第四章 三角形 单元综合素养提升卷 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第4章 三角形 单元综合素养提升卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．6，8，10 D．7，11，3 3．如图，是的角平分线，，垂足为D，，则（　　） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（　　） A．一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．两直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等 5．如图，，其中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别拉长到原来的两倍，得点D，E，F，已知△DEF的面积为42，则△ABC的面积为（　　） A．14 B．7 C．6 D．3 7．1.如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的中点，连接AD、DE，若S△DEA＝3，则四边形AEDC的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 8．三角形的两边长分别是5和8，则第三边长不可能是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 9．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，△ABP和△DCE全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 10．如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．长度分别为3cm，4cm，5cm，9cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是　 　． 12．如图，在 中， ， ， ，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与 全等，则点D的坐标是　 　． 13．如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的刀DC长为b，瓶直壁厚度x＝　 　（用含a，b的代数式表示）． 14．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为　 　cm． 15．如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=65°，∠C=30°，那么∠BDE的度数是　 　. 16．将一副三角板按如图放置，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是　 　（填写序号） 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 中， ， ， 平分 交 于点D，求 的度数． 18．如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC． 19．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=80°，∠C=54°，求∠DAC、∠BOA的度数. 20．如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： （1）求y与x之间的关系式； （2）若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 21．如图，在中，是边上的一点，平分，交边于点，连结． （1）试说明：． （2）若，求的度数． 22．如图，在中，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若点F是AB的中点，连接CF，FD，并延长FD交BC于点G，如果，求的度数（用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比． 23． 如图，在三角形内部有一点F，点D，E分别是边上的点，，． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，，求的度数． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【答案】B 【解析】【解答】解：∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC， ∴△ABO≌△DCO（SAS）. 故答案为：B. 【分析】根据图中边角的位置关系，即”SAS“判定△ABO≌△DCO，即可得出正确答案. 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．6，8，10 D．7，11，3 【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵1＋2＝3，两边之和等于第三边，故不能组成三角形，∴A不符合题意； B、∵3＋5＝8＜9，两边之和小于第三边，故不能组成三角形，∴B不符合题意； C、∵6＋8＝14＞10，两边之和大于第三边，故能组成三角形，∴C符合题意； D、∵3＋7＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形，∴D不符合题意． 故答案为：C． 【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可. 3．如图，是的角平分线，，垂足为D，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】因为是的角平分线， 所以， 因为， 所以， 在中，， 在中，， 将代入， 得出， 所以， 所以， 故选：B． 【分析】 根据是的角平分线，得出，因为，所以，所以，在中，，即可得出答案； 4．下列说法错误的是（　　） A．一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．两直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【解析】【解答】解：A、利用能说明两个直角三角形全等，本选项不符合题意； B、利用能说明两个直角三角形全等，本选项不符合题意； C、没有边相等，两个直角三角形不一定全等； D、利用或能说明两个直角三角形全等，本选项不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可求出答案. 5．如图，，其中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵，∠A=36°，=24°， ∴∠C==24°， ∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°， 故答案为：B. 【分析】根据全等三角形的性质可得∠C=∠C′=24°，然后根据内角和定理进行计算. 6．如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别拉长到原来的两倍，得点D，E，F，已知△DEF的面积为42，则△ABC的面积为（　　） A．14 B．7 C．6 D．3 【答案】C 【解析】【解答】如图，连接BF、CD、AE， ∵△ABC的三边AB，BC，CA分别拉长到原来的两倍， ∴点A、B、C是CF、AD、BE的中点， ∴S△ABC=S△ACE=S△ABF=S△BCD，S△BCD=S△ECD，S△BDF=S△ABF，S△AEF=S△ACE， ∴S△DEF=7S△ABC， ∵S△DEF=42， ∴S△ABC=6， 故答案为：C． 【分析】连接BF、CD、AE，根据三角形中线的性质可得S△ABC=S△ACE=S△ABF=S△BCD，S△BCD=S△ECD，S△BDF=S△ABF，S△AEF=S△ACE，即可得出S△DEF=7S△ABC，即可求出△ABC的面积． 7．1.如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的中点，连接AD、DE，若S△DEA＝3，则四边形AEDC的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】【解答】解：∵点E是AB上的中点， ∴S△BED＝S△DEA＝3， ∴S△ABD＝6， ∵点D是BC上的中点， ∴S△ADC＝S△ABD＝6， ∴S四边形AEDC＝3+6＝9， 故答案为：C. 【分析】根据三角形中线的性质可得S△BED＝S△DEA＝3，即得S△ABD＝6，再利用三角形中线的性质可得S△ADC＝S△ABD＝6，根据S四边形AEDC=S△DEA+S△ADC即可求解. 8．三角形的两边长分别是5和8，则第三边长不可能是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系：8-5＜x＜8+5， 解得：3＜x＜13． ∴第三边长不可能是3； 故答案为：A． 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 9．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（　　）秒时，△ABP和△DCE全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【解析】【解答】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE， 由题意得：BP=2t=2， 所以t=1， 因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE， 由题意得：AP=16-2t=2， 解得t=7． 所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等． 故答案为：C． 【分析】根据全等的判定方法和图形分两种情况利用全等三角形的性质可得BP=2t和AP=16-2t，从而得出方程，解方程即可得出t的值. 10．如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=49°， ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE， ∴结论①符合题意； ∴∠ABD=∠ACE， 如图所示： ∵∠AOB=∠COF， ∴∠BFC=∠BAO=49°， ∴结论③符合题意； ∵AD=AE，∠DAE=49°， ∴AD不一定等于BD， ∴结论②不符合题意； 如图所示：过点A作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H， ∵△BAD≌△CAE， ∴AK=AH， ∵AF=AF，∠AKF=∠AHE=90°， ∴Rt△AFK≌Rt△AFH， ∴∠AFD=∠AFE， ∴FA平分∠BFE， ∴结论④符合题意； 综上所述：正确的结论个数有3个， 故答案为：B． 【分析】 结合图形，利用全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形的内角和等对每个结论逐一判断求解即可。 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．长度分别为3cm，4cm，5cm，9cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是　 　． 【答案】 【解析】【解答】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此， ∵长度为3cm、4cm、5cm、9cm的四条线段，从中任取三条线段共有3，4，5；4，5，9；3，5，9；3，4，9四种情况，而能组成三角形的有3、4、5；共有1种情况， ∴能组成三角形的概率是． 【分析】利用三角形的三边关系和概率公式计算求解即可。 12．如图，在 中， ， ， ，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与 全等，则点D的坐标是　 　． 【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1） 【解析】【解答】如图，要和 全等，且有一边为AB的三角形， D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1） 故答案为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）． 【分析】若要 ，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可． 13．如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的刀DC长为b，瓶直壁厚度x＝　 　（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【解析】【解答】解：∵AC＝BD，O为AC、BD的中点， ∴DO＝OB．OA＝CO， 在△DOC和△BOA中， ∴△DOC≌△BOA（SAS）， ∴AB＝DC＝b， ∴ 解得： ． 故答案为： ． 【分析】先利用全等三角形的判定得出△DOC≌△BOA，从而有 ，进而利用 即可得出答案． 14．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为　 　cm． 【答案】2400 【解析】【解答】解：设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm， ∵最长边为10m， ∴5x＝10， 解得：x＝2， ∴3x＝6，4x＝8， ∴6+8+10＝24（m）＝2400cm， 故答案为：2400． 【分析】由“三条边的长度比为3：4：5",设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm 、利用最长边为10m，列出方程,即得三角形的周长. 15．如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=65°，∠C=30°，那么∠BDE的度数是　 　. 【答案】95° 【解析】【解答】解：∵ ∠BAC=65°，∠C=30°， ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-65°-30°=85°， ∵ DE∥BC， ∴∠D=180°-∠B=180°-85°=95°， 故答案为：95°. 【分析】先根据三角形的呢校核定理求出∠B的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补解题. 16．将一副三角板按如图放置，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的是　 　（填写序号） 【答案】①②③ 【解析】【解答】解：， ， ，故①正确； ， ，故②正确； ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ，故④错误； 故答案为：①②③． 【分析】本题主要考查平行线的性质以及角的和差关系，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质定理。通过分析三角板的已知角度以及角之间的加减关系，进行推理验证即可得出正确答案。 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 中， ， ， 平分 交 于点D，求 的度数． 【答案】解：根据三角形内角和是 得 平分 ， 【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义可得∠ABD，再利用三角形的外角的性质可得∠BDC=∠A+∠ABD。 18．如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC． 【答案】解：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， ∴∠DAB=∠CBA=28°， ∵∠C=90°， ∴∠BAC=90°﹣∠CBA=90°﹣28°=62°， ∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=62°﹣28°=34° 【解析】【分析】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△BAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAB=∠CBA，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，再根据∠DAC=∠BAC﹣∠DAB代入数据计算即可得解． 19．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=80°，∠C=54°，求∠DAC、∠BOA的度数. 【答案】解：解：∵AD是高 ∴∠ADC=90° ∵∠C=54° ∴∠DAC=180°﹣90°﹣54°=36° ∵∠BAC=80°，∠C=54°，AE是角平分线 ∴∠BAO=40°，∠ABC=46° ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABO=23° ∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=117° 【解析】【分析】首先利用AD是高，求得∠ADC，进一步求得∠DAC度数可求；利用三角形的内角和求得∠ABC，再由BF是∠ABC的角平分线，求得∠ABO，故∠BOA的度数可求. 20．如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： （1）求y与x之间的关系式； （2）若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 【答案】（1）解：∵，， ∴， ∵，的面积为， ∴， ∴y与x之间的关系式为 （2）解：∵，， ∴， ∴的面积， ∵的面积比的面积大， ∴， 解得：， ∴当时，的面积比的面积大 【解析】【分析】（1）先求出，然后利用三角形面积公式即可求解； （2）先求出，然后利用三角形面积公式表示出的面积，从而得关于x的一元一次方程，进而解方程求出x的值即可求解. （1）解：∵cm，的长为， ∴ ∵高cm， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴的面积 ， ∵的面积比的面积大3 ∴， 解得：， ∴当时，的面积比的面积大3 21．如图，在中，是边上的一点，平分，交边于点，连结． （1）试说明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠DBE， 在△ABE和△DBE中， ， ∴△ABE≌△DBE（SAS）. （2）解：∵∠A=105°，∠C=50°，△ABE≌△DBE， ∴∠BDE=∠A=105°， ∴∠EDC=180°-∠BDE=180°-105°=75°， ∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-75°-50°=55°. 【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念得出∠ABE=∠DBE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明结论； （2）根据全等三角形的对应角相等可得∠BDE=∠A=105°，根据三角形内角和定理即可求解. 22．如图，在中，，垂足分别为D，E． （1）求证：； （2）若点F是AB的中点，连接CF，FD，并延长FD交BC于点G，如果，求的度数（用含的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比． 【答案】（1）证明： ， 在和中 （2）解：过点分别作于点，如图所示： 为的中点，， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 平分， ， ， ， 由（1）可知， （3）解：由（2）可知 ， ， ，， ， 【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得； （2）过点分别作于点，先证出，再利用“AAS”证出，可得FN=FM，再利用角平分线的定义可得，再结合，求出即可； （3）先求出，，再求出即可. 23． 如图，在三角形内部有一点F，点D，E分别是边上的点，，． （1）判断与是否平行，并说明理由． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：设，则， ，， ， 平分， ， ， ， 在中，， 解得， ． 【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得，结合 ，再利用平行线的判定定理即可得到结论； （2）设∠A=x°，表示出∠F，根据平行线的性质表示出∠CEF和∠BDF，从而可得∠DEF和∠EDF，最后利用三角形的内角和定理，即可得到x的值. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $