第03讲 探索全等三角形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版新教材）

第03讲 探索全等三角形 考点1：判定全等三角形（边边边） 考点2：三角形的稳定性及应用 考点3：判定全等三角形（边角边） 考点4： 判定全等三角形（边角边） 考点5：判定全等三角形（角角边） 重点： （1）掌握全等三角形的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS） （2）能运用判定条件判断三角形全等，规范书写推理过程 难点★： （1）灵活运用判定条件解决问题，理清推理逻辑。 （2）准确识别旋转、翻折后三角形的对应元素 1.回顾全等三角形定义与性质，能识别对应元素。 2.探索并掌握全等三角形的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS），理解其含义。 3.能运用判定条件判断三角形全等，规范书写简单推理过程。 知识点1 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 【题型1 判定全等角形（SSS）】 【典例1】如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ． 【变式1】如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的判定，利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 【变式3】如图，已知，，是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 知识点2 三角形的稳定性及应用 1.定义：三角形具有稳定性，即三角形的三边确定后，其形状和大小不会发生改变（与四边形易变形形成对比） 2.本质：三角形的稳定性源于全等三角形的判定（SSS），三边确定则三角形唯一全等，形状大小固定。 3.常见的应用：屋顶桁架、自行车车架，篮球架支架、相机三脚架等。 【题型2 三角形稳定性及应用】 【典例2】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 【变式1】如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用了三角形的（   ） A．美观性 B．简洁性 C．耐用性 D．稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性这一核心知识点，关键是明确三角形的数学特性与生活应用的关联．三角形具有稳定性，这是区别于四边形等多边形的重要特性，生活中诸多结构如遮阳伞、建筑支架等采用三角形结构，都是为了利用其稳定性来维持结构的牢固性． 【详解】解：在数学中，三角形具有稳定性，遮阳伞的结构主体设计为三角形，主要是利用了三角形的稳定性来保障结构不易变形； 故选：D． 【变式2】第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性，构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：自行车支架一般都会采用的设计， 这种设计方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B． 【变式3】港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 知识点3 判定全等三角形（边角边） 用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【题型3判定全等角形（SAS）】 【典例3】如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得，再由推出，然后根据证明； （2）由（1），根据全等三角形对应边相等可得结论． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴． 【变式1】如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见详解 【分析】根据，得，结合，，证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 【变式2】已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用等式的性质及已知条件可推出，然后利用即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即：， 在和中， ， ． 【变式3】如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】（1）证明：点分别为的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：， ． 知识点4 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【题型4判定全等角形（ASA）】 【典例4】如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由“”即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ． 【变式2】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 先证出，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式3】已知：如图，与交于点，点是线段的中点，，连接、．求证：． 【答案】见详解． 【分析】先利用线段中点定义得到，然后根据“”判断即可． 【详解】证明：点是线段的中点， ， 在和中， ， ． 知识点5 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【题型5 判定全等角形（AAS）】 【典例5】如图，和中，，点B、E、C在同一条直线上，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用同角的余角相等得出，再利用证明即可． （2）利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ，， ． 【变式1】如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先根据，得到，又因为，，可证明，从而可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，D是边上的点，平分交于点E，交于点F，已知． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明即可求证； （2）由全等三角形的性质可得，即得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ， ， ， 又 ， ， ； （2）解： ，， ， ， ， ， ． 【变式3】如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 【典例6】如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 【变式2】如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】首先利用“边角边”求出△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：如图，在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠2＝∠3， 在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 1．下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不稳定， ∴不容易变形的是：D． 2．如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三边对应相等的两三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意知，，， ． 3．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由边角边证明可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴. 4．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，看哪块可以符合三角形全等的条件即可． 【详解】解：根据“两角一夹边对应相等，两个三角形全等”可得，带③去就可以， 故选：D． 5．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用证明，则可得到米． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴米， ∴A，B间的距离为25米， 故选：A． 6．如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 根据和都是等腰直角三角形，得，，从而通过推导证明，得；再结合三角形内角和的性质，通过计算即可得到答案． 【详解】 和都是等腰直角三角形， ，， ∵ ， 故选：C． 7．小丽与爸妈在公园荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是证明． 由题意得：，，，，利用“角角边”证明后，结合全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意得：，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：． 8．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 9．如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 【答案】3 【详解】解：依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固根木条． 10．如图，，，于点，于点，若，，则的面积为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质． 通过全等三角形的判定定理证明，从而证明，，由即可求解． 【详解】解：， ， 于点， ， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 11．如图，中，，，是中点，若的长是整数，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形三边的关系．在延长线上截取，连接，证明，可得，由三角形三边的关系，可得的范围，结合已知条件可得． 【详解】解：在延长线上截取，连接，则， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵的长是整数， ∴． 故答案为：． 12．如图，在和中，延长交于F．，，． 求证：． 【答案】见详解． 【分析】由“”可证，可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．如图，已知，点A，B，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，可得，最后根据平行线的判定，即可证明结论； （2）根据线段的和差，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 探索全等三角形 考点1：判定全等三角形（边边边） 考点2：三角形的稳定性及应用 考点3：判定全等三角形（边角边） 考点4： 判定全等三角形（边角边） 考点5：判定全等三角形（角角边） 重点： （1）掌握全等三角形的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS） （2）能运用判定条件判断三角形全等，规范书写推理过程 难点★： （1）灵活运用判定条件解决问题，理清推理逻辑。 （2）准确识别旋转、翻折后三角形的对应元素 1.回顾全等三角形定义与性质，能识别对应元素。 2.探索并掌握全等三角形的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS），理解其含义。 3.能运用判定条件判断三角形全等，规范书写简单推理过程。 知识点1 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 【题型1 判定全等角形（SSS）】 【典例1】如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【变式1】如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【变式2】如图，．求证：． 【变式3】如图，已知，，是的中点，求证：． 知识点2 三角形的稳定性及应用 1.定义：三角形具有稳定性，即三角形的三边确定后，其形状和大小不会发生改变（与四边形易变形形成对比） 2.本质：三角形的稳定性源于全等三角形的判定（SSS），三边确定则三角形唯一全等，形状大小固定。 3.常见的应用：屋顶桁架、自行车车架，篮球架支架、相机三脚架等。 【题型2 三角形稳定性及应用】 【典例2】安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式1】如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用了三角形的（   ） A．美观性 B．简洁性 C．耐用性 D．稳定性 【变式2】第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【变式3】港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 知识点3 判定全等三角形（边角边） 用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【题型3判定全等角形（SAS）】 【典例3】如图，已知点B，D在上，，，．求证： (1)； (2)． 【变式1】如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【变式2】已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．求证． 【变式3】如图，已知相交于点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 知识点4 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【题型4判定全等角形（ASA）】 【典例4】如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】如图，与相交于点，，．求证：． 【变式2】如图，，，，求证：． 【变式3】已知：如图，与交于点，点是线段的中点，，连接、．求证：． 知识点5 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【题型5 判定全等角形（AAS）】 【典例5】如图，和中，，点B、E、C在同一条直线上，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求BC的长． 【变式1】如图，已知，，．求证：． 【变式2】如图，在中，D是边上的点，平分交于点E，交于点F，已知． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【变式3】如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型6 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 【典例6】如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【变式1】如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【变式2】如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 1．下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（   ） A．B．C． D． 2．如图是作的尺规作图，其中三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 4．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 5．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 6．如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．小丽与爸妈在公园荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）． A． B． C． D． 8．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 9．如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 10．如图，，，于点，于点，若，，则的面积为_________ ． 11．如图，中，，，是中点，若的长是整数，则___________． 12．如图，在和中，延长交于F．，，． 求证：． 13．如图，已知，点A，B，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $