月考卷(四) 解析几何、概率与统计-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

月考卷(四)　解析几何、概率与统计 1．C　2.C 3．B　根据题意数据分析得到： 该碘最初一段时间衰减的时间x与剩余量y存在着较强的负线性相关关系， 假设回归方程为＝x＋，由选项得到＝－， 又＝30， ＝17， 所以＝17－×30＝23， 故y对x的线性回归方程为＝－x＋23.故选B. 4．B　由题意得该产品能销售的概率为＝，易知X的所有可能取值为－320，－200，－80，40，160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B，所以P(ξ＝k)＝·k·4-k，所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝2·2＝，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝·1＝，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝4·0＝，故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝，故选B. 5．C　由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为，短轴长为6，所以椭圆的离心率e＝，所以e∈.故选C. 6．B　设该三角形的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得解得所以该圆的方程为x2＋y2＋3y－4＝0， 即x2＋2＝.如图，不妨设A(0，1)，B(2，0)，C(0，－4)，易知该圆在A处的切线方程为y＝1，在C处的切线方程为y＝－4，直线BC的方程为＝1，令y＝1得x＝，所以P.直线AB的方程为＋y＝1，令y＝－4得x＝10，所以R(10，－4)．所以该三角形的Lemoine线的方程为，即2x＋3y－8＝0，故选B. 7．C　如图所示，过点F作FA⊥MN，垂足为A，由题得∠AFM＝30°，所以∠NMF＝60°，因为|MF|＝|MN|，所以△MNF是等边三角形．因为O是FB的中点，OD∥BN，所以D为FN的中点，即|DF|＝|DN|，所以MD⊥DF，所以|FM|＝＝4.所以|MN|＝4，所以|FB|＝|AN|＝＝2，即p＝2，所以抛物线的方程是x2＝4y.故选C. 8．C　根据题意，得，因为0≤k≤8且k∈N，当k＝0时，＝4，即T1为有理式；当k＝4时，＝1，即T5为有理式；当k＝8时，＝－2，即T9为有理式；当k∈{1，2，3，5，6，7}时，∉Z，即Tk＋1为无理式；所以展开式一共有9项，有3项有理式，6项无理式，先对6个无理式进行排列，共有种方法；再将3个有理式利用“插空法”插入这6个无理式中，共有种方法；利用分步乘法计数原理可得，一共有种方法．故选C. 9．BCD　对于A，初赛成绩在[90，110)分内的频率为1－(0.0025＋0.0075＋0.0075＋0.0125＋0.0050)×20＝0.3，故A不正确；对于B，初赛成绩在110分以下的频率为1－(0.0125＋0.0050)×20＝0.65，故B正确；对于C，初赛成绩在130分以下的频率为1－0.0050×20＝0.9，故C正确；对于D，假设初赛成绩的第80百分位数为x，所以(130－x)×0.0125＋20×0.0050＝1－0.8，解得x＝122，故D正确，故选BCD. 10．ACD　设双曲线C的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，由题意可知，a＝1，b＝2－|PF2|2＝4|PF2|＋4，因为|PF2|≥c－a＝1，所以|PF1|2－|PF2|2＝4|PF2|＋4≥8，当且仅当点P与C的右顶点重合时等号成立，即2的最小值为8，所以A正确； 当点Q在双曲线的右支上时，因为过焦点且与双曲线的一支相交于两点的弦中，通径最短，所以＝2×3＝6；当点Q在双曲线的左支上时，因为过焦点且与双曲线的两支各有一个交点的弦中，最短弦长为实轴长，所以|PQ|的最小值为2a＝2.所以B错误； 当点P的坐标为(1，0)时＝(2＋1)×(2－1)－1＝2；当点P的坐标不是(1，0)时，F1，P，F2可以构成三角形，且OP为边F1F2上的中线，所以∠POF1＋∠POF2＝π，所以cos ∠POF1＝，即2＋8＝·|PF2|－|OP|2＝2.综上，|PF1|·|PF2|－|OP|2＝2，为定值，所以C正确． 设P(x0，y0)(x0＞1)，I(m，n)，若I为△PA1F2的内心，连接IA1，IP，则＋＋·＝0，所以(2x0－1)(－1－m，－n)＋(2－m，－n)＋3(x0－m，y0－n)＝(0，0)，解得m＝，因为＝1，所以m2－＝ ＝＝2a＝2，为定值，所以D正确．综上，选ACD. 11．AC　依题意P1＝，第n次取出球是红球的概率为Pn，则取出白球的概率为(1－Pn)，对于第n＋1次，取出红球有两种情况．①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为(1－Pn)·，对应Pn＋1＝(1－Pn)＝，即3Pn＋1＝Pn＋1，故B错误；所以Pn＋1－，令an＝Pn－，则数列{an}为等比数列，公比为，因为P1＝，所以a1＝，故Pn＝n-1＋，所以P2＝，故选项A，C正确；第1次取出球是红球的概率为P1＝，第2次取出球是红球的概率为P2＝，第3次取出球是红球的概率为P3＝，前3次取球恰有2次取到红球的概率是， 故D错误．故选AC. 12．解析：因为9×80%＝7.2，所以这9人成绩的第80百分位数为94. 答案：94 13．解析：将点M(1，2)的坐标代入y2＝2px，可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x .由题意知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋n，代入y2＝4x，得y2－4my－4n＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.由△MAB的内切圆圆心为(1，t)，可得kMA＋kMB＝＝0，整理得y1＋y2＋4＝4m＋4＝0，解得m＝－1，故直线l的方程为y＝－x＋n，故直线l的斜率为－1. 答案：－1 14．解析：将＝5代入经验回归方程＝x＋7.4，得5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝－0.3；2＝2＋2＋…＋2＝(y1＋y2＋…＋y8)＋8所以R2＝1 答案：－0.3　0.98 15．解：(1)设中位数的估计值为m，则0.08＋0.16＋(m－20)×0.032＝0.5，解得m＝28.125. 估计平均数＝5×0.08＋15×0.16＋25×0.32＋35×0.24＋45×0.15＋55×0.05＝28.7. (2)根据题意知，在[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)内抽取的人数分别为1，2，4，3， 则ξ的所有可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝， 则ξ的分布列为 所以E(ξ)＝0×. 16．解：(1)设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)， 由题意得可得 ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0(m≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－， x1x2＝，∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. ∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴kOPkOQ＝，∴＝k2， ∴y1y2＝k2x1x2，∴k(x1＋x2)＋m＝0，∴＋m＝0，解得k＝±. ∵Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)×4(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，∴4k2－m2＋1＝2－m2>0，解得－<m<. ∵x1x2≠0，∴m2－1≠0，解得m≠±1. 综上，k＝±，m的取值范围为∪(－1，0)∪(0，1)∪. 17．解：(1)∵12＋38＝50<100，12＋38＋72＝122>100，∴中位数在区间(60，90]上， 设该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为x，则＝0.5，解得x＝，即该地青少年每天使用电子产品时间的中位数为. (2)由题意可知长时间使用电子产品的青少年有150名，非长时间使用电子产品的青少年有50名． 则长时间使用电子产品的青少年未患近视的人数为150－100＝50， 非长时间使用电子产品的青少年未患近视的人数为80－50＝30， 非长时间使用电子产品的青少年患近视的人数为50－30＝20， 患近视的青少年人数为200－80＝120. 2×2列联表如表所示： 非长时间使用 电子产品 长时间使用 电子产品 合计 患近视人数 20 100 120 未患近视人数 30 50 80 合计 50 150 200 零假设为H0：患近视与每天长时间使用电子产品无关． 计算可得χ2＝≈11.111>10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为患近视与每天长时间使用电子产品有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 18．解：(1)设双曲线C的半焦距为c，则2c＝4，所以c＝2. 将代入＝1，得＝1. 又a2＋b2＝c2＝4， 所以a2＝1(a2＝8＞4，舍去)，b2＝3， 所以C：x2－＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，设A(xA，yA)， 则B＝1. 由＝0，得＝0，解得yA＝±， 所以|AB|＝. 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立l与C的方程得所以(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，依题意3－k2≠0，Δ＝4k2m2＋4(3－k2)(m2＋3)＝12(m2＋3－k2)＞0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝. 因为＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＋m2＝0， 所以3k2－2m2＋3＝0， 此时Δ＝12(m2＋3－k2)＝6(k2＋9)＞0. 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 当k＝0时，＝0，|AB|＝； 当k≠0时，， 因为3－k2≠0，所以k2＋∈(6，＋∞)，∈(0，＋∞)，. 综上，. (3)存在这样的圆O，圆O的方程为x2＋y2＝，半径r＝，理由如下： 当直线PM的斜率不存在时，设P(x0，y0)，易知＝r2， 则r＝，存在定圆O满足题意． 当直线PM的斜率存在时，设PM：y＝k0x＋m0， 则圆心O到直线PM的距离d＝， 化简得＋3＝0. 如图，连接OP，OM，设M(x′，y′)，类似(2)的计算可得＝x0x′＋y0y′＝＝0， 所以∠POM＝90°. 由双曲线的中心对称性，延长MO交C于另一点M′， 则|MO|＝|M′O|，且∠POM′＝90°， 得|PM′|＝|PM|且直线PM′与圆O：x2＋y2＝也相切，即M′与点N重合． 此时存在定圆O，圆O的半径r＝，符合题意． 综上，存在这样的圆O，且圆O的半径r＝. 19．解：(1)计算各段频率为：p1＝0.05，p2＝0.20，p3＝0.30，p4＝0.30，p5＝0.10，p6＝0.05，对应各段的频率与组距的比值分别为y1＝0.005，y2＝0.020，y3＝0.030，y4＝0.030，y5＝0.010，y6＝0.005. 画出频率分布直方图如图所示： 平均值的估计值为： 45×0.05＋55×0.2＋65×0.3＋75×0.3＋85×0.1＋95×0.05＝68.5，故μ＝68.5. (2)由已知，T服从正态分布N(μ，225)． ∴方差σ2＝225，∴标准差σ＝15， ∴(53.5，98.5)＝(μ－σ，μ＋2σ)， ∴P(53.5<T<98.5)＝P(μ－σ<T<μ＋2σ)＝P(μ－σ<T<μ＋σ)＋[P(μ－2σ<T<μ＋2σ)－P(μ－σ<T<μ＋σ)]＝[P(μ－σ<T<μ＋σ)＋P(μ－2σ<T<μ＋2σ)]≈0.8186， ∴估计该公司一个月(30天)内售货量在区间(53.5，98.5)内的天数为0.8186×30＝24.558≈25. (3)按照方案一，将频率作为概率的估计值，每日支付每个分销商返现金额X的分布列为： X 400 800 1200 P 0.25 0.6 0.15 期望值为E(X)＝400×0.25＋800×0.6＋1200×0.15＝760； 按照方案二，0.5的概率获得一次抽奖机会，0.5的概率获得两次抽奖机会，每日每个分销商获得的抽奖次数的期望值为0.5×1＋0.5×2＝1.5， 每次抽奖的获得奖金的期望值为400×＝480， ∴每日每个分销商获得的奖金的期望值为1.5×480＝720，所以，从分销商的角度看，应当采用第一种方案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 月考卷(四)　解析几何、概率与统计 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名(无并列情况)，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有(　　) A．72种 B. 96种 C. 144种 D. 288种 2．P是椭圆C：＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是C的两个焦点，＝0，点Q在∠F1PF2的角平分线上，O为原点，OQ∥PF1，且|OQ|＝b.则C的离心率为(　　) A． B. C. D. 3．某种碘是一种放射性物质，该碘最初一段时间衰减的时间x(单位：分钟)与剩余量y(单位：克)存在着较强的线性相关关系．如表是某校化学社团师生观测该碘在5天内衰减情况得出的一组数据，则y对x的线性回归方程可以是(　　) x/分钟 10 20 30 40 50 y/克 22.5 19 17.5 15 11 A.＝－x＋20 B. ＝－x＋23 C．＝x＋23 D. ＝x＋20 4．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝(　　) A． B. C. D. 5．有一个高为12 cm，底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃杯厚度忽略不计)，当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是(　　) A． B. C. D. 6．(2024·江苏省苏、锡、常、镇四市教学情况调研)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－4)，则该三角形的Lemoine线的方程为(　　) A.2x－3y－2＝0 B. 2x＋3y－8＝0 C．3x＋2y－22＝0 D. 2x－3y－32＝0 7．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，若|MD|＝2，则抛物线的方程是(　　) A．x2＝y B. x2＝2y C. x2＝4y D. x2＝8y 8．将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式项不相邻的排法种数为(　　) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩不小于90分的具有复赛资格．某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在[30，150]分内，其频率分布直方图如图所示，则下列结果中正确的有(　　) A．初赛成绩在[90，110)分内的频率为0.015 B．初赛成绩在110分以下的频率为0.65 C．初赛成绩在130分以下的频率为0.9 D．初赛成绩的第80百分位数的估计值是122 10．已知O为坐标原点，双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A1，点P是C的右支上一点，则(　　) A．|PF1|2－|PF2|2的最小值为8 B．若直线PF2与C交于另一点Q，则|PQ|的最小值为6 C．|PF1|·|PF2|－|OP|2为定值 D．若I为△PA1F2的内心，则|IF1|－|IF2|为定值 11．已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，以此类推，第k＋1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n次取出的球是红球的概率为Pn，则下列说法正确的是(　　) A．P2＝ B. 3Pn＋1＋Pn＝1 C．第5次取出的球是红球的概率为 D. 前3次取球恰有2次取到红球的概率是 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2024·福建漳州质检)某中学举办演讲比赛，其中9人比赛的成绩分别为85，86，88，88，89，90，92，94，98(单位：分)，则这9人成绩的第80百分位数为________． 13．已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，直线l与抛物线交于A，B两点，若△MAB的内切圆圆心为(1，t)，则直线l的斜率为________． 14．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与心率f(单位：次/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i＝1，2，…，8)．根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk(c，k为参数)．令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝5，＝214.由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值i(i＝1，2，…，8)，若残差平方和，则决定系数R2≈________．(参考公式：决定系数R2＝1－) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)良好的体育锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益．某校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全体学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将他们平均每天课外体育锻炼时间的数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在[40，60)内的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在[0，40)内的学生评价为锻炼不达标． (1)估计这200名学生平均每天课外体育锻炼时间的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)在上述锻炼不达标的学生中按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中平均每天课外体育锻炼时间在[0，20)内的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 16.(15分)已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在不过原点O的直线l：y＝kx＋m与C交于P，Q两点，使得直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列？若存在，求k的值及m的取值范围；若不存在，请说明理由． 17.(15分)青少年近视问题已经成为影响青少年健康的一个重要问题，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”，某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间(单位：分钟)，根据调查数据按(0，30]，(30，60]，(60，90]，(90，120]，(120，150]，(150，180]分成6组，得到频数分布表如下： 时间/分钟 (0，30] (30，60] (60，90] (90，120] (120，150] (150，180] 频数 12 38 72 46 22 10 (1)根据上表数据，求该地青少年每天使用电子产品时间的中位数； (2)若每天使用电子产品的时间超过60分钟，就叫长时间使用电子产品，完成下面的2×2列联表，依据α＝0.001的独立性检验，分析患近视与每天长时间使用电子产品是否有关． 非长时间使用电子产品 长时间使用电子产品 合计 患近视人数 100 未患近视人数 80 合计 200 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 18.(17分)已知O为坐标原点，双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且＝0，求|AB|的取值范围； (3)已知点P是C上的动点，是否存在定圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时(其中M，N分别是两切线与C的另一交点)，总满足|PM|＝|PN|？若存在，求出圆O的半径r；若不存在，请说明理由． 19.(17分)某公司的产品因符合要求(全部用统一规格的包装箱包装且有物流配送支持)能继续直销该市．为了把握准确的需求信息，他们使用大数据统计了该市年末近100天内每天此产品的售货量T(单位：箱)如下表所示： 售货量/箱 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 天数 5 20 30 30 10 5 统计分析发现T服从正态分布N(μ，225)． (1)画出售货量T的频率分布直方图，并求出μ的值； (2)估计该公司一个月(30天)内售货量在区间(53.5，98.5)内的天数；(结果保留整数) (3)为鼓励分销商，该公司出台了两种不同的促销方案． 方案一：直接返现，按每日售货量三级返现：T<60时，返现400元；60≤T<80时，返现800元；T≥80时，返现1200元． 方案二：通过抽奖返现：每日售货量低于μ时有一次抽奖机会；每日售货量不低于μ时有两次抽奖机会．每次抽奖获得奖金400元的概率为，获得奖金800元的概率为. 据你分析，分销商应采用哪种方案？请说明理由． 附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.9545. 学科网（北京）股份有限公司 $