2026年中考数学一轮复习 讲义 旋转过程中的角度问题

旋转过程中的角度问题复习讲义 旋转过程中的角度问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托旋转的核心性质（旋转前后对应角相等、旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，且所有旋转角相等），结合对顶角、邻补角、三角形内角和/外角等基础角的关系，通过角的等量代换与和差拼接，推导角度间的相等、互补、和差倍分关系，本质是旋转定等角+旋转角，角的代换推数量关系。 二、通用解题思路 1. 析旋转，标核心角量：明确旋转中心、旋转角，标注旋转前后的对应角（相等）、旋转角（所有旋转角均为），锁定旋转产生的等角与固定旋转角； 1. 找角关联，搭代换桥梁：结合图形，将待探究角拆解为“旋转角±对应角”“三角形内角/外角±旋转角/对应角”，利用对顶角、邻补角等基础性质，搭建已知角与未知角的联系； 1. 代换化简，推角度关系：通过旋转的等角替换、旋转角的固定值代入，结合三角形角的定理进行和差运算，推导出待求角度的具体值或角度间的数量关系。 三、核心技巧与注意事项 1. 旋转角找法：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，而非图形的内角，勿找错角； 1. 等角优先替换：旋转前后的对应角直接相等，可优先用于替换待探究角中的未知部分，简化推导； 1. 结合三角形角定理：旋转常构造出等腰/全等三角形，可利用“等边对等角”“三角形内角和为180°”快速推角； 1. 多旋转角统一：同一旋转变换中所有旋转角相等，无需重复推导，直接代用即可。 例题分析 例1．（25-26九年级上·广东广州·期末）将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 例2．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，在中，，． 将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则________度．    例4．（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时，__________；（2）当恰为轴对称图形时，的值为_____________． 例5．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图1，已知正方形，点为上的一点，，交于点． (1)如图1，直接写出的值_______； (2)将绕点顺时针旋转，得到，连接、， ①如图2，当时，猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点与点重合，点和点重合，且时，将绕点顺时针旋转，旋转后连接、，若，则_______．（直接写结果） 例6．（25-26九年级上·北京·期中）已知：线段和点C，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，F为的中点，连接，． (1)如图1，点C在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点C在线段的上方，，请写出旋转角的度数，并说明理由． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为___________．    变式4．（25-26九年级上·广东珠海·月考）如图，四边形、均为正方形． (1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． (2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． (3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 变式5．（25-26九年级上·上海普陀·月考）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 实战演练 1．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 2．（25-26九年级下·山东威海·月考）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 3．（25-26九年级下·广东深圳·月考）如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为______． 4．（25-26九年级下·四川成都·月考）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 5．（25-26九年级下·湖南岳阳·月考）如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．    （1）求的度数； （2）求的长． 深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $旋转过程中的角度问题复习讲义 旋转过程中的角度问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托旋转的核心性质（旋转前后对应角相等、旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，且所有旋转角相等），结合对顶角、邻补角、三角形内角和/外角等基础角的关系，通过角的等量代换与和差拼接，推导角度间的相等、互补、和差倍分关系，本质是旋转定等角+旋转角，角的代换推数量关系。 二、通用解题思路 1. 析旋转，标核心角量：明确旋转中心、旋转角，标注旋转前后的对应角（相等）、旋转角（所有旋转角均为），锁定旋转产生的等角与固定旋转角； 1. 找角关联，搭代换桥梁：结合图形，将待探究角拆解为“旋转角±对应角”“三角形内角/外角±旋转角/对应角”，利用对顶角、邻补角等基础性质，搭建已知角与未知角的联系； 1. 代换化简，推角度关系：通过旋转的等角替换、旋转角的固定值代入，结合三角形角的定理进行和差运算，推导出待求角度的具体值或角度间的数量关系。 三、核心技巧与注意事项 1. 旋转角找法：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，而非图形的内角，勿找错角； 1. 等角优先替换：旋转前后的对应角直接相等，可优先用于替换待探究角中的未知部分，简化推导； 1. 结合三角形角定理：旋转常构造出等腰/全等三角形，可利用“等边对等角”“三角形内角和为180°”快速推角； 1. 多旋转角统一：同一旋转变换中所有旋转角相等，无需重复推导，直接代用即可。 例题分析 例1．（25-26九年级上·广东广州·期末）将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨论是解题的关键．根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：当时，如图，   ，， ， ， ， 旋转角为； 当时，如图，   ，， ， 旋转角为； 故选：C． 例2．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 例3．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，在中，，． 将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则________度．    【答案】60 【分析】先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据旋转的性质得出，再根据等边对等角得出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解： ， 旋转到， ， ， ， 即旋转角n是， 故答案为：60． 例4．（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时，__________；（2）当恰为轴对称图形时，的值为_____________． 【答案】 40° 50°或65°或80° 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到，然后结合旋转的性质得到，然后根据外角的性质得到，进而求解即可； （2）如图1，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图2，连接并延长交于H，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图3，连接并延长交于G，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到． 【详解】（1）连接， ∵中，O为中点 ∴ ∵将绕着点O逆时针旋转至 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵恰为轴对称图形， ∴是等腰三角形， 如图1，连接， ∵O为斜边中点，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 当时，如图2，连接并延长交于H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， 连接并延长交于G，连接， ∵，O为斜边中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 综上所述：当恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°， 故答案为：50°或65°或80°． 例5．（25-26九年级上·山东德州·月考）如图1，已知正方形，点为上的一点，，交于点． (1)如图1，直接写出的值_______； (2)将绕点顺时针旋转，得到，连接、， ①如图2，当时，猜想与的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点与点重合，点和点重合，且时，将绕点顺时针旋转，旋转后连接、，若，则_______．（直接写结果） 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】（1）利用正方形对角线平分内角的性质，结合垂直条件得到等腰直角三角形，利用计算与的数量关系； （2）①通过旋转性质得到边角关系，证明，从而得到与的比例关系；②分两种情况讨论，由，点在的中垂线上，结合正方形的性质，证明是等边三角形，利用，计算旋转角度即可． 【详解】（1）解：是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：①猜想， 理由：由（1）知，，， ， 由旋转知，， ， ， ； ②情况一：根据题意画图，连接，， ， ∴点在的中垂线上， ， ， ， ∵四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形， ， 如图3，， 即：， 情况二：，即：， 故答案为：或． 例6．（25-26九年级上·北京·期中）已知：线段和点C，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，F为的中点，连接，． (1)如图1，点C在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数； (2)如图2，点C在线段的上方，，请写出旋转角的度数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由题意画出图形即可，延长，交的延长线于点，理由平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到．再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （2）画出图形，延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，证明，然后推出，证明，推出为等腰直角三角形，即可解答 【详解】（1）解：补全图形 如图： 延长，交的延长线于点， 由题意：，， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 即． ， ． ； （2）解：，理由如下： 延长至点使，连接，，延长交的延长线于点，如图， 根据（1）中原理可得， ，， ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 则． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为___________．    【答案】 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·广东珠海·月考）如图，四边形、均为正方形． (1)如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． (2)将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． (3)若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)； 【分析】（1）证明得出，且，可判定出其位置关系； （2）过作，，垂足分别为、，证明得，通过证明四边形为正方形可得出的度数； （3）由旋转性质可知：当点在线段上时的长度最短，当在初始位置时，最大，利用勾股定理求出其长度即可． 【详解】（1）解：，． 证明：延长交于点， ∵四边形、均为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，，垂足分别为、，设交于点， ∴， ∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴； （3）∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， 当正方形在初始位置时，最大，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， 此时； 当点在线段上时，DG最小，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， ∴ 此时； 综上所述，在这个旋转过程中线段长度的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 变式5．（25-26九年级上·上海普陀·月考）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 实战演练 1．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，等腰中，，，将绕点B顺时针旋转，得到，连结，过点A作交的延长线于点H，连结，则的度数（    ） A． B． C． D．随若的变化而变化 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：根据旋转有：， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级下·山东威海·月考）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 【答案】B 【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：B． 3．（25-26九年级下·广东深圳·月考）如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂直的定义以及直角三角形两锐角互余的性质． 根据旋转的性质，可得知，，利用垂直的定义以及直角三角形两锐角互余求得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转后得到了， ∴，． ∵于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：53． 4．（25-26九年级下·四川成都·月考）在等腰直角中，，，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为，连接CP，PB．          (1)如图1，当时，求BP的长； (2)如图2，若，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由； (3)在旋转过程中，当时，求旋转角的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）点P落在上，解等腰直角，，所以； （2）解：如图，延长到点F，使得，连接，可证，于是，，结合三角形内和定理，可求证，于是，得，所以； （3）解：分两种情况：①当点P在内部，如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，求证，于是，所以，中 ，，于是；②当点P在外部，如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H，求证，于是，进一步证得，，而，所以，即． 【详解】（1）解：时，点P落在上， 等腰直角中，， ∴ ∴ （2）解：如图，延长到点F，使得，连接 ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ ∴    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ （3）解：分两种情况：①当点P在内部 如图 ，过点P作，交于点G，过点C作，垂足为E，    ∵ ∴， 中， ∴ 由（2）推证知 ∴ 又， ∴ ∴ 又 ∴中 ， ∴ ②当点P在外部 如图，延长，交于点I，过点A作,垂足为点H    ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 综上，或 5．（25-26九年级下·湖南岳阳·月考）如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．    （1）求的度数； （2）求的长． 深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】初步尝试：（1）；；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或 【分析】（1），点分别为边的中点，则是的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：（1）连接，，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；（2）连接，证明，则，设，则，在中，，则，在中，，勾股定理求得，则； （3）当点在同一直线上时，且点在上时，设，则，得出，则在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解． 【详解】初步尝试：（1）∵，点分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴；； 故答案是：； （2）特例研讨：（1）如图所示，连接，，    ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵将绕点顺时针旋转（为锐角），得到， ∴； ∵点在同一直线上时， ∴ 又∵在中，是斜边的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即旋转角 ∴ ∴是等边三角形， 又∵， ∴, ∴, ∴, ∴, （2）如图所示，连接， ∵，， ∴，,    ∵, ∴, ∴, 设，则， 在中，，则， 在中，, ∴, 解得：或（舍去） ∴, （3）如图所示，当点在同一直线上时，且点在上时，    ∵， ∴， 设，则， ∵是的中位线， ∴ ∴， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴ ∴， ∵点在同一直线上， ∴ ∴， ∴在同一个圆上，    ∴ ∴ ∵， ∴； 如图所示，当在上时，    ∵ ∴在同一个圆上， 设，则， 将绕点顺时针旋转，得到， 设，则，则， ∴， ∵, ∴， ∵ ∴ ∴ 综上所述，或 2 学科网（北京）股份有限公司 $