旋转的性质与面积问题综合复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

旋转的性质与面积问题综合复习讲义 旋转的性质与面积问题综合复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托旋转的核心性质（旋转前后图形全等，对应边/角相等，对应点到旋转中心的距离相等），将旋转后的不规则面积、面积和差转化为原图形的规则面积（如三角形、扇形），结合扇形面积公式、三角形面积公式及割补法，实现面积的计算、定值证明与最值探究，本质是旋转造全等化不规则为规则，结合面积公式求结果。 二、通用解题思路 1. 析旋转，标全等等量：明确旋转中心、旋转角、旋转前后的对应图形/点/边，标注旋转产生的全等图形和相等线段/角度，锁定旋转形成的扇形（旋转角+旋转半径为扇形核心要素）； 1. 割补转化，定面积关系：将待求面积通过割补、拼接转化为可计算的规则图形面积和差，核心转化逻辑： · 旋转后重叠/拼接面积→利用全等消去重叠部分，转化为原图形面积； · 旋转形成的阴影面积→拆分为扇形面积±三角形面积（最常见），或全等图形的面积替换； 1. 代公式计算，证结论：代入扇形面积（为旋转角，为旋转半径）、三角形面积公式等，计算规则图形面积；若为定值/最值问题，结合旋转角/半径的取值范围验证结论。 三、核心技巧与注意事项 1. 全等替换是关键：旋转的全等性可直接实现面积等量替换，无需重复计算，快速化简不规则面积； 1. 锁定扇形核心要素：旋转角决定扇形的圆心角，对应点到旋转中心的距离为扇形半径，二者缺一不可； 1. 割补贴合旋转特征：沿旋转中心、对应点连线进行割补，让拆分后的图形与旋转形成的全等/扇形直接关联； 1. 旋转角范围必关注：旋转角受图形边界限制时，需结合范围判断扇形/三角形的存在性，避免面积计算超出实际。 例题分析 例1．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，再推出，即可得出结论，然后利用三角形中位线的性质推出得，最后根据互余即可得出结论； （2）证明得，利用三角形的中位线得出，，继而得到，结合（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中，线段与的数量关系是，位置关系是； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： ∵把绕点逆时针方向旋转到图的位置， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵点，是，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴最大时，的面积最大， ∵绕点在平面内自由旋转，，， ∴当在的延长线上时，最大 此时， ∴， 即面积的最大值． 例2．（2026·陕西·一模）【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行有效转化，从而使题目变得简单． (1)【问题提出】如图1，在等边中有一点，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形），在点处修建两个管理室，且两个管理室的距离为．根据设计要求，将休闲场所分为与两部分，其中在中，，用来作为游乐场，由管理室负责管理；在中，，将它作为开心农场，由管理室负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（）的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接，即，；易得是等边三角形，则，，再利用勾股定理逆定理可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接．利用旋转的性质以及勾股定理可得，再说明；如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M．则，进而得到；设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点 O 作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则．利用三角形的不等关系可得的最大值为．最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M． 则， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴ 点B在以 为弦， 所含圆周角为的弧上． 设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点O作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则． ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． ∵， ∴开心农场（）的最大面积为． 例3．（2026·广东东莞·一模）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)的面积的最大值是． 【分析】（1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论； （2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长； （3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号）， ∴的面积的最大值是． 例4．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，，，分别为，的中点，将以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到（点，的对应点分别为点，），连接，． 【初步感知】 （1）如图2，当，，三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为__________．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【延伸探究】 （3）如图4，当满足时，连接，，若设与的面积之和为，则是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），，理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、旋转的性质、三角形内角和定理以及最值问题的求解． （1）根据线段中点的定义可得，再由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，证明，则由三角形外角和定理可得； （2）延长交于点，交于点，由（1）知，则，，则可推导，由此得到线段和之间的数量关系和位置关系； （3）连接，，二者交于点，由（1）得，，证明，则，推导，，当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值，当、、三点共线时，有最大值，由与的面积之和的最大值为即可解答． 【详解】（1）解：，，，分别为，的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，，，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：，，理由如下， 如图，延长交于点，交于点， 由（1）知， ，， 又， ， ， 综上所述，，； （3）解：如图，连接，，二者交于点， 由（1）知，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，则，， ， ， ， 即， ， ， 当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值， ， 当、、三点共线时，有最大值，最大值为， 的最大值为， 与的面积之和有最大值，此时． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图1，在中，，点分别是边、的中点，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，． (1)探究的值； (2)如图3，当时，延长交于点，求的长； (3)在旋转过程中，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据中点的意义得出，，从而可得，再根据旋转的性质得出，从而可证得，进而可求出； （2）先说明，再根据（1）得：，可得出，再结合，可得出，从而可证得，于是有，再根据等面积法可得：，然后利用勾股定理求得，代入，从而可求得； （3）过作于点，中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，从而可得出当点在的高所在的直线时，的面积取得最大值，再利用勾股定理求得，从而可根据面积法求得，再根据求得，从而可求得面积的最大值． 【详解】（1）解：∵，E是边，的中点， ∴，， ∴， 将绕点顺时针方向旋转，旋转角为， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，延长交于点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 由等面积法可得：， ∵，，， ∴； （3）解：过作于点， 中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点在的高所在的直线时，的面积取得最大值，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值为： ． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，中，，，，点D为射线上一点，，过点D作，交射线于点E．将绕点A顺时针旋转得到，其中旋转角（）． (1)求的值． (2)当，且时，当的面积为8，求的面积． (3)若点N为直线上一点，且在旋转过程中，的最小值为3．求k的值，并求当B、F、G三点共线时的面积． 【答案】(1) (2)24 (3)，当B、F、G三点共线时的面积为或 【分析】（1）由勾股定理求得，先证，再证，即可得答案； （2）过C作延长线于I；过C作，交延长线于H，证四边形为矩形，求得，即可解答； （3）当F、G两点分别在直线两侧，且F、N、G共线时，的值最小，分F居中时和G居中时两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵绕点A旋转至， ∴，，， ∴ ，， ∴， ∴； （2）解：过C作延长线于I；过C作，交延长线于H， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵旋转至， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：∵当F、G两点分别在直线两侧，且F、N、G共线时，的值最小，此时，             ∴， ∵， ∴， ∴， ， ①当B、F、G共线，F居中时， 过C作垂直于M ，     在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴， ②当B、F、G共线，G居中时，             同①，， 综上所述， ，当B、F、G三点共线时的面积为或． 变式3．（25-26九年级上·天津南开·月考）将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的长为_____________，的度数是_________________； (2)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别是，设，与重合部分面积为． ①如图②，的边分别与相交于点，即与重合部分为时，请用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理可得答案，再根据，可得； （2）①过点作于，则，可得，设，由，得，，根据，即，，当点C与点E重合时，即，解得，得； ②第一种情况，当时，过点作轴于，连接，可得点D此时刚好在上，；第二种情况，当时，设与，分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J，由①得，则，由题设可得，直线的关系式为，易得，由，得，，即，即当时，；第三种情况，由（2）①得，当时，，随的增大而增大，即当时，，综上所述，的取值范围为． 【详解】（1）解：点，点， ，, 在中，， 由旋转性质，可得， ， ； 故答案为：，； （2）解：①如图所示，点，点， ，, 在中，， 由旋转性质，可得，， ， ， ， ， 过点作于，则， ， ， 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 即， ， ； 当点C与点E重合时，即，则，解得， ； ②第一种情况，如图3-1所示，当时，过点作轴于，连接， ， ， 由旋转的性质可得， ， ，， ， 在中，， 点D此时刚好在上， ； 第二种情况，如图3-2所示， 当时，设与，分别交于点H和F，过点F作于点G，延长交于J， 由①得，则， 设直线关系式为，则， 解得， 直线的关系式为， 在中，当时，则，解得， ， ， ， ， ， ， 当时，， 即当时，； 第三种情况，由（2）①得，当时，，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 即当时，； 综上所述，的取值范围为． 变式4．（25-26九年级上·天津河西·月考）在平面直角坐标系中，点，点．将绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点分别为，，记旋转角为． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)如图②，当时，求点，的坐标． (3)在绕点顺时针旋转一周的过程中，设的面积为， 直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现其中的相等关系以及正确构造等边三角形与等腰直角三角形． （1）先利用旋转的性质得出是等边三角形，接着利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半，求出，利用勾股定理求出的值，即可求解； （2）先利用旋转的性质求出，利用勾股定理求出，即可求出的坐标，再利用勾股定理求出后即可求解； （3）根据的运动轨迹是以点为圆心，半径为的圆，即可得出底边上的高的最大值，最后即可得出的面积的最大值． 【详解】（1）解：点，点， ． 将绕点顺时针旋转，得， ． 如图①， 连接，过点作轴于点， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． （2）解：由（1）可知，，， ． ， ， ． ， ， ． 如图②， 分别过点作轴于点，轴于点， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． （3）解：设底边上的高为， 由题意得，， 即当最大时，取到最大值． 的运动轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 的最大值为， ． 实战演练 1．（25-26九年级上·山西朔州·月考）综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． 提出问题 （1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示） 解决问题 （3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3）25． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为； （2）过点作，交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∴ 在和中 ∴（） ∴ 则的面积为 （3）过点作，交的延长线于点， 过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴ ∵， ∴， 由旋转的性质得：， 在和中 ∴（） ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∴是的中点， ∵ ∴ 则的面积为 2．（25-26九年级上·天津·月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，绕点B顺时针旋转，得，点A、O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)若，边上的一点M旋转后的对应点为N，如图1，当时，求点N的坐标和的长度； (2)如图3，若，求点的坐标； (3)如图4，P为上一点，且，连接，，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围为________． 【答案】(1)(1) ； (2) (3) 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质求解即可； （2）过分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，连接，根据旋转性质得，，，可得，解直角三角形得，由勾股定理得，从而可得； （3）如图③-1中，当点落在的延长线上时，的面积最大，如图③-2中，当点落在上时，的面积最小，分别求解即可． 【详解】（1）解： 点，点， ， 由旋转的性质可知， ， 由题意，横坐标为，纵坐标为， ， 点坐标， ； （2）过分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，连接，如图， 绕点顺时针旋转得， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ； （3）如图③-1中， 当点落在的延长线上时，的面积最大， 由题意， ， ， ， ， 的面积的最大值， 如图③-2中，当点落在上时，的面积最小， 最小值为； 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $旋转的性质与面积问题综合复习讲义 旋转的性质与面积问题综合复习讲义 知识点解析 一、核心原理 依托旋转的核心性质（旋转前后图形全等，对应边/角相等，对应点到旋转中心的距离相等），将旋转后的不规则面积、面积和差转化为原图形的规则面积（如三角形、扇形），结合扇形面积公式、三角形面积公式及割补法，实现面积的计算、定值证明与最值探究，本质是旋转造全等化不规则为规则，结合面积公式求结果。 二、通用解题思路 1. 析旋转，标全等等量：明确旋转中心、旋转角、旋转前后的对应图形/点/边，标注旋转产生的全等图形和相等线段/角度，锁定旋转形成的扇形（旋转角+旋转半径为扇形核心要素）； 1. 割补转化，定面积关系：将待求面积通过割补、拼接转化为可计算的规则图形面积和差，核心转化逻辑： · 旋转后重叠/拼接面积→利用全等消去重叠部分，转化为原图形面积； · 旋转形成的阴影面积→拆分为扇形面积±三角形面积（最常见），或全等图形的面积替换； 1. 代公式计算，证结论：代入扇形面积（为旋转角，为旋转半径）、三角形面积公式等，计算规则图形面积；若为定值/最值问题，结合旋转角/半径的取值范围验证结论。 三、核心技巧与注意事项 1. 全等替换是关键：旋转的全等性可直接实现面积等量替换，无需重复计算，快速化简不规则面积； 1. 锁定扇形核心要素：旋转角决定扇形的圆心角，对应点到旋转中心的距离为扇形半径，二者缺一不可； 1. 割补贴合旋转特征：沿旋转中心、对应点连线进行割补，让拆分后的图形与旋转形成的全等/扇形直接关联； 1. 旋转角范围必关注：旋转角受图形边界限制时，需结合范围判断扇形/三角形的存在性，避免面积计算超出实际。 例题分析 例1．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． (1)观察猜想：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 例2．（2026·陕西·一模）【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行有效转化，从而使题目变得简单． (1)【问题提出】如图1，在等边中有一点，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形），在点处修建两个管理室，且两个管理室的距离为．根据设计要求，将休闲场所分为与两部分，其中在中，，用来作为游乐场，由管理室负责管理；在中，，将它作为开心农场，由管理室负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（）的最大面积． 例3．（2026·广东东莞·一模）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 例4．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，，，分别为，的中点，将以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到（点，的对应点分别为点，），连接，． 【初步感知】 （1）如图2，当，，三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为__________．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【延伸探究】 （3）如图4，当满足时，连接，，若设与的面积之和为，则是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 变式训练 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图1，在中，，点分别是边、的中点，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，． (1)探究的值； (2)如图3，当时，延长交于点，求的长； (3)在旋转过程中，求面积的最大值． 变式2．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，中，，，，点D为射线上一点，，过点D作，交射线于点E．将绕点A顺时针旋转得到，其中旋转角（）． (1)求的值． (2)当，且时，当的面积为8，求的面积． (3)若点N为直线上一点，且在旋转过程中，的最小值为3．求k的值，并求当B、F、G三点共线时的面积． 变式3．（25-26九年级上·天津南开·月考）将放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在轴正半轴上，连接． (1)填空：如图①，的长为_____________，的度数是_________________； (2)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别是，设，与重合部分面积为． ①如图②，的边分别与相交于点，即与重合部分为时，请用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围．（直接写出结果即可） 变式4．（25-26九年级上·天津河西·月考）在平面直角坐标系中，点，点．将绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点分别为，，记旋转角为． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)如图②，当时，求点，的坐标． (3)在绕点顺时针旋转一周的过程中，设的面积为， 直接写出的最大值． 实战演练 1．（25-26九年级上·山西朔州·月考）综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． 提出问题 （1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示） 解决问题 （3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 2．（25-26九年级上·天津·月考）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，绕点B顺时针旋转，得，点A、O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)若，边上的一点M旋转后的对应点为N，如图1，当时，求点N的坐标和的长度； (2)如图3，若，求点的坐标； (3)如图4，P为上一点，且，连接，，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $