第八章实数同步练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章实数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在，，，是圆周率），，，中，负有理数共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 3．下列各数：、、、、、，无理数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列四个数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 5．若整数满足，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．观察下列等式： ， ， ， … 将以上等式相加得到 ． 用上述方法计算：其结果为（　　　） A． B． C． D． 7．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数表示不大于的最大整数），称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对连续求根整数2次，，这时候结果为．现有如下四种说法： ①； ②： ③若方程，则满足条件的的整数值有3个； ④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数中，最大值与最小值之差为239． 其中说法不正确的有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．下列实数中，，，，，0.101001，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图是嘉琪的作业，他的得分是（　　） 判断题（每小题20分）姓名：嘉琪 1．没有平方根．（√） 2．的相反数是．（×） 3.27的立方根是．（√） 4．近似数精确到了百分位．（×） 5．是一个大于2的无理数．（×） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 10．有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为5； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 11．把数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是（    ） A． B．2 C． D． 12．下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．计算：_____． 14．对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为___________． 15．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数，若千位与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，则称为“一致数”，设一个“一致数”，满足且，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记为，一个两位数，将的各数位数字之和记为，当（为整数）时，则所有满足条件的“一致数”中，满足为偶数时，的值为__________，的值为__________． 16．有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长______． 17．定义一种法则“”：，如：，若，填一个合适的值______，使式子成立． 三、解答题 18．定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 19．计算：+|﹣4|+（﹣1）2021﹣． 20．现有四个实数：，0，， (1)请在数轴上近似表示出上列四个实数． (2)请将上列四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接． ________________________ (3)将上列四个实数分别填入相应的横线上． 整数：______； 分数： ______； 无理数：______． 21．下面是小李同学探索的近似数的过程： 面积为107的正方形边长是，且， 设，其中，画出如图示意图， 图中， 当较小时，省略，得，得到，即．    (1)的整数部分是_____； (2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 22．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽： (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断， 23．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除，则原多位数一定能被7整除． (1)判断864192　　　（能/不能）被7整除，证明任意一个三位以上的自然数都满足上述规律； (2)一个自然数t可以表示为t＝p2﹣q2的形式，（其中p＞q且为正整数），这样的数叫做“平方差数”，在t的所有表示结果中，当|p﹣q|最小时，称p2﹣q2是t的“平方差分解”，并规定F（t）＝，例如，32＝62﹣22＝92﹣72，|9﹣7|＜|6﹣2|，则F（32）＝＝．已知一个五位自然数，末三位数m＝500+10y+52，末三位以前的数为n＝10（x+1）+y（其中1≤x≤8，1≤y≤9且为整数），n为“平方差数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被7整除，求F（n） 的最大值． 24．若一个三位整数的各个数位上的数字均不为零，且个位数字与百位数字相同，个位数字与十位数字不同，则称为“达标数”；若三位数满足的每一数位上的数字与的相应数位上的数字的和为10，则称为的“和十数”．只交换与的十位数字得到两个新三位数和，记．例如：是一个“达标数”，其“和十数”为，交换与的十位数字得到和，． (1)的“和十数”为______；_____； (2)若能被整除，求所有满足条件的“达标数”． 《第八章实数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D B A B B B B 题号 11 12 答案 D A 1．B 【分析】根据有理数的定义即可求出答案． 【详解】解：∵，，，，， ∴ ，， ，是负有理数， 故选：B． 【点睛】本题考查负有理数，解题关键是正确理解有理数的定义，属于基础题型． 2．C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选C． 3．B 【分析】无理数是无限不循环小数，由此即可求解． 【详解】解：根据无理数的定义可知， 、、、、是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 故选：． 【点睛】本题主要考查实数的分类，理解识记实数的分类是解题的关键． 4．D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】、是有理数，不符合题意； 、是有限小数，属于有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 故选：． 5．B 【分析】依据被开方数越大，对应的算术平方根越大，可估算出的大致范围，从而可确定出的值． 【详解】解：， ， 为整数， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 6．A 【分析】由上述规律可知， ，，，同理 ，然后将各式相加后即可求解． 【详解】由题意可知： =． 故选：A． 【点睛】本题考查的是实数的计算规律，此题为积化和差题型，有一定的难度，弄明白了计算规律就容易求解．能够理解题意，看懂运算规律，并能运用规律求解是前提，解决此类题型的关键是会裂项相消． 7．B 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，实数新定义，理解题意正确计算是解题关键．根据题中的定义结合举反例和列举法逐项判断即可． 【详解】解：①因为，，，故； 故①不符合题意； ②举反例，当时，，而，不相等， 故②符合题意； ③由题意知，，当时，，所以不可以是3； 当时，，所以可以是4； 当时，，所以可以是5； 当时，，所以可以是6； 当时，，所以不可以是7； 同理，也不可以是8，9，10，11，12；所以满足题意的有3个， 故③不符合题意； ④首先找最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最小的3次连续求根整数运算后结果为1的数是16； 然后找最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数，，，，所以最大的3次连续求根整数运算后结果为1的数是255； ， 故④不符合题意． 故选：B． 8．B 【分析】根据无理数的定义直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，，，，0.101001，中的无理数是，， 故选B． 【点睛】本题考查无理数的判断：①含的数字，②开不尽方的数，③有规律但不重复的数字． 9．B 【分析】根据平方根与立方根的定义、相反数的定义、近似数及无理数的估算来判断即可． 【详解】解：1．是负数，负数是没有平方根的，本题是正确的，所以嘉淇做对了； 2．相反数是只有符号不同的两个数，所以的相反数是，本题是错误的，所以嘉淇做对了； 3．27的立方根是3，本题是错误的，所以嘉淇做错了； 4．近似数精确到了千分位，本题是错误的，所以嘉淇做对了； 5．，即，本题是正确的，所以嘉淇做错了； 所以嘉淇做对了3道，共得分60分， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的不是题目内容，而是对判断结果进行再次判断．所以解题关键是头脑清晰，认真审题． 10．B 【分析】本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大．先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】解：说法①：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，①正确． 说法②：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，②错误． 说法③：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③正确． 综上，①③说法正确，正确个数为2． 故选：B． 11．D 【分析】本题考查了数轴上点的平移． 根据“左减右加”计算即可． 【详解】解：数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是， 故选：D． 12．A 【分析】通过反例判断各命题真假，即可判断． 本题考查了命题的判断，实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解题关键． 【详解】对于命题①：设为有理数，为无理数，若为有理数，则为有理数，矛盾，∴为无理数，命题①真； 对于命题②：取反例，有理数0与无理数的积为0，是有理数，∴命题②假； 对于命题③：取反例，无理数与的和为0，是有理数，∴命题③假； 对于命题④：取反例，无理数与的积为2，是有理数，∴命题④假； ∴真命题只有1个； 故选：A． 13．-6 【分析】分别根据立方根、算术平方根的定义及绝对值的性质解答即可． 【详解】． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根及绝对值，熟记立方根、二次根式及绝对值的性质是解答本题的关键． 14． 【分析】根据定义新运算的运算方法，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的定义新运算与一元一次方程的综合运用，掌握实数的运算，解一元一次方程是解题的关键． 15． 【分析】本题考查新定义，整式的加减，平方数，设一个“一致数”满足且，求出和，代入，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：设一个“一致数”满足且， ∴，，， 所以， ∵一个两位数，将N的各个数位数字之和记为， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，得到， 当时，，得到， ∵满足为偶数时， ∴当时a为奇数，当时a为偶数， 当时a为偶数，， ∴是3的 倍数，也是9的 倍数， ∴是9的 倍数， ∵， ∴或， 当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，，． 当，此时，当时只有当时，是平方数，此时，故舍去； 当时a为奇数，，由是3的 倍数可得是9的 倍数， ∴是9的 倍数， ∵， ∴，此时，当时只有当时，则是平方数，此时，故舍去； 综上所述，． 故答案为：；． 16．6 【分析】本题考查立方根的应用，设大正方体纸盒的棱长为，根据“大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大”列方程，利用立方根解方程即可． 【详解】解：设大正方体纸盒的棱长为， 由题意，得， 整理，得， 解得． 即大正方体纸盒的棱长为， 故答案为：6． 17．1(答案不唯一) 【分析】本题考查的是新定义，解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ， 解得， ∴． 故答案为：1(答案不唯一)． 18．(1)； (2) (3)满足题意的不存在 【分析】本题考查了新定义运算，二元一次方程组，一元一次不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据新定义运算将式子化为加减运算，从而计算即可． （2）分和两种情况，再根据新定义运算将式子化为普通的二元一次方程，从而解方程组，判断所得结果是否分别满足和两种情况即可，即可求解． （3）分和两种情况，再根据新定义运算和可分别得到二元一次方程不等式组，解得的结果分情况判断其整数对的个数即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，， ∴， 故答案为，． （2）①当时，原方程组化为：， 解得：满足，符合题意．             ②当时，原方程组化为：， 解得：，不满足时，舍去． 综上所述：原方程组的解为． （3）①当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：有无数整数解，不符合题意．     ②当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：，                                整数对有对， 有个整数值，为，，， ，解得，                 ，都是整数，且， 也是整数， ．                                      故当时，符合题意； 但当时，若，则由①可知：， 得，且，整数对 有无数对，故不符合题意． 综上所述：满足题意的不存在． 19．3． 【分析】利用立方根，算术平方根，绝对值，有理数的乘方计算法则进求解即可． 【详解】解：原式＝3+4﹣1﹣3 ＝3． 【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20．(1)画图见解析 (2)，，， (3)，；； 【分析】本题考查的是在数轴上表示实数，实数的分类与大小比较，熟记算术平方根的含义是解本题的关键； （1）先化简绝对值，求解算术平方根，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案； （3）根据实数的分类可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴在数轴上表示各数如下： （2）由数轴可得： ； （3）将上列四个实数分别填入相应的横线上． 整数：，； 分数： ； 无理数：． 21．(1) (2) 【分析】（1）估算即可求解； （2）仿照例题，画出示意图，标明数据，即可求解． 【详解】（1）解：，而， ，即， ∴的整数部分是， 故答案为：． （2）∴设，其中，画出如图示意图， ∵图中，， ， 当较小时，省略，得，得到， ．    【点睛】本题考查了估算无理数，理解例题的方法求无理数的近似值是解题的关键． 22．(1)长方形信封的长为，宽为 (2)能将这张贺卡不折叠的放入此信封中，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的运算是解题的关键． （1）设长方形信封的长为，宽为，由长方形的面积可求出的值，从而求出长方形信封的长和宽； （2）先计算出正方形贺卡的边长，然后与长方形信封的宽进行比较，得出结论． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴长方形信封的长为：，宽为：； （2）能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．理由如下： ∵， ∴正方形贺卡的边长为． ∵， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠的放入此信封中． 23．(1)能．证明见解析 (2)F（n）的最大值为130 【分析】(1)理解定义，末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除是解题的关键，再利用参数思想和方程思想即可求证； (2)先确定m的取值范围，题干里要求把百位数字和十位数字对调，所以y的范围要分段去进行讨论．再结合方程求解得出n的值，再根据定义去求出F(n)的最大值． 【详解】（1）解：864192的末三位数为192，末三位以前的数为864， ∴192﹣864＝﹣672， ∵﹣672÷7＝﹣96， ∴864192能被7整除， 故答案为：能． 证明：设这个多位数的末三位数为a，末三位以前的数为b， 则这个多位数可表示为1000b+a， 根据题意得，a﹣b＝7n（n为整数）， ∴a＝7n+b， 则1000b+a＝1000b+7n+b＝1001b+7n， ∵(b，n都为整数) ∴1001b+7n可以被7整除， ∴1000b+a可以被7整除， ∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律． （2）解：∵m＝500+10y+52，1≤y≤9， ①当1≤y≤4时，m的百位数字为5，十位数字为（y+5），个位数字为2， ∴调换百位数字和十位数字后所得的新数为100（y+5）+52， 根据题意100（y+5）+52﹣10x﹣10﹣y可以被7整除， 整理得98y﹣7x+539+y﹣3x+3能被7整除， ∵98y﹣7x+539能被7整除， ∴只需y﹣3x+3能被7整除即可 解得或或或， ∵n＝10（x+1）+y， ∴n＝71或52或33或84， 根据题意71＝362﹣352，此时F（71）＝106， 52＝142﹣122，此时F（52）＝19， 33＝172﹣162＝72﹣42，|17﹣16|＜|7﹣4|，此时F（33）＝49， 84＝222﹣202＝102﹣42，|22﹣20|＜|10﹣6|，此时F（84）＝31， ∴当1≤y≤4时，F（n）最大为106． ②当5≤y≤9时，m的百位数字为6，十位数字为（y﹣5），个位数字为2， 调换百位数字和十位数字后所得的新数为100（y﹣5）+62， 根据题意100（y﹣5）+62﹣10x﹣10﹣y可以被7整除， 整理得98y﹣7x﹣448+y﹣3x可以被7整除， ∵98y﹣7x﹣448可以被7整除， ∴只需y﹣3x能被7整除即可， 解得或或或或， ∵n＝10（x+1）+y， ∴n＝55或36或87或68或39． 根据题意55＝282﹣272＝82﹣32，|28﹣27|＜|8﹣3|，此时F（55）＝82， 36＝102﹣82，此时F（36）＝13， 87＝442﹣432＝162﹣132，|44﹣43|＜|16﹣13|，此时F（87）＝130， 68＝182﹣162，此时F（68）＝25， 39＝202﹣192，F（39）＝58， ∴当5≤y≤9时，F（n）的最大值为130 综上，F（n）的最大值为130． 【点睛】此题主要考查了新定义，数的整除，实数的运算，列代数式及求值问题，解本题的关键在于将一个代数式进行分组再分别讨论能否被7整除，结合了方程思想，分类讨论思想，综合性较强． 24．(1)， (2)或或818或929 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，绝对值，理解题意是解题的关键． （1）根据“和十数”的定义可求出的“和十数”，根据，和 的定义可求出； （2）设“达标数”的个位和百位上的数字为，十位上的数字，根据求出，再分析讨论可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，的“和十数”为， 的“和十数”是， ∴，， ∴． （2）解：设“达标数”的个位和百位上的数字为，十位上的数字，则， ∴的“和十数”为， ∴，， ∴ ， ∵能被整除， ∴要使也能被整除，则要能被整除， ∵，且， ∴当时，则，才能被整除， ∴， 当时，则，才能被整除， ∴， ∴当时，则，才能被整除， ∴， 当时，则，才能被整除， ∴， 当时，取任一数字，都不能被整除， 当时，取任一数字，都不能被整除， 当时，取任一数字，都不能被整除， 当时，取任一数字，都不能被整除， 当时，取任一数字，都不能被整除， ∴能被整除，符合条件的“达标数”或或818或929． 学科网（北京）股份有限公司 $