第01讲 认识三角形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（北师大版新教材）

本讲义聚焦“认识三角形”核心内容，系统梳理三角形的概念、分类、三边关系、等腰三角形概念、重要线段（高、角平分线、中线）及内角和定理，构建从定义到性质再到应用的递进式学习支架。 资料以“知识点+题型”设计，通过典例与变式强化动手操作（如高的规范画法）和推理证明（如内角和定理的剪拼验证），培养几何直观与推理意识。课中辅助教师突出重点难点，课后练习题助学生查漏补缺，提升应用能力。

第01讲 认识三角形 考点1：三角形的概念 考点2：三角形的分类 考点3：三角形的三边关系 考点4：等腰三角形的概念 考点5：三角形的重要线段 考点6：三角形的内角和 重点：三角形三边关系、内角和定理、三角形的分类、高的画法及基础应用。 难点★：三角形内角和定理的证明、复杂图形中三角形的识别与计数、三角形高的规范画法及重心性质的应用。 1. 掌握三角形的定义、分类、三边关系、内角和定理：会画高、角平分线，理解重心概念，能解决相关计算与网格面积问题。 2. 通过探究、证明、作图，提升几何推理、动手操作与数形结合能力。 3. 激发几何学习兴趣，培养严谨思维与应用意识。 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角。 【题型1 三角形的识别与有关概念】 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A．B．C．D． 【变式1】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【变式3】如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 知识点2 三角形的分类 【题型2 三角形的分类】 【典例2】如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式1】若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式2】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类。其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 知识点3 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 等腰三角形的概念 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰，另一边叫作底，两条腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 【题型3 构成三角形的条件】 【典例3】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．2,3,5 B．3,4,5 C．1,2,3 D．2,2,5 【变式1】下列各组数中，能作为一个三角形三条边长的是（    ） A．1,1,2 B．2,2,5 C．2,3,4 D．1,2,4 【变式2】以下列各组线段为边，能构成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（　　） A． B． C． D． 【题型4 确定第三边的取值范围】 【典例4】由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 【变式3】三条边长分别为、、，若这三条边首尾顺次相连围成一个三角形，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【题型5 等腰三角形的定义】 【典例5】等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 【变式1】等腰三角形的一边为3，另一边为6，则这个三角形的周长为（） A．12 B．15 C．13 D．12或15 【变式2】等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【变式3】一等腰三角形的周长为20，两条边的比为，那么其底边长为（   ） A．10 B．4 C．4或10 D．5或8 知识点5 三角形的重要线段 【题型6 画三角形的高】 【典例6】下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【变式1】下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B．C．D． 【变式1】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B．C． D． 【题型7 三角形角平分线的定义】 【典例7】如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 【变式2】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【题型8 与三角形中线有关的计算】 【典例8】如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________． 【变式1】如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 【变式2】如图，和分别是的中线和高。已知的面积是6，，则的长是______。 【变式3】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 知识点6 三角形的内角和 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【题型9 三角形内角和的证明】 【典例9】如图，直线经过点A，，，， (1)________;________;________; （2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【变式1】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解： ，（       ） , ．( ) （已知）， ．( ) （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） ( ) （平角的定义） （等量代换） 【变式2】用两种方法证明“三角形的内角和等于”。 已知：，，是的三个内角。求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______, ______＋______, , . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【变式3】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【题型10 与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例10】如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 1.以下列各数为边长，能构成三角形的是（    ） A．1,2,3 B．2,5,2 C．3,4,8 D．1,10,10 2.画的边上的高，下列画法正确的是（   ） A．B．C．D． 3.如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 4.如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定 5.如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（   ） A． B． C． D． 6.在钝角中，，则下列不可能是的度数的是（） A． B． C． D． 7.下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8.如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 9.如图，，则写出的度数是______。 10.如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“〈”） 11.等腰三角形中一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为______。 12.如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线。 (1）若，，则与的周长差为________； (2）若，，求的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 认识三角形 考点1：三角形的概念 考点2：三角形的分类 考点3：三角形的三边关系 考点4：等腰三角形的概念 考点5：三角形的重要线段 考点6：三角形的内角和 重点：三角形三边关系、内角和定理、三角形的分类、高的画法及基础应用。 难点★：三角形内角和定理的证明、复杂图形中三角形的识别与计数、三角形高的规范画法及重心性质的应用。 1. 掌握三角形的定义、分类、三边关系、内角和定理:会画高、角平分线，理解重心概念，能解决相关计算与网格面积问题。 2. 通过探究、证明、作图，提升几何推理、动手操作与数形结合能力。 3. 激发几何学习兴趣，培养严谨思维与应用意识。 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【题型1 三角形的识别与有关概念】 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【变式2】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 知识点2 三角形的分类 【题型2 三角形的分类】 【典例2】如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式1】若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 【变式2】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 【变式3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 知识点3 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 等腰三角形的概念 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 【题型3 构成三角形的条件】 【典例3】下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，2，5 【答案】B 【分析】根据任意两边之和大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形，不符合题意； 对于选项B，∵，，，满足三角形三边关系，∴能组成三角形，符合题意； 对于选项C，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形，不符合题意； 对于选项D，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形，不符合题意． 【变式1】下列各组数中，能作为一个三角形三条边长的是（    ） A．1，1，2 B．2，2，5 C．2，3，4 D．1，2，4 【答案】C 【详解】解：A．，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B．，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； C．，满足三边关系，符合题意； D．，不满足两边之和大于第三边，不符合题意． 【变式2】以下列各组线段为边，能构成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，只需判断较短两条边的和是否大于最长边，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成三角形，故本选项符合题意； D、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 【变式3】从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中“任意两边之和大于第三边”，枚举所有取三根木棒的组合，判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：从四根长度分别为，，，的木棒中任取三根摆成三角形， 根据三角形三边关系逐一判断如下： ①取，，，此时周长为，，能构成三角形； ②取，，，此时周长为，但，此时不满足三边关系，不能构成三角形； ③取，，，此时周长为，，能构成三角形； ④ 取，，，此时周长为，，能构成三角形； 综上，所摆成的三角形的周长不可能是． 【题型4 确定第三边的取值范围】 【典例4】由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 ， ∴ 即 化简得 观察选项，只有在此范围内， 故选C． 【变式1】已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 【变式2】已知各边长均为整数，且，，是唯一的最长边，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．5或6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，结合是唯一的最长边、边长为整数的条件求解． 【详解】根据三角形三边关系，得， ∵，， ∴， ∵是唯一的最长边，已知边中最大边长为， ∴， 因此， 又∵的长为整数， ∴或． 【变式3】三条边长分别为、、，若这三条边首尾顺次相连围成一个三角形，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系确定的取值范围即可求解． 【详解】解：依题意有， 解得， 的取值可以是． 【题型5 等腰三角形的定义】 【典例5】等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 【答案】D 【分析】需分情况讨论，①当为腰长，为底边长时，②当为腰长，为底边长时，验证能否构成三角形后计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，2，5无法构成三角形，此情况舍去． ②当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，5，5可以构成三角形， 则它的周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 【变式1】等腰三角形的一边为3，另一边为6，则这个三角形的周长为（） A．12 B．15 C．13 D．12或15 【答案】B 【分析】需分两种情况分类讨论，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时，三角形三边长为3，3，6， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况不能构成三角形，舍去； ②当3为底边长时，三角形三边长为3，6，6， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该情况能构成三角形，周长为． 综上，这个三角形的周长为15． 【变式2】等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 【变式3】一等腰三角形的周长为20，两条边的比为，那么其底边长为（   ） A．10 B．4 C．4或10 D．5或8 【答案】B 【分析】分两种情况讨论等腰三角形底边与腰的比例，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）舍去不符合的情况，即可得到底边长． 【详解】解：∵等腰三角形两条边的比为， ∴当底边长腰长时，设底边长为，则腰长为， ∵周长为20， ∴ 解得， 此时三边长为， ∵， ∴满足三角形三边关系，符合要求； 当腰长底边长时，设腰长为，则底边长为， ∵周长为20， ∴ 解得， 此时底边长， 此时三边长为， ∵，不满足三角形三边关系，舍去这种情况． ∴该等腰三角形底边长为4 知识点5 三角形的重要线段 【题型6 画三角形的高】 【典例6】下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式1】下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高， 题目要求是的高，需要满足：过顶点，作对边所在直线的垂线，垂足为； 对四个选项逐一判断： A、，不垂直于，不符合； B、不垂直于，不符合； C、，不垂直于，不符合； D、过顶点作延长线的垂线，垂足为，符合三角形高的定义． 【变式1】如图，，，，垂足分别为点、、，中边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴中边上的高是． 【变式2】如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； B、三角板的直角边有一条在直线上，且另一直角边经过点，能直接画出边上的高，故此选项符合题意； C、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； D、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； 【题型7 三角形角平分线的定义】 【典例7】如图，在中是的平分线，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质． 首先由角平分线得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是的平分线，， ， 又， ． 故选：C． 【变式1】如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线，理解三角形的角平分线、高线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线． 故选：C． 【变式2】如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列关系式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高、角平分线、中线的定义，熟悉理解三角形高、角平分线、中线的定义是解题的关键． 根据三角形高、角平分线、中线的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故A说法正确，故A不符合题意； ∵是的角平分线， ∴，故B说法正确，故B不符合题意； ∵与不一定会相等，故C说法不正确，故C符合题意； ∵是的高， ∴，故D说法正确，故D不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【题型8 与三角形中线有关的计算】 【典例8】如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________． 【答案】10 【分析】首先求出，然后根据“与的周长的差是”列方程求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴ ∵，与的周长的差是， ∴ ∴，即 ∴． 【变式1】如图，在中，是中线，，的周长是，则的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，直接根据的周长 的周长 求解，即可解题． 【详解】解：在中，是中线即，， 的周长 的周长， 的周长为， 的周长为， 故答案为：． 【变式2】如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中线定理及利用三角形面积求对应的高．根据三角形中线定理得出，再由三角形的面积及三角形的高求得的值，从而求得的值． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 又∵的面积为6，，且为的高， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：8． 【变式3】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【答案】1 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，同理，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 知识点6 三角形的内角和 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【题型9 三角形内角和的证明】 【典例9】如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【答案】(1)；；； (2)理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到的度数，根据平角等于，列式求解得到的度数； （2）根据题意，作边平行线，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）， ∴三角形内角和等于． 【变式1】如图，点D、E、F分别在、、上，且，， 下面写出了说明“”的过程，请填空： 解： ，（       ） ， ．（ ） （已知）， ．（ ） （已知）， ．（两直线平行，同位角相等） （ ） (平角的定义) （等量代换） 【答案】已知，；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换． 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．利用平行线的性质进行推理即可． 【详解】证明：，，（已知） ，．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ．（等量代换） ，（平角的定义） ．（等量代换） 【变式2】用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【答案】证法1：；；证法2见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 【变式3】“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 【题型10 与平行线有关的三角形内角和问题】 【典例10】如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式2】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，5，2 C．3，4，8 D．1，10，10 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边的和是否大于最大边，即可判断能否构成三角形． 【详解】：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 2．画的边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：在中，画出边上的高，即是过点作边所在直线的垂线段，正确的是C ． 故选：C． 3．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 4．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为3． 故选：A． 5．如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】解：设另一根钢丝绳的长为， ∴，即， 根据选项，只有A选项符合题意， 故选：A ． 6．在钝角中，，则下列不可能是的度数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类．利用三角形内角和为及钝角三角形定义，计算各选项下角C的度数，判断是否存在钝角． 【详解】解：，． 对于，则，符合钝角三角形． 对于，则，符合． 对于，则，且，，无钝角，不符合． 对于，而，符合． 不可能是的度数是． 故选：C． 7．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 8．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解： 是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 9．如图，，则写出的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平角为，三角形内角和定理，根据题意得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 10．如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是明确三角形三条中线的交点（重心）与中线的关系，即过重心的线段为的中线． 先根据“点O是的三条中线的交点”，可知线段是的一条中线；再依据三角形中线的定义——连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可判断点D是边的中点；最后根据中点的性质，得出与的数量关系． 【详解】解：∵点O是的三条中线的交点，且A、O、D在同一条直线上，D在边上， ∴是的中线． 又∵三角形中线的定义为连接三角形一个顶点和它对边中点的线段， ∴点D是的中点． ∵中点将线段分为两条相等的线段， ∴ ． 故答案为：． 11．等腰三角形中一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，内角和等于180度，可判断出的角只能为等腰三角形的顶角． 【详解】解： ， 的角只能为等腰三角形的顶角， 这个等腰三角形的顶角的度数为， 故答案为：． 12．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 学科网（北京）股份有限公司 $