第二章 相交线与平行线能力提升自测卷-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版）

第二章 相交线与平行线能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，点在直线上，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 2．如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，连接，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，分别表示两个互相平行的镜面．一束光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后，形成光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 8．如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 9．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 10．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，直线、被直线所截，若，，，则_____． 12．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为_____． 13．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 14．将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，直线，相交于，，且． (1)求的度数； (2)如果平分，求的度数． 16．（8分）如图，，，那么相等吗？为什么？ 解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①_________）． 同理②_________ 所以．（③_________）． (1)请你将解法1中的证明过程补充完整． (2)请你用另一种方法完成此题． 17．（8分）如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． 18．（8分）如图，．将求的过程填写完整． 因为，所以 ． 又因为，所以 ． 所以 ． 所以 ． 又因为， 所以 = ． 19．（8分）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 20．（8分）如图①，点为直线上一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线． (1)如图②，若，则__________； (2)将图①中的直角三角板绕点转动一定的角度得图③，若边恰好平分，问：是否平分？请说明理由． (3)将图①中的直角三角板绕点顺时针转动，在转动过程中，若平分，请直接写出和之间的数量关系． 21．（10分）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，点在直线上，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出和，再结合角的和差求解即可． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ， ． 2．如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 3．如图，，连接，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 4．如图，分别表示两个互相平行的镜面．一束光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后，形成光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、反射角等于入射角以及平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用平行线的性质，得，由反射角等于入射角得，根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由反射角等于入射角得，， ， 故选：D． 5．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的关系，角平分线的定义，垂直的定义以及对顶角的性质．运用以上知识点求出的度数，再根据角的和差关系得出所求角的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ． 故选． 6．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 7．如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由，根据三角形的内角和定理可得，由周角的定义得到答案．此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 8．如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是知道内错角的概念以及通过找规律来计算内错角的数量． 内错角是指两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．先分析前几个值时内错角数量的计算规律，再根据规律计算时内错角的数量． 【详解】解：当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角． 故选：A． 9．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，若点F为球的中心，入射波与法线的夹角，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点作，可得，根据题意得，再由平行线的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：过点作，为法线，如图：    ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，直线、被直线所截，若，，，则_____． 【答案】/64度 【分析】根据对顶角相等，可知的大小，进而根据平行线的性质，可知的大小． 【详解】解：∵直线、被直线所截，，， ， ， ， ， ． 12．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为_____． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差计算，解题的关键是利用三角板的已知角度，通过角的和差关系求出未知角． 先根据三角板的角度得到，，再由与代入计算即可． 【详解】解：，， ． ， ． 故答案为：． 13．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】/度 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，直线，相交于，，且． (1)求的度数； (2)如果平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算和角平分线： （1）因为，， 所以，求得； （2），结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，， 所以，即． 所以． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 所以． 16．（8分）如图，，，那么相等吗？为什么？ 解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①_________）． 同理②_________ 所以．（③_________）． (1)请你将解法1中的证明过程补充完整． (2)请你用另一种方法完成此题． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②；③同角的补角相等 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）根据平行线的性质和等量代换，进行作答即可； （2）连接，根据平行线的性质，得到，，进而推出即可． 【详解】（1）解：解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①两直线平行，同旁内角互补） 同理② 所以．（③同角的补角相等） （2）解：解法2：．理由如下： 连接． 因为， 所以． 同理． 所以． 即． 17．（8分）如图，将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，得到如下图形，其中． (1)若，则__________； (2)若，求的度数； (3)猜想与的和是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】本题考查图形中求角度，涉及互余定义、同角的余角相等，数形结合，准确表示出相关角度之间的和差关系是解决问题的关键． （1）根据题意，结合互余定义，由同角的余角相等即可得到答案； （2）由题意，先由图形中各个角度之间的关系求出，再由互余定义求出的度数即可得到答案； （3）设，则，计算为定值即可得到答案． 【详解】（1）解：将两块含角的三角板的直角顶点重合放置，， ，， 则 （2）解：，， ， ； （3）解：是定值， 理由如下： ， 设， 则， ． 18．（8分）如图，．将求的过程填写完整． 因为，所以 ． 又因为，所以 ． 所以 ． 所以 ． 又因为， 所以 = ． 【答案】，，，，， 【分析】本题考查了平行线的判定及性质求角度；由平行线的性质得∠2 =，由平行线的判定方法得 ，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：因为，所以  ． 又因为，所以． 所以 ． 所以 ． 又因为， 所以 =． 故答案为：，，，，，． 19．（8分）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴ 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 20．（8分）如图①，点为直线上一点，将一直角三角板如图摆放，过点作射线． (1)如图②，若，则__________； (2)将图①中的直角三角板绕点转动一定的角度得图③，若边恰好平分，问：是否平分？请说明理由． (3)将图①中的直角三角板绕点顺时针转动，在转动过程中，若平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)平分，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了角的运算、余角以及角平分线的定义，解题的关键是灵活运用题中等量关系进行角度的运算． （1）根据∠MOC=∠MON+∠BOC计算即可； （2）由角平分线定义得到角相等的等量关系，再根据等角的余角相等即可解答； （3）分两种情况：当在的上方时，当在的下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：125 （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴． ∴平分． （3）解：如图，当在的上方时， 此时， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时， 此时， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，和之间的数量关系为或． 21．（10分）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 1 学科网（北京）股份有限公司 $