2026届高考数学模拟卷（四）（新课标Ⅱ卷）

2026年高考数学模拟卷（四）（新课标Ⅱ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅱ卷地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆、陕西、四川、宁夏、内蒙、青海、西藏。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆渝中·二模）已知集合是自然数集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，所以． 2．（2026·青海海东·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数对应点得出复数，再应用乘法及减法运算求解. 【详解】因为复数z对应的点的坐标为，所以， 则. 3．（2026·四川广安·二模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象依次确定的值，再利用诱导公式化简即得. 【详解】由图知，该函数的周期满足，即，解得， 则，将点代入，可得， 由图知，函数图象在点附近单调递减，故，即， 故. 4．（2026·宁夏银川·二模）已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题可知， 因为且，所以， 解得 5．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 6．（2026·陕西咸阳·二模）已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先求出的表达式，再根据即可求解. 【详解】由题意可知，在张卡片中抽取张，所有可能情况有种， 当时，即，由于是在不同卡片上取出的数字，所以的情况不存在，即的情况不存在， 当时，则是相邻的两个数字，那么的可能情况有，共种情况， 当时，则相差，那么的可能情况有，共种情况， 所以的可能情况数有种， 根据古典概型概率公式得， 已知，即，由于，直接化简得，即，解得， 又因为为整数且，所以，因此的最大值是，故B正确. 7．（2026·重庆渝中·二模）如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作辅助线，设，根据题意分析可知，，，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】如图，设的中点为，连接，，则，， 因为是三棱锥外接球的直径，则， 且，，则，可得， 则，可知二面角的平面角为， 设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 8．（2026·山西太原·二模）设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质结合双曲线定义可得，.方法一：设，利用正弦定理可得，结合三角恒等变换可得，结合余弦定理运算求解；方法二：分析可得，作的平分线，交于点，可得，，，进而可得结果. 【详解】因为为的平分线，且，，， 则，即. 由双曲线定义可得，即，解得，. 方法一：设， 由正弦定理得，即， 在中，因为，则， 可得， 把代入得， 且，则，可得，即， 由得，即， 把代入得， 化简得，， 在中，由余弦定理得， 整理可得，解得或（舍去）， 方法二：因为， 则或， 即或， 又因为是的内角，则， 可得，则， 作的平分线，交于点， 则，是等腰三角形， 可得，，， 且，可得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·陕西咸阳·二模）某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重量在内的水果为优质水果，则（    ） A．这10个数据的极差小于10 B．这10个数据的中位数与众数相等 C．从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小 D．估计这块水果园中优质水果占60% 【答案】BCD 【详解】把这组数据从小到大排列为190，192，198，200，200，200，202，205，206，210，则这组数据的极差为20，A选项错误； 众数与中位数都是200，B选项正确； 去掉最重的与最轻的，数据在区间内，差距小了，方差变小了，C选项正确； 10个水果中有6个重量在内，优质率为60%，D选项正确. 10．（2026·广西河池·二模）如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，点为线段上的动点，下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．平面 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，可通过平面得到H到平面距离恒定，得体积为定值，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断BCD. 【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系， 由已知，平面，所以平面，所以上任意一点到平面的距离等于点到平面的距离， 由已知三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以A正确； 由已知分别是棱的中点，所以，，，， 所以，，所以，所以，所以B正确； 点，所以，，设平面的法向量为，所以，得， 所以平面的一个法向量为，点，所以， 所以，即与平面的法向量不垂直，所以与平面不平行，C错误； 过点作，，，所以， 所以，所以，所以D正确. 【点睛】 11．（2026·四川德阳·二模）已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A通过分析函数与的图象交点情况确定；选项B利用函数的图象来判断；选项C根据满足的方程变形求解；选项D分析满足的方程，结合构造函数，利用函数单调性判断. 【详解】因为方程有两个根， 所以， 又，， 所以函数与函数图象在上有两个交点， 而，由此可作出的大致图象； 如图所示，所以，选项A正确； 根据图象可知当m逐渐增大时，，而将会大于1，此时， 可得不成立，选项B不正确； 因为，则， 所以， 则， 因为，，所以，选项C正确； 因为，则， 所以， 则， 两边取对数得. 因为， 令， 令， ，， 因为，，单调递增， 即得，即， 所以，即，选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13．（2026·重庆·二模）已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】联立直线与抛物线方程，得，，从而得，构造函数，利用导数，求出的最大值，即可求解. 【详解】设，由，消得到， 所以，即，且， 则以为邻边的平行四边形面积． 令，则， 当时，，当， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故当最大，最大值为，所以的最大值为． 14．（2026·四川成都·二模）在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 【答案】/ 【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长. 【详解】 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为. 设圆为的内切圆，该圆与的切点为， 圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线. 因为，故， 故，故（负值舍去）， 同理， 设，则，， 故且， 所以，即， 故，故（负值舍去）. 故，而为锐角， 故，而，因为锐角， 故，， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 故，故，故. 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九题17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·重庆渝中·二模）年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 票房（单位：亿元） (1)根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； (2)在某天放映结束后，随机抽取名观众，发现其中有人看过《镖人》，人看过《飞驰人生3》，只有人两部电影均没看过．现从这人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：，． 【答案】(1)，1.6亿元． (2) 的分布列： 数学期望． 【分析】（1）先计算，，代入回归系数公式计算即可； （2）根据题意得出的可能取值为，分别计算其概率即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， ， 所以回归方程为：，当时，亿元， 正月初七，预计《镖人》的票房为亿元． （2）由题意可知，人中同时看过两部电影的只有人， 所以的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 数学期望为． 16．（2026·陕西渭南·二模）数列为等差数列，是其前项和，且，．数列满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、通项公式以及等比数列的通项公式求解即可. （2）先根据（1）中的结果求出，然后根据等比数列前项和公式求出，进而证明结论. 【详解】（1）因为数列为等差数列，是其前项和，且，． 设数列的首项为，公差为，则， 化简得，解得，所以数列的通项公式为. 因为数列满足：，， 所以数列是首项为1公比为的等比数列，所以数列的通项公式为. （2）证明：因为， 所以数列是首项为公比为的等比数列， 由于数列的前项和为，所以， 因为对于恒成立，所以. 17．（2026·四川达州·二模）在斜三棱柱中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）取中点，连接，，由面面垂直的性质可得平面，再由余弦定理以及勾股定理，线面垂直判定定理证明即可. （2）由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求解即可. 【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，因为， 所以在中，，解得，所以， 所以为直角三角形，所以， 因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以. （2）由（1）可得平面，且，， 因为平面，所以， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 所以，，所以，，， 因为，所以，所以， 因为，所以，因为， 所以，，因为，所以解得， 设平面的法向量为，所以，， 所以，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则， 设平面与平面的夹角， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（2026·陕西渭南·二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)若圆可以将椭圆完全覆盖，求的最小值； (3)设点为椭圆上在第一象限的点，直线，直线分别过的左、右焦点，与椭圆分别交于点，，记直线，，的斜率分别为，，，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求出的值，进而求得椭圆的方程. （2）先求出圆心到椭圆任意点的距离的最大值，进而确定的最小值. （3）分别求出直线的方程，然后与椭圆方程联立，求出的坐标，进而由已知列出方程求出未知数即可. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，短轴长为， 所以，所以. 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）圆完全覆盖椭圆，意味着椭圆上任意一点到圆心的距离均不超过半径， 设椭圆上任意一点为，则该点与圆心的距离的平方为. 由椭圆方程知， 代入得， 对称轴为，椭圆中的取值范围为，所以当时，函数取最大值， 即，因此，的最小值为5. （3）由题意可知，椭圆的左右焦点坐标为，设， 则且，易得， 所以. 设， 直线的方程为，直线的方程为，其中， 由，消去得， 则， 从而， 所以. 同理可得， 则 ， 所以， 因为，所以，解得，所以. 因为，所以， 则的坐标为. 19．（2026·吉林长春·二模）在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征． 定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数． (1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）． (2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由． (3)设．求证：无最大值． 【答案】(1)在内的所有极值点皆为使得的点，波动量的增长率为0． (2)满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，即可令得解， （2）根据所给定义，结合三角函数的性质判断“震荡性”，根据指数函数的性质判断“衰减性”，即可求解， （3）先根据恒成立，以及，将问题转化为在上的最值情况，利用导数，以及三角函数的性质判断的单调性，即可求解． 【详解】（1）由函数，则． 在上，令，则和， 当，当时，， 则为极小值点，为极大值点，在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量的增长率为0． （2）由（1）可知． 在上无限次正负交替，则满足震荡性： 又， 令．则，令． 当时，，则满足衰减性． 综上，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数． （3），， 不难看出恒成立， 即若存在最大值点，则． 现研究在上的单调性 ①当时，, 由于，故故； ②当时，，； ③当时，， 其中为锐角，，即， 当时，，当时，， 综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 由， 而， 即在上无最大值点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（四）（新课标Ⅱ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅱ卷地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆、陕西、四川、宁夏、内蒙、青海、西藏。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆渝中·二模）已知集合是自然数集，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·青海海东·二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川广安·二模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·宁夏银川·二模）已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西咸阳·二模）已知黑箱中共有（，）张完全相同的卡片，分别标有数字，每张卡片只标有一个数字，且数字都不相同，从中随机取出张，记录卡片上的数字为，，设，若，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2026·重庆渝中·二模）如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西太原·二模）设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·陕西咸阳·二模）某种水果成熟后重量为200g左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出10个水果，称得重量如下：206，200，198，205，200，200，202，190，192，210（单位：g），重量在内的水果为优质水果，则（    ） A．这10个数据的极差小于10 B．这10个数据的中位数与众数相等 C．从这10个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变小 D．估计这块水果园中优质水果占60% 10．（2026·广西河池·二模）如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，点为线段上的动点，下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B． C．平面 D．点到直线的距离为 11．（2026·四川德阳·二模）已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 13．（2026·重庆·二模）已知抛物线，直线与交于两点，则以为邻边的平行四边形面积的最大值为___________． 14．（2026·四川成都·二模）在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九题17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·重庆渝中·二模）年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第天 票房（单位：亿元） (1)根据数据建立单日票房关于上映天数的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； (2)在某天放映结束后，随机抽取名观众，发现其中有人看过《镖人》，人看过《飞驰人生3》，只有人两部电影均没看过．现从这人中随机抽取人，记为抽取的人中两部电影都看过的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：，． 16．（2026·陕西渭南·二模）数列为等差数列，是其前项和，且，．数列满足：，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 17．（2026·四川达州·二模）在斜三棱柱中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（2026·陕西渭南·二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)若圆可以将椭圆完全覆盖，求的最小值； (3)设点为椭圆上在第一象限的点，直线，直线分别过的左、右焦点，与椭圆分别交于点，，记直线，，的斜率分别为，，，若，求点的坐标． 19．（2026·吉林长春·二模）在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征． 定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数． (1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）． (2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由． (3)设．求证：无最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $