月考卷(二) 三角函数、解三角形、复数、平面向量-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

月考卷(二)　三角函数、解三角形、复数、平面向量 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i　　　　　　　 B. i　　　　　　　 C. 0　　　　　　　 D. 1 2．已知向量a＝(2，3)，b＝(m－1，2m＋1)，若(a－b)∥(2a＋3b)，则m＝(　　) A．5 B. －5 C. 3 D. －3 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3c，sin C＝，则sin A＝(　　) A． B. C. D. 4．已知函数y＝sin (ω>0)的图象的一条对称轴为x＝，则ω的最小值为(　　) A．2 B. 4 C. 6 D. 8 5．在△ABC中，若满足，则该三角形的形状为(　　) A．等腰三角形 B. 直角三角形 C．等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6．在如图所示的图形中，圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则＝(　　) A． B. 19 C. 2 D. 2 7．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)(　　) A．是偶函数 B. 图象关于直线x＝对称 C．在上是增函数 D. 在区间上的值域为 8．在边长为1的菱形ABCD中，A＝，若点P，Q满足，其中α，β>0，且α＋β＝1，则的最大值为(　　) A． B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设z1，z2为复数，且z1≠z2，下列命题中正确的是(　　) A．若|z1|＝|z2|，则z1＝ B．若＝i，则z1的实部与z2的虚部互为相反数 C．若z1＋z2为纯虚数，则z1－z2为实数 D．若z1z2∈R，则z1，z2在复平面内对应的点不可能在同一象限 10．(2025·辽宁大连模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若f＝f＝1，且∀x∈，都有f(x)<1，则(　　) A．y＝f(x)在上单调递减 B．y＝f(x)的图象关于点对称 C．直线y＝－是y＝f(x)图象的一条切线 D．y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数g(x)是偶函数 11．如图，已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝2，(0<λ<1)，则下列结论正确的是(　　) A．当λ＝时， B. 当λ＝时，cos 〈〉＝ C．对任意λ∈(0，1)，⊥不成立 D. 的最小值为4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(开放题)若向量m＝(0，－2)，n＝，写出一个与2m＋n垂直的非零向量________．(答案不唯一) 13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C－cos2B＋sin2A＝sinA sin B＝，且△ABC的面积为，则边c的值为________． 14．某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域Ⅰ(区域ACD)，区域Ⅱ(区域CBE)内分别种上甲和乙两种花卉(如图)，已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC＝θ，θ∈，种植花卉总造价记为f(θ)，现某同学已正确求得：f(θ)＝ar2g(θ)，则g(θ)＝____________；种植花卉总造价的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知向量a＝(A cos x，sin x)，b＝(A sin x，sin x)，A>0，函数f(x)＝a·(a－b)的最大值为1＋. (1)求A的值及f(x)图象的对称中心； (2)求满足f(x)≤0的x的取值集合． 16．(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＋b cos A＝2c cos A. (1)求角A； (2)若向量m＝(cos B，2cos A)，n＝的取值范围． 17．(15分)如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝60°，γ＝45°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝34 m，BC＝85 m. (1)求PB的长； (2)求隧道DE的长．(精确到1 m，≈1.414，≈1.732) 18．(17分)如图所示，在锐角△ABC中，D为边BC的中点，且AC＝，O为△ABC外接圆的圆心，且cos ∠BOC＝－. (1)求sin ∠BAC的值； (2)求△ABC的面积． 19．(17分)在①c cos A＝a sin C；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________． (1)求C； (2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD＝CA，求BD的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 月考卷(二)　三角函数、解三角形、复数、平面向量 1．A　2.B 3．C　由a＝3c以及正弦定理可得sin A＝3sin C，因为sin C＝，所以sin A＝3×.故选C. 4．B　由题意知＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝12k＋4(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝4.故选B. 5．D　由正弦定理可得，所以sin A cos A＝sin B cos B，所以sin 2A－sin 2B＝0，即sin 2A＝sin 2B， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＋B＝或A－B＝0，所以C＝或A＝B， 所以△ABC是直角三角形或等腰三角形，故选D. 6．C　由题图可知，所以， 在△ACD中，AC＝ ＝.故选C. 7．D　因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，函数y＝f(x)的零点构成一个公差为的等差数列，所以该函数的最小正周期为π. 因为ω>0，则ω＝＝2，所以f(x)＝2sin . 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位， 得到函数g(x)＝2sin [＋]＝2sin 2x的图象． 对于A选项，函数y＝g(x)的定义域为R，且g(－x)＝2sin (－2x)＝－2sin 2x＝－g(x)，所以函数y＝g(x)为奇函数，A选项错误； 对于B选项，g＝2sin π＝0≠±2，所以函数y＝g(x)的图象不关于直线x＝对称，B选项错误； 对于C选项，当x∈时，≤2x≤π，则函数y＝g(x)在上是减函数，C选项错误； 对于D选项，当时，，则－≤sin 2x≤1，所以－≤g(x)≤2，所以函数y＝g(x)在区间上的值域为，D选项正确．故选D. 8．C　由题意可得＝1×1×cos ，由，可得，由，可得，又α＋β＝1，所以＝(1－α)，则＝·＝·[＋(1－α)]＝＋α(1－α)＋(1－α)2＝α(1－α)＋1－α＋α＝α(1－α)＋，当且仅当α＝1－α，即α＝时取等号，此时β＝.故选C. 9．BD　若|z1|＝|z2|，如z1＝1，z2＝i，但不共轭，故A错误；若z1＋z2为纯虚数，则z1，z2的实部互为相反数，而虚部不一定相等，所以z1－z2不一定为实数，故C错误；令z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，若＝i，则z1＝a＋bi＝z2i＝(c＋di)i＝ci－d，所以a＝－d，故B正确；若z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i∈R，则bc＋ad＝0.如果z1，z2在复平面内对应的点在同一象限，那么bc，ad同号，不可能使得bc＋ad＝0，故D正确．故选BD. 10．BC　对于A，因为f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，所以f(x)max＝1，又f＝f＝1，且∀x∈，都有f(x)<1，所以最小正周期T＝－＝π，所以T＝＝π，又ω>0，所以ω＝2，即f(x)＝sin (2x＋φ)，又f＝sin ＝1，所以－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin ，当x∈时，2x＋∈，又y＝sin x 在上不单调，所以y＝f(x)在上不单调，故A错误； 对于B，因为f＝sin ＝sin 2π＝0，所以y＝f(x)的图象关于点对称，故B正确； 对于C，f′(x)＝2cos ，设切点坐标为，则f′(x0)＝2cos ＝－，得cos ＝－，所以2x0＋＋2kπ，k∈Z或2x0＋＋2kπ，k∈Z，解得x0＝kπ，k∈Z或x0＝－＋kπ，k∈Z.令＝－，因为－1≤sin ≤1，即－1≤－≤1，解得－，所以x0＝0，即直线y＝－是函数y＝f(x)的图象在处的切线，故C正确； 对于D，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin [＋]＝sin 的图象，显然g(x)是非奇非偶函数，故D错误． 11．BCD　如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(0，2)，由，可得E(3λ，2)． A项，当λ＝时，E(1，2)，则＝(1，2)，＝(－2，2)， 设，又＝(0，2)， 所以得故，故A错误； B项，当λ＝时，E(2，2)，则＝(2，2)，＝(－1，2)， 故cos 〈〉＝，故B正确； C项，＝(3λ，2)，＝(3λ－3，2)， 若⊥，则＝3λ(3λ－3)＋2×2＝9λ2－9λ＋4＝0， 对于方程9λ2－9λ＋4＝0，Δ＝(－9)2－4×9×4<0， 故不存在λ∈(0，1)，使得⊥，故C正确； D项，＝(6λ－3，4)，所以＝≥4， 当且仅当λ＝时等号成立，故D正确，故选BCD. 12．解析：因为m＝(0，－2)，n＝，所以2m＋n＝＝，设a＝(x，y)(xy≠0)与2m＋n垂直，所以a·(2m＋n)＝0，即x－3y＝0，令x＝，则y＝1，所以a＝. 答案： 13．解析：因为cos2C－cos2B＋sin2A＝sinA·sin B，所以1－sin2C－(1－sin2B)＋sin2A＝sinA sin B， 即sin2B＋sin2A－sin2C＝sinA sin B， 由正弦定理角化边得b2＋a2－c2＝ab，所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝， 由正弦定理得，即，即c2＝ab. 又△ABC的面积S△ABC＝ab sinC＝， 所以ab＝4，则c2＝6，解得c＝. 答案： 14．解析：S△O CE＝r sin θ·r cos θ＝sin θcos θ， S扇形BOC＝θr2， ∴SⅡ＝sin θcos θ＝(θ－sin θcos θ)， S△C OD＝r cos θ·r sin θ＝sin θcos θ， S扇形AOC＝r2， ∴SⅠ＝r2－sin θcos θ， f(θ)＝r2－sin θcos θ＋3a·(θ－sin θcos θ)＝ar2，θ∈， ∴g(θ)＝＋θ－2sin θcos θ，θ∈， 令g′(θ)＝1－2cos 2θ＝0，解得θ＝， ∴g(θ)在上单调递减，在上单调递增， 故g(θ)min＝g＝， ∴f(θ)min＝ar2. 答案：θ－2sin θcos θ＋ar2 15．解：(1)f(x)＝a·(a－b)＝(A cos x，sin x)·(A cos x－A sin x，0)＝A2(cos2x－sinx cos x)＝＝－A2sin ＋. 最大值为， 又A>0，所以A＝. 所以f(x)＝－sin ＋1. 令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)， 故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)． (2)由f(x)≤0，即－sin ＋1≤0， 得sin . 所以2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)， 所以kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 即x的取值集合是[，kπ＋](k∈Z)． 16．解：(1)由正弦定理可知a cos B＋b cos A＝2c cos A等价于sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，因为sin C≠0， 所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)因为m＝(cos B，2cos A)，n＝， 所以m－2n＝＝(cos B，2cos A－cos C－1)＝(cos B，－cos C)，则|m－2n|2＝cos2B＋cos2C＝＝1＋sin ， 因为0<B<，所以－<－2B<，则有－1≤<，所以1＋sin ∈，则. 17．解：(1)由题意得∠BPC＝β－γ＝60°－45°＝15°， ∠PBC＝180°－β＝120°， 所以∠PCB＝180°－15°－120°＝45°. 在△PCB中由正弦定理得， 又sin 15°＝sin (45°－30°)＝， 所以PB＝≈232(m)． (2)在△PAB中，∠PAB＝α＝30°，∠ABP＝β＝60°， 所以∠APB＝90°， 所以AB＝2PB≈464(m)， 所以DE＝AB－AD－BE≈464－100－34＝330(m)． 18．解：(1)由题意知，∠BOC＝2∠BAC， ∴cos ∠BOC＝cos 2∠BAC ＝1－2sin2∠BAC＝－， ∴sin2∠BAC＝，sin∠BAC＝. (2)如图所示，延长AD至E，使AE＝2AD，连接BE，CE， 则四边形ABEC为平行四边形，∴CE＝AB， 在△ACE中，AE＝2AD＝3， ∠ACE＝π－∠BAC，cos ∠ACE＝－cos ∠BAC ＝， 由余弦定理得，AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE·cos ∠ACE，即2＝2＋CE2－2××CE×， 解得CE＝3或CE＝－5(舍去)，∴AB＝CE＝3， ∴S△ABC＝AB·AC·sin ∠BAC ＝. 19．解：(1)选条件①：由c cos A＝a sin C，可得b－c cos A＝a sin C， 由正弦定理得sin B－sin C cos A＝sin A sin C， 因为B＝π－(A＋C)，所以sin B＝sin (A＋C)， 所以sin A cos C＋cos A sin C－sin C cos A ＝sin A sin C， 故sin A cos C＝sin A sin C， 又sin A≠0，于是sin C＝cos C，即tan C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. 选条件②：因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式，得， 即， 因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A， sin (B＋C)＝sin A， 又sin A≠0，sin B≠0， 所以cos C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝. 选条件③：， 由正弦定理得， 即a2－c2＝ab－b2，所以a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由题意知S△ABC＝ab sin C＝，得ab＝4.由余弦定理得BD2＝a2＋cos C＝a2＋， 当且仅当a＝b，且ab＝4，即a＝时取等号，所以BD的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $