专题07 相似模型中的旋转型相似（几何模型讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“旋转型相似”专题，覆盖中考几何压轴核心考点，梳理了“等腰共顶点、等边共顶点、正方形共顶点”等基本模型及演变，通过“真题现模型-提炼模型-模型运用”架构，结合考点梳理、推理方法指导和中考真题训练，帮助学生构建知识网络，突破相似证明与计算难点。 亮点在于以核心素养为导向，通过模型对比（如等边与等腰直角三角形旋转）培养几何直观，借助典例推理过程发展推理意识，设置分层练习（基础典例到综合应用题）实现精准提升。教师可利用资料把控复习节奏，学生能通过模型化思维快速解决角相等、线段计算等压轴问题，高效提升应考能力。

专题07相似模型中的旋转型相似 旋转模型相似是初中相似三角形中最高阶的模型，是中考几何压轴级的核心模型。它的基本模型是两个相似三角形，共一个顶点旋转，就会产生新的一对相似三角形。常见的类型有“两个等腰共顶点”、“两个等边共顶点”、“两个正方形共顶点”，它常常出现在压轴题中，用来证明角相等、线段成比例、求线段的长度、确定动点轨迹等等。 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型运用 3 5 1.（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 2. （2025·江苏扬州·中考真题）问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 【基本模型】 图示 推理 条件：若DE//AB，旋转△ADE 结论：△ABD∽△ACE 证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴△ADE∽△ABC，∴=． ∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE． 【模型演变】——等边三角形的旋转、等腰直角三角形的旋转、矩形的旋转、正方形的旋转 条件：若△ADC、△CEM均为等边三角形 结论：△ACE≌△DCB 条件：若△ABC、△EDC均为等腰直角三角形 结论：△ACE∽△BCD 条件：将矩形ABCD绕点A逆势针旋转 结论：△ABB＇∽△ADD＇ 条件：若四ABCD、四EBGF均为正方形 结论：△ABE≌△CBG 【典例１】（2025·江苏常州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【典例２】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ． 【典例３】（2025·河北·模拟预测）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点D，则的长为 ．    【典例４】（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ． 【典例５】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，正方形的边长为1，点是边上的动点，从点沿向点运动，以为边，在的上方作正方形，连接．请探究： (1)线段与是否相等？请说明理由． (2)若，请给出证明；若设，，则当取何值时，最大？ (3)连接，当点运动到的何位置时，？请直接写出结论． 2．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 4．（2024·安徽安庆·二模）如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围. 5．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3) 若，，请直接写出的长． 7．（2025·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 8．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 9．（2025·江苏扬州·三模）在中，，点D为斜边上的动点（不与点A，B重合）． (1)操作发现：如图①，当时，把线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． ①的度数为______； ②和有什么数量关系，请写出你的探究过程； (2)探究证明：如图2，当时，把线段绕点C逆时针旋转后并延长为原来的两倍，记为线段． ①在点D的运动过程中，请判断与有什么数量关系？并证明； ②若，在点D的运动过程中，当的形状为等腰三角形时，直接写出此时的面积． 10．（2025·江苏南通·三模） 是的内接三角形，点是上一点，且点与点在的两侧，连接，，． (1)在图1中，是等边三角形的外接圆，点P是上任一点，连接，如果把绕点A逆时针旋转，得到，易证点P，C，D三点共线，且是等边三角形．所以，，这三条线段的数量关系是________；（只填结果） (2)类比探究如图，把中的改为等腰直角三角形，，其他条件不变，三条线段，，还有以上的数量关系吗？说明理由． (3)知识应用如图3，在四边形中，，，，，求的长． (4)迁移拓展如图，把（1）中改为任意三角形，，，时，其他条件不变，求证 11．（2025·江苏宿迁·三模）如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 12．（2025·江苏南京·模拟预测）综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 13．（2025·江苏无锡·二模）将一个图形绕一个点旋转，往往可以得到很多有趣的结论．小明在学习旋转变换时，作了以下的尝试： (1)如图1，将绕点B旋转至 ，连接 ，请找出图中的一对相似三角形（全等除外），并证明； (2)如图2，小明又将绕点B旋转至，其中，直线 与直线相交于点D，通过观察、实验、猜想等操作方式，发现点D是线段的中点，请你帮助验证这个结论是正确的，写出证明过程； (3)如图3，若是边长为2的等边三角形，D是内一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，若，直线与直线交于点F，且F是中点，求的长． 14．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 15．（2025·江苏淮安·一模）已知矩形，将矩形绕点A旋转． (1)如图1，当点E落在上时，作于点H，且， ①若，，求的长； ②连接，判断四边形的形状是______． (2)如图2，当点E落在上时， ①若，，求的值； ②若，，连接交于点Q，直接写出的值为______． (3)如图3，点B在上，交于点M，若，求的值． 16．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E． (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 1/13 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07相似模型中的旋转型相似 旋转模型相似是初中相似三角形中最高阶的模型，是中考几何压轴级的核心模型。它的基本模型是两 个相似三角形，共一个顶点旋转，就会产生新的一对相似三角形。常见的类型有“两个等腰共顶点”、“两个 等边共顶点”、“两个正方形共顶点”，它常常出现在压轴题中，用来证明角相等、线段成比例、求线段的长 度、确定动点轨迹等等。 目录导航 例题讲模型 真题现模型… 提炼模型… 模型运用 习题练模型 17 例题讲模型 真题现模型 1.(2025江苏镇江·中考真题)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=8,D是AB的中 点，M是边4C上的动点，作DN1DM,交BC于点N,延长ND到点P,使得DP号MD.当aPNB面 积最大时，AM的长等于 M 【答案】2 【分析】连接CD,取BD的中点Q,连接PO并延长交BC于点E,证明△ADM≌△CDN,得到AM=CN ,证明△ADM∽△QDP,得到PQ∥AM,AM=2PQ,进而得到PE⊥BC,推出△BEQ为等腰直角三角形 1/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 家出BEEB0名0士AD52,设P0=,则：0WEM2,PEr+2,根嘉APNB围 4 1 =。BN·PE,转化为二次函数求最值即可. 2 【详解】解：连接CD,取BD的中点Q,连接PQ并延长交BC于点E, ,'∠C=90°，AC=BC=8,D是AB的中点， .4B=V2AC=82,∠A=∠CBA=45,CD=4B=AD=BD=4W2,∠ACD=∠BCD=45°，CD1AB, .∠ADM+∠CDM=90°， .DM⊥DN, ∴.∠CDN+∠CDM=90°， .LCDN=∠ADM, .△ADM≌△CDN, .'AM =CN, ,Q为BD的中点. D0-8n-4D, DP-MD. MD_AD=2, DPDO .∠ADM=∠PDQ, ∴.△ADM∽△QDP, AM=2, ∠MAD=LP0D, .PQ∥AM,AM=2P0, ∴.∠PEB=∠ACB=90°，即：PE⊥BC, ,∠CBA=45°， .△BEQ为等腰直角三角形， 2/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=EO-B0-460-2 4 设PQ=x,则：CN=AM=2x,PE=x+2, ..BN =BC-CN=8-2x, aPw8面积=8N-PE=8-2x+2=-+2x+8=--1+9. .当x=1时，△PNB面积的面积最大； 此时AM=2; 故答案为：2. 2.(2025江苏扬州中考真题)问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD, GH∥AB,矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况. B H H 图1 图2 图3 【从特例开始】 (1)小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2)，请你仅用无刻度的直尺连接一条线 段，由此可得此图形中∠FAH= (2)小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE=PF=6,PG=4,PH=8,求此图形 中∠FAH的度数； 【一般化探索】 (3)利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由 【答案】(1)作图见解析，45；(2)∠FAH=45°；(3)随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45° 【分析】(1)连接AH,AF与格线的交点记为M,N,先确定点M,N为格点，然后由勾股定理以及逆定理 证明△AMN为等腰直角三角形，即可求解∠FAH的度数； (2)延长CB至点T,使得BT=DF,连接AT,FH,先证明△ABT≌△ADF(SAS),则AT=AF,∠I=∠2 ,那么∠2+∠3=90°-∠4=∠1+∠3=∠TAH,可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH,PGDF,PHCF为矩 形，求出TH=TB+BH=10,由勾股定理得HF=10,则HT=HF,那么△AHT≌△AHF(SSS),则 ∠TAH=∠4，即可求解∠FAH=45°； 3/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)延长CB至点T,使得BT=DF,连接AT,FH,同理△ABT≌△ADF(SAS),同(2)可得四边形 AEPG是矩形，四边形PEBH,PGDF,PHCF为矩形，设正方形的边长为x,AG=a,PG=b,则 CH=BC-BH=x-a,CF=CD-DF=x-b,HT=BH+BT=Q+b,由S矩形PHcF=2S矩形PGAE,得到 x2=ab+ax+bx,在RtaCHF中，由勾股定理得HF2=(x-a2+(x-b),，求出HF=a+b,则HF=HT, 再同(2)△AHT≌△AHF(SSS)即可. 【详解】解：(1)如图，MN即为所求： 】 图2 连接AH,AF与格线的交点记为M,N, 由网格可得，EM∥BH, .△AEM∽△ABH, .EM AE 1 BH AB 2' BH=2, .'EM =1, .M为格点，同理N为格点， ,AM=√AE2+EM2=√0，MN=V2+32=√10，AN=V22+42=√20， .'AM2+MN2=AN2,AM MN, .∠AMN=90°， .△AMN为等腰直角三角形， .∠FAH=45°： 故答案为：45； (2)延长CB至点T,使得BT=DF,连接AT,FH, 4/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 图3 ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=∠C=∠D=∠ABC=∠ABT=90°， .△ABT≌△ADF(SAS), .AT=AF，∠1=∠2， .L2+∠3=90°-∠4=∠1+∠3=∠TAH, ,EF∥AD,GH∥AB, ∴.四边形AEPG是平行四边形， ∠BAD=90°， .四边形AEPG是矩形， 同理可得四边形PEBH,PGDF,PHCF为矩形， ∴.PE=BH=6,PG=DF=TB=4,∠HPF=90°， .TH=TB+BH=4+6=10,HF=VPH+PF2=V62+82=10, .'HT =HF, .在△AHT和△AHF中， AH=AH HT =HF AT=AF .△AHT≌△AHF(SSS), .∠TAH=∠4， ∠TAH=90°-∠4， .90°-∠4=∠4， .∠4=45°，即∠FAH=45°： (3)随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下： 延长CB至点T,使得BT=DF,连接AT,FH, 5/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D B H 图1 :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=∠C=∠D=∠ABC=∠ABT=90°， ∴.△ABT≌△ADF(SAS), .BT=DF,AT=AF,∠1=∠2， .L2+∠3=90°-∠4=∠1+∠3=∠TAH, 同(2)可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH,PGDF,PHCF为矩形， 设正方形的边长为x,AG=a,PG=b, ..AG=PE=BH=a,PG=DF=BT=b, .CH=BC-BH=x-a,CF=CD-DF=x-b, ..HT=BH+BT=a+b, ?S矩形PHCP=2SE无PG4E, .(x-a)(x-b)=2ab, 整理得x2=ab+ax+bx, ,在RtoCHF中，CH2+CF2=HF2, .HF2=(x-a2+(x-b2 =2x2-2ax+a2-2bx+b2 =2ab+2ax+2bx-2ax+a2-2bx+b2 =(a+b)2, .HF=a+b(舍负)， :HF HT, .在△AHT和△AHF中， 6/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH=AH HT=HF, AT=AF .△AHT≌△AHF(SSS), .∠TAH=∠4， ∠TAH=90°-∠4， .90°-∠4=∠4， ∴.∠4=45°，即∠FAH=45°. 提炼模型 【基本模型】 图示 推理 条件：若DE/AB,旋转△ADE A D 结论：△ABD∽△ACE 证明：DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, △ADE∽△ABC,:4D-AB ·AEAC ,∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE. 【模型演变】一等边三角形的旋转、等腰直角三角形的旋转、矩形的旋转、正方形的旋转 条件：若△ADC、△CEM均为等边三角形 结论：△ACE≌△DCB 7/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：若△ABC、△DC均为等腰直角三角形 结论：△ACE∽△BCD 条件：将矩形ABCD绕点A逆势针旋转 结论：△ABB'∽△ADD' H 条件：若四ABCD、四EBGF均为正方形 结论：△ABE≌△CBG 图1 图2 模型运用 【典例1】(2025江苏常州一模)如图，ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点，点E在 AC上且CE=2AE,将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF,连接AF,则AF的长为() E A.5 B. 16 e号 D.6 【答案】C 【分析】如图所示，连接AD并延长，过点E作EG⊥AD交AD于点G,过点F作FH⊥AD交AD延长线 于点H,得到AD1BC,AD平分∠BAC,BD=CD=号BC=3,求出AD=√AB-BD=4,然后证明出 4GE-4DC,得到4G=GE-AE CR-AC代数求出4GGE,DG=AD-AG8然后证明出 △EGD2aDHF(AAS,得到DH=GE=l,GD=HF-8,最后利用勾股定理求解即可. 8/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】如图所示，连接AD并延长，过点E作EG⊥AD交AD于点G,过点F作FH⊥AD交AD延长线 于点H E G ,ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点， 4D1BC,4D平分∠B4C,D=CD-8C=3 .AD=AB2-BD2=4 .CE=2AE,AE+CE=AC .AE 1 ·AC3 ,EG⊥AD, .∴.GEBC ∴.△AGE△ADC …侣器是啡9号 433 &4G=3GB= 4 .DG=AD-AG=8 3 .EG⊥AD,FH⊥AD .∠EGD=LH=90 ∴.∠EDG+∠GED=90° :线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF ∴.∠EDG+∠HDF=90°，DE=DF ∴.LGED=∠HDF .△EGD≌aDHF(AAS) DH =GE=1.GD=HF=8 3 9/70 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AH=AD+DH=4+1=5 AF=VAH+HF=17 故选：C 【典例2】(2025·江苏南京模拟预测)如图，ABC的高AD,BE相交于点F.若AC=4,BF=3,则 ABC的外接圆的半径为 4 B ◇ D 【答)月 【分析】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解 题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作ABC的外接圆，圆心为O,连接AO并延 长，交OO于点，连接BH,明BDP心ADC,待出0夜据勾放定理得出 AB=VD2+BD-4D,证明AADC,得出AHAB_4D 5,求出AH=4C=5,即可 ÷AD 4 AC ADAD 4 4 得出答案 【详解】解：作ABC的外接圆，圆心为O,连接AO并延长，交⊙O于点H,连接BH,如图所示： B ,ABC的高AD,BE相交于点F, .∴，BE⊥AC,AD⊥BC, .LBDF=∠ADC=LBEC=90°， ..∠DBF=∠DAC=90°-∠C, ∴.BDF∽ADC, 10/70