果数与所有可能结果数的比值，摸出红球的概率为红球数量与总球数的比值． 【详解】解：∵总球数，红球数， ∴摸出红球的概率． 故选：B． 17．在一个不透明的袋子中装有红色小球4个和白色小球2个，除颜色外其他都相同，现随机抽取1个小球，恰好摸到红球的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率的定义． 根据简单概率公式计算即可求解． 【详解】解：∵总小球数为个，红球有4个， ∴摸到红球的概率为． 故选：B． 18．不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式求概率． 计算奇数的个数与总球数的比值即可． 【详解】解：∵总球数为5，其中奇数有1、3、5共3个， ∴摸出的小球上面的数字是奇数的概率是． 故选：C． 19．在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式直接计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：从一个不透明的装有个完全相同的小球的口袋中，随机摸出一个小球，共有种等可能结果，其中标号是或的倍数的结果共有种， ∴标号是或的倍数的概率为， 故选：． 20．东风高中举办校庆活动需要一批志愿者，高一、高二、高三这三个年级报名参加志愿活动的学生人数比例为，学校从每个年级报名人数中按照高一，高二，高三的比率选出一批学生成为志愿者．从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．设报名总人数为，根据报名人数比例和选拔比例，计算各年级志愿者人数和总志愿者人数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：设报名总人数为，则高一、高二、高三报名人数分别为. ∴ 高一志愿者人数为, 高二志愿者人数为, 高三志愿者人数为, ∴ 总志愿者人数为. ∴ 从所有被选出的志愿者中随机抽取一人，则该生来自高一年级的概率为． 故选：D． 21．一个密码锁的密码由六个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当六个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了最后的两个数字，那么他一次就能打开该锁的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了概率计算，先确定总的组合数，再根据概率公式解答即可； 【详解】解：∵ 每个数字有10种选择， ∴ 最后两个数字的组合总数为种， ∵ 只有一种组合与密码匹配， ∴ 一次能打开锁的概率为， 故选：D． 22．已知有4条线段，它们的长分别是2，4，6，8，从这4条线段中任取三条，求能够构成三角形的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单概率问题，涉及构成三角形的条件、简单概率公式等知识，熟记简单概率公式是解决问题的关键．从4条线段中任取3条的情况共有4种，逐一判断每种组合是否能构成三角形，满足条件的情况数除以总的情况数即为所求概率． 【详解】解：从4条线段任取3条的情况，具体为： {2, 4, 6}、{2, 4, 8}、{2, 6, 8}、{4, 6, 8}； {2, 4, 6}中，，等于第三边，不满足条件，不能构成三角形； {2, 4, 8}中，，不满足条件，不能构成三角形； {2, 6, 8}中，，等于第三边，不满足条件，不能构成三角形； {4, 6, 8}中，，满足条件，能构成三角形； 综上所述，满足构成三角形条件的情况仅1种，故概率为， 故选：C． 【题型5 几何概率】 23．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在黄色区域的概率是______． 【答案】 【分析】几何概率：部分区域的面积和整个区域的面积的比来表示． 【详解】解：从面积角度出发，将转盘看作4份，则黄色区域占1份，黑色区域占1份，红色区域占2份， 所以当转盘停止时，指针落在黄色区域的概率是． 24．如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 25．如图，是一个装蟋蟀的小罐底部的形状，一只蟋蟀在小罐内任意跳动，恰好跳到阴影部分的概率是 __________________． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，根据概率相应的面积与总面积之比，即可得出答案． 【详解】解：设圆的半径为R，则圆的面积是， 阴影部分的面积是： ∴蟋蟀恰好跳到阴影部分的概率是． 故答案为：． 26．如图，每个小正方形的边长均为1，若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查概率中几何面积概率的计算，直接由图可知阴影部分占图形总面积的，即可求解． 【详解】由图可知：每一个小三角形是小正方形面积的一半， ∴阴影部分占图形总面积的， ∴若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是. 故答案为：． 27．如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，，随机往地面上撒一粒咖啡豆，咖啡豆落在阴影部分的概率是_______ 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，分别求出大圆面积和小圆面积，再相减得出圆环面积，运用圆环面积除以大圆面积，即可得出咖啡豆落在阴影部分的概率． 【详解】解：依题意，大圆面积，小圆面积， 则圆环面积， ∵， ∴， ∴大圆面积，圆环面积， ∴咖啡豆落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【题型6 频率估计概率】 28．“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 【答案】0.97 【分析】本题主要考查由频率估计概率，通过观察表格中合格头盔的频率，发现当抽查数量较大时，频率稳定在0.970附近，根据频率估计概率的原理，可确定概率值． 【详解】从表格数据可知，当抽查数量为900、1000和2000时，合格头盔的频率均为0.970， 且随着增大，频率趋于稳定，因此该头盔合格的概率为0.97． 故答案为：0.97． 29．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 30．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【答案】2.8 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 31．经过大量试验，小康发现抛掷一枚图钉，钉尖朝上的频率为0.68，则随机地抛掷一枚图钉，钉尖朝下的概率为___________． 【答案】0.32 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过试验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．因为经过大量试验，钉尖朝上的频率为 0.68，根据频率估计概率的原理，钉尖朝上的概率约为 0.68，进而可得出答案． 【详解】因为经过大量试验，钉尖朝上的频率为 0.68，根据频率估计概率的原理，钉尖朝上的概率约为 0.68， 所以钉尖朝下的概率为：， 故答案为：0.32 32．一个袋中装有若干个红球、黄球和蓝球，每个球除颜色外都相同．某兴趣小组开展摸球试验；每次摸出一个球记录下颜色后放回摇匀，重复试验，并统计了蓝球出现的频率，如图所示．再摸一次，估计摸到蓝球的概率为________．（结果精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，由题意可知频率稳定在附近，根据频率估计概率即可得到答案． 【详解】解：由题意可知频率稳定在附近，则可估计摸到蓝球的概率为． 故答案为：． 33．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是_____________．（精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率值估计概率，解题的关键在于熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值．根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值求解即可． 【详解】解：∵大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值， ∴抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是， 故答案为：． 【题型7 用列举法求概率】 34．在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题用列举法计算概率，先求出所有等可能的选择结果，再找出两人选择相同文化标识的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记龙门石窟、少林寺、殷墟三项标识分别为A、B、C， ∵两人各自独立选择， ∴所有等可能的结果为，共9种， 其中两人选择相同文化标识的结果共3种， ∴两人所选择的文化标识相同的概率为． 35．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，两盏灯都不发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率计算与简单电路分析，解题的关键是先列出所有等可能的开关组合，再根据电路原理判断两盏灯都不发光的情况数，最后计算概率． 列出随机闭合两个开关的所有等可能结果；根据电路图判断每种结果下两盏灯的发光情况；用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【详解】解：随机闭合开关中的两个，所有等可能的结果有：、、，共种． 闭合 ：电路断路，两盏灯都不发光． 闭合 ：绿灯发光． 闭合 ：红灯发光． 其中，两盏灯都不发光的结果有 种． ． 故选：C． 36．如图，小红准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“3，5，8”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有，6种等可能的结果， ∴一次就能支付成功的概率为． 故选：C． 37．A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有可能出现的结果，确定满足条件的结果数，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，从A开始，逆时针排列所有可能的结果如下：，，，，，，其中C不坐在B的对面的结果有4种，分别为，，，， ∴C不坐在B的对面的概率为． 故选D 38．我们把十位上数字比百位和个位上数字都小的三位数称为“V”型数，如856，325等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”型数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．首先将所有由2，3，4这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解∶ 由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个， 故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“V”型数的概率为， 故选∶D． 39．山东博物馆在2024年5月份举办“走近考古”展览，为公众揭开考古学神秘面纱．现小张同学参观博物馆，由于参观人数较多，准备从3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览4个中随机选择2个进行参观，则正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出所有可能结果，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：记3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览分别为，，，，则随机选择2个进行参观，有，，，，，共6种情况其中正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是． 故选：A． 【题型8 游戏的公平性】 40．口袋里装有20个球，其中红球数是白球数的2倍，其余为黑球，甲从袋中任意摸出1个球，若为红球则甲获胜；甲把摸出的球放回袋中，乙也从袋中任意摸出1个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对双方公平，试问黑球数应为多少只？ 【答案】黑球个数为个． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，分别确定甲、乙获胜的概率是解答本题的关键． 设白球个，红球个，先分别求出甲、乙获胜的概率，然后根据游戏双方公平，即概率相等列出方程解答即可． 【详解】解：设白球个，红球个， 由题意得：甲获胜的概率为；乙获胜的概率为， ∵游戏对双方公平， ∴， 解得， ∴白球4个，红球8个， ∴黑球个数为：（个）， 答：黑球个数为个． 41．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． (1)求小明摸到球面数字为5的概率； (2)你认为这种方法公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这种方法不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）分别计算出两人获得电影票的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同， ∴小明摸到球面数字为5的概率为； （2）解：这种方法不公平，理由如下： 由题意得，小颖得到电影票的概率为， 小明得到电影票的概率为， ∵， ∴这种方法不公平． 42．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次） (1)如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为______； (2)如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是______； (3)如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个游戏对双方公平，理由见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由这8个数中，有1个数字4，据此可得答案； （2）根据概率公式先求得乙获胜的概率，继而可得甲获胜的概率； （3）在这8个数中，偶数有4个，根据概率公式求解可得甲、乙获胜的概率即可得． 【详解】（1）如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为， 故答案为：； （2）如果乙猜是“3的倍数”，则乙获胜的概率是， 则甲获胜的概率为， 故答案为：； （3）在这8个数中，偶数有4个， 则乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴这个游戏对双方公平． 43．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______； (2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平；设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜（答案不唯一，设计方案正确即可） 【分析】本题主要考查了几何概率、概率的应用等知识点，掌握几何概率的求法成为解题的关键． （1）转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，利用概率公式即可解答； （2）先分别求出转出的数字为2的倍数、3的倍数的概率，然后再比较即可判定游戏的公平性；然后设计出公平的游戏方案即可． 【详解】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是． 故答案为：． （2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平； 设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜． 1 学科网（北京）股份有限公司 $