专题05平行线的性质与判定期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题05平行线的性质与判定期中复习讲义 期中复习◆重点 1.牢记同一平面内两条直线的位置关系，掌握对顶角、邻补角的定义及性质，能熟练进行基础角度计算； 1. 掌握垂直的定义、垂线的基本性质，区分点到直线的距离与两点间距离，解决相关基础应用题； 2. 重点掌握平行线的判定方法与性质，能准确区分判定与性质，规范书写几何证明步骤； 3. 突破三线八角识别、拐点模型两大难点，能运用“过拐点作平行线”的方法解决压轴角度计算问题； 核心题型◆归纳 题型1平行线的性质应用 题型2根据平行线的性质探究角的关系 题型3根据平行线的性质求角的度数 题型4平行线的性质在生活中的应用 题型5根据平行线的性质与判定求角度 题型6根据平行线的判定与性质证明 题型7平行线的性质与拐角模型综合 题型8平行线性质与角平分线的应用 题型9平行线性质与折叠问题 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01平行线的核心概念 1.平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作 A∥B。 注意：必须满足 “同一平面内”，异面直线不相交也不平行。 2.三类关键角（三线八角） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角： 同位角：位置相同，在截线同侧、被截两直线同一方，形状像 “F” 内错角：在截线两侧、被截两直线之间，形状像 “Z” 同旁内角：在截线同侧、被截两直线之间，形状像 “U” 知识点02平行线的三大性质（重点） 1.两直线平行，同位角相等 ∵a∥b∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 2.两直线平行，内错角相等 几何语言：∵AB∥CD∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 3.两直线平行，同旁内角互补 几何语言：∵a∥b∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点03平行线的判定 VS 性质 类别 已知条件 核心结论 逻辑关系 用途 记忆口诀 平行线的判定 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 两直线平行 由角的关系推导线的关系 证明两条直线平行 由角定线 平行线的性质 两直线平行 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 由线的关系推导角的关系 求角度、证角相等/互补 由线定角 1.判定：同位角相等 ⇒ 两直线平行内错角相等 ⇒ 两直线平行同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 2.性质：两直线平行 ⇒ 同位角相等两直线平行 ⇒ 内错角相等两直线平行 ⇒ 同旁内角互补 知识点04平行性质与拐角模型综合 题型解析◆精准备考 题型1平行线的性质应用 1．如图，直线分别与直线、相交于点、，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点E在上，平分．若，则的大小为________度． 3．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 解：（                         ） （                        ） （            ） （                         ） （                         ） 题型2根据平行线的性质探究角的关系 1．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在平行线拐点问题中，点在直线左侧，作，的角平分线交于点，再作，的平分线交于点，若第次角平分线交于点，且，则______．（用含的代数式表示） 3．已知，直线分别交于点． (1)如图，已知． ①若，求； ②若，试说明平分； (2)如图，若的平分线与的平分线相交于点平分，平分，判断所在的直线有什么位置关系，并说明理由． 题型3根据平行线的性质求角的度数 1．如图，已知，，平分，则的度数为（       ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则______． 3．如图，直线平分，求的度数． 题型4平行线的性质在生活中的应用 1．某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 3．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    题型5根据平行线的性质与判定求角度 1．如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 2．图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，，，分别移动到，，．此时，平分，若，则___． 3．如图，若直线，求的度数． 题型6根据平行线的判定与性质证明 1．如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 2．小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有_____个人的说法是正确的． 3．如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 题型7平行线的性质与拐角模型综合 1．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 2．如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 3．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 题型8平行线性质与角平分线的应用 1．如图，，交于点，交于点，平分交于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边，碰到上的点B后便反弹而滚向桌边，碰到上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为 ． 3．如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），和分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)当时，求的度数； (2)点P在射线上运动，若． ①问与之间有何数量关系？请说明理由； ②当点P运动到使时，请直接写出与之间的数量关系． 题型9平行线性质与折叠问题 1．如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点C、D分别落在点、处，交于点G，，则________． 3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D′、C′的位置处，若∠1＝58°，则∠EFB的度数是______． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，；若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 6．小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为______． 7．如图，已知，，，则______． 8．小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 9．如图，点在CB的延长线上，，则的度数为__________． 10．如图，，，则的度数为_____________． 三、解答题 11．已知直线，和，分别交于点，，点在直线上，且不与点，重合，点，分别在直线，上．记，，． (1)当点在图1位置时，若，，求的度数； (2)当点在图2位置时，请写出 ，，之间的关系，并说明理由． 12．【学科融合】把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．如图，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点． (1)写出的两个同位角：________；（答案不唯一） (2)比较和的大小；（直接写结果） (3)若，，求的度数． 13．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 14．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题05平行线的性质与判定期中复习讲义 消期中复重点 1牢记同一平面内两条直线的位置关系，掌握对顶角、补角的定义及性质，能 熟练进行基础角度计算； 1.掌握垂直的定义、垂线的基本性质，区分点到直线的距离与两点间距离，解 决相关基础应用题； 2.重点掌握平行线的判定方法与性质，能准确区分判定与性质，规范书写几何 证明步骤； 3.突破三线八角识别、拐点模型两大难点，能运用“过拐点作平行线”的方法 解决压轴角度计算问题； 核心题型归纳 题型1平行线的性质应用 题型2根据平行线的性质探究角的关系 题型3根据平行线的性质求角的度数 题型4平行线的性质在生活中的应用 题型5根据平行线的性质与判定求角度 题型6根据平行线的判定与性质证明 题型7平行线的性质与拐角模型综合 题型8平行线性质与角平分线的应用 题型9平行线性质与折叠问题 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01平行线的核心概念 1.平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作AB。 试卷第1页，共3页 A B 注意：必须满足“同一平面内”，异面直线不相交也不平行。 2.三类关键角（三线八角） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角： 2 6 7 同位角：位置相同，在截线同侧、被截两直线同一方，形状像“下” 内错角：在截线两侧、被截两直线之间，形状像“Z 同傍内角：在截线同侧、被截两直线之间，形状像“U” 知识点02平行线的三大性质（重点） 1.两直线平行，同位角相等 几何语言：.alb.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 2两直线平行，内错角相等 试卷第1页，共3页 几何语言：.ABIICD∴.∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 3.两直线平行，同旁内角互补 几何语言：ab.∴.∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点03平行线的判定VS性质 类别 已知条件 核心结论 逻辑关系 用途 记忆口诀 平行线 同位角相等 两直线平行 由角的关 证明两条 由角定线 的判定 内错角相等、 系推导线 直线平行 同旁内角互补 的关系 平行线 两直线平行 同位角相等 由线的关 求角度、证 由线定角 的性质 内错角相等、 系推导角 角相等/互 同旁内角互补 的关系 补 1判定：同位角相等→两直线平行内错角相等→两直线平行同旁内角互补→ 两直线平行 试卷第1页，共3页 2.性质：两直线平行→同位角相等两直线平行→内错角相等两直线平行→同 旁内角互补 知识点04平行性质与拐角模型综合 模型一“猪蹄模型” 证明： 如图所示，过点0作0N/1a,则∠NON=∠ N .'a//b,ON/la ∴.0N/1b b ∴.∠N00∠3 若a/b.则∠2=∠1+∠3 .'∠2=∠M0N+∠N0q .∠2=∠1+∠3 模型二“铅笔模型” 证明： 如图所示，过点0作0N/1a,则∠0x+∠1=180 N .'a//,0/ia .0N/b b o ,.∠N0Q+∠3=1809 若a//b.,则∠1+∠2+∠3=360 .'∠2=∠0N+∠N0q .∠1+∠2+∠3=360 模型三“靴子模型” 正明： 如图所示，过点0作0N/1a,则 ∠3W0N+∠1=180° .'a//b.0N/1a .QN//b b .∠N00+∠3=180 若a/h,则∠1=∠2+∠3 ,∠NOC∠MON+∠2 ∴∠M0N+∠2+∠3=180° ∴.∠1=∠2+∠3 题型解浙◆精准备者 题型1平行线的性质应用 1.如图，直线GH分别与直线AB、CD相交于点F、E,AB‖CD,若 ∠AFH=135°，则∠CEG的大小为() B A D E G 试卷第1页，共3页 A.135° B.45° C.35 D.55° 【答案】B 【分析】根据两直线平行同位角相等，可求得∠CEF的度数，再由邻补角的定 义即可求得∠CEG的度数， 【详解】解：：AB‖CD,∠AFH=135°， .∠CEF=∠AFH=135°， ∴.∠CEG=180°-∠CEF=45°. 2.如图，AB∥CD,点E在CD上，BC平分∠ABE.若∠BED=7O°，则 ∠ABC的大小为 度 A B E 【答案】35 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出 ∠BED=∠1BE=70°，由角平分线定义得到∠ABC=2∠ABE即可求解， 【详解】解：AB∥CD,∠BED=70°， ∴.∠BED=∠ABE=70°， BC平分∠ABE, 2A8c=5486=3x70°=35°， 故答案为：35. 3.看图填空，并在括号内注明说理依据.如图， 试卷第1页，共3页 已知直线a∥b,∠1=54°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？ 解：∠1=54°( .∠2=∠1=54°( :a∥b( .∠4=∠1=54°( ∠3=180°-∠2=180°-54°=126°( 【答案】已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同 旁内角互补 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，结合证明过程写出依据即可， 【详解】解：∠1=54°（已知） ∴∠2=∠1=54°（对顶角相等） :a∥b(已知) ∴.∠4=∠1=54°（两直线平行，同位角相等） ∠3=180°-∠2=180°-54°=126°（两直线平行，同旁内角互补）. 故答案为：已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行， 同旁内角互补 题型2根据平行线的性质探究角的关系 1.将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置.下列结论：①∠1=∠2 ;②∠3=∠4；③∠2+∠3=90°；④∠4+∠5=180°.其中正确的个数是（) 试卷第1页，共3页 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可判断①②④，根据∠2+∠4+90°=180°，可得 ∠2+∠4=90°，据此可判断③. 【详解】解：·纸条的两边平行， ∴.∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180°，故①②④正确， .∠2+∠4+90°=180°， ∴.∠2+∠4=90°， ∴.∠2+∠3=90°，故③正确： 正确的有4个 2.如图，在平行线拐点问题中，点N在直线AC左侧，作∠BAM,∠DCM的 角平分线交于点M1,再作∠BAM1,∠DCM,的平分线交于点M2,若第n次角 平分线交于点Mn,且∠Mn=m°，则∠N=·(用含m的代数式表示) N, D 【答案】 360°-2"m° 【分析】根据角平分线的定义找出规律即可求解 【详解】解：设∠BAN=x°，LDCN=y°， 试卷第1页，共3页 则∠N+x°+y°=360°， .'∠BAM,∠DCM的角平分线交于点M1, ·.∠BAM,= ,∠DCM,=9 x 2 则∠M,=∠BAM,+∠DCM,=+° 21 ∠M,=∠BAM,+∠DCM,=x+9 22 ∠M,=∠BAM+∠DCM=°+y° 23 ∠M。=∠BAM.+∠DCM,=X+ -=m°， 2n 则x°+y°=2”m° .∠N=360°-(x°+y）=360°-2”m°」 3.已知AB∥CD,直线IG分别交AB、CD于点E,F. 图1 图2 (1)如图1，已知FH⊥FB. ①若∠B=20°，求∠DFH; ②若∠EFB=∠B,试说明FH平分∠GFD； (2)如图2，若LBEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P,EM平分LIEB, FN平分∠DFG,判断EM,FN所在的直线有什么位置关系，并说明理由. 试卷第1页，共3页 【答案】(1)①70°；②见解析 (2)EM,FN所在的直线互相垂直.理由见解析 【分析】(1)①根据垂直的定义和性质，以及平行线的性质，得到∠DFH的度 数 ②根据垂直的定义和性质，平行线的性质以及平角的定义和性质，利用等量代换 得证结论， (2)反向延长EM,FN交于点Q,根据角平分线的定义以及对顶角相等，得 到EQ平分∠AEF,FQ平分∠CFE,根据两直线平行同旁内角互补得证 ∠QEF+∠QFE=90°，继而得证结论. 【详解】(1)解：①FH⊥FB, ∴.∠BFH=90°， AB∥CD, .∠BFD=∠B=20°， ∴.∠DFH=∠BFH-∠BFD=90°-20°=70°； ②∠EFB=∠B,∠BFD=∠B, ∴.∠EFB=∠BFD, .∠BFH=90°， .∠DFH+∠BFD=90°， ∴.∠EFB+∠GFH=180°-∠BFH=90°， ∴.∠GFH=∠DFH, ∴.FH平分∠GFD; (2)解：EM,FN所在的直线互相垂直， 试卷第1页，共3页 理由：如图，反向延长EM,FN交于点Q, 图2 .EM平分∠IEB,FN平分∠DFG,∠IEB=∠AEF,∠DFG=∠CFE, ∴.EQ平分∠AEF,FQ平分∠CFE, 20EF-AEF 0FECE .AB∥CD, .∠AEF+∠CFE=180°， ∴.∠QEF+∠QFE=90°， .∠Q+∠QEF+∠QFE=180°， ∴.∠9=90°， .EM,FN所在的直线互相垂直， 题型3根据平行线的性质求角的度数 1.如图，已知AD∥BC,∠B=30°，DB平分∠ADE,则∠DEC的度数为 A A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出∠ADB的度数，再根据角平分线的定义求出 试卷第1页，共3页 ∠ADE的度数，最后利用平行线的性质求出∠DEC即可. 【详解】解：·AD‖BC, .∠ADB=∠B=30°. .DB平分∠ADE, ∠ADE=2∠ADB=60°. AD BC, ∴.∠DEC=∠ADE=60°. 2.如图，已知AB∥CD∥EF,∠B=60°，∠C=145°，则∠BEC=_° 【答案】 25 【详解】解：AB∥CD∥EF,∠B=60°，∠C=145°， .LBEF=LB=60°，∠CEF=180°-LC=35°， ∴.∠BEC=∠BEF-∠CEF=25°」 3.如图，直线AB∥CD,BC平分LABD,∠1=59°，求∠2的度数. B 【答案】62° 试卷第1页，共3页 【分析】根据平行线的性质得到LABC=∠1=59°，∠ABD+∠BDC=180°，根 据角平分线的定义得到∠ABD=2∠ABC=118°，再求出∠BDC的度数，根据 对顶角相等即可求得答案， 【详解】解：AB∥CD, .∠ABC=∠1=59°，∠ABD+∠BDC=180°， .BC平分∠ABD, .∠ABD=2∠ABC=118°， ∴.∠BDC=180°-∠ABD=62°， ∴.∠2=∠BDC=62°」 题型4平行线的性质在生活中的应用 1.某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去.若A表 示辽宁舰，B表示护卫舰，C表示驱逐舰，A在B的北偏东45°的方向上，B在 C的南偏西80°的方向上，若测得∠ACB=45°.则∠BAC的度数为（) 北 北 A.95° B.100° C.105° D.110° 【答案】B 【分析】本题考查方向角的知识，平行线的性质，根据方向角得到∠ABD=45° ,∠BCF=80°，再根据AE∥BD∥CF得到∠ABD=∠BAE=45°， ∠EAC=180°-∠ACF=55°，最后根据∠BAC=∠EAC+∠BAE计算即可， 【详解】解：如图，AE是南北方向，则AE∥BD∥CF, 试卷第1页，共3页 北 北 AD 1111 B 由题意可得∠ABD=45°，∠BCF=80°， .∠ACB=45°， ∴.∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+80°=125°， .AE∥BD, ∴.∠ABD=∠BAE=45°， AE∥CF, ∴.∠EAC=180°-∠ACF=180°-125°=55° ∴.∠BAC=∠EAC+∠BAE=45°+55°=100°， 故选：B 2.如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，∠1=86°，则∠2=一· 【答案】94°/94度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及补角 的定义，即可求解 【详解】解：如图， g 2 D .AB∥CD 试卷第1页，共3页 ∴.∠3=∠1， .∠2=180°-∠3=180°-86°=94° 故答案为：94°. 3.如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学 平面图形，已知AB∥MN∥PQ,若∠2=100°，∠DBE=130°，求∠1的度 数. H E C A B M D 图1 图2 【答案】∠1=50° 【分析】本题考查了平行线的性质，延长AB到点C,根据AB∥MN求出 ∠CBD=80°，得到∠CBE=50°，再根据AB∥PQ得到∠1=∠CBE=50°. 【详解】解：如图：延长AB到点C, P G H A B M F D AB∥MN, .∠2+∠CBD=180°， .∵∠2=100°， .∠CBD=180°-100°=80°， 试卷第1页，共3页 ∠DBE=130°， .∠CBE=130°-80°=50°， AB∥P9, ∴.∠1=∠CBE=50°. 题型5根据平行线的性质与判定求角度 1.如图，AB∥EF,∠C=90°，则a,B,Y的关系是（) ay B C E丁y 一F A.β+y-a=90° B.a+B+Y=180° C.B=a+y D.a+B-y=90° 【答案】D 【分析】过点C作MN∥AB,过点D作PQ//EF,得到ABIEF IIMN IPO, 根据平行线的性质，角的和，等量代换思想，求解即可， 【详解】解：过点C作MW∥AB,过点D作PQ∥EF, .AB∥EF, :AB‖EF IMN I PO, A M--- ◇------W P--- D.-Q E ∴.a=LBCN,∠DCN=∠CDP,∠PDE=Y, 'LBCD=∠BCN+∠DCN,LCDE=LCDP+LPDE=B, ..a+ZCDP=ZBCN Z DCN Z B CD 试卷第1页，共3页 .∠BCD=90°， ∴.a+LCDP=90°， ∴.a+∠CDP+∠PDE=Y+90° ∴.+B=Y+90°， ∴.0+阝-y=90°」 2.图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC, 使用打孔器时，AD,DE,DC分别移动到AD,D'E',D'C.此时 D'E'∥BC,DD平分∠ADC,若∠DD'E'=72,则∠DCB=_°. D B 图1 图2 【答案】36 【分析】根据平行线的性质得到AD∥D'E',进而得到∠ADD'=∠DD'E',再 利用角平分线的定义得到∠ADC=2∠ADD',最后利用平行线的性质进行计算 即可解答。 【详解】解：：D'E'‖BC、AD∥BC, :AD D'E', .∠ADD'=∠DD'E'=72°， :DD'平分∠ADC, .∠ADC=2∠ADD'=2×72°=144°， AD‖BC, .∠DCB=180°-∠ADC=180°-144°=36°. 试卷第1页，共3页 3.如图，若直线l∥12，∠α=∠B,∠1=40°，求∠2的度数， 【答案】140° 【分析】由平行线的判定与性质求解即可. 【详解】解：：∥2， ∠ABD=∠1=40°， La=2B. .AB∥CD(内错角相等，两直线平行)， ∴.∠ABD+∠2=180° .∠2=180°-∠ABD=180°-∠1=140°. 题型6根据平行线的判定与性质证明 1.如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠D+∠BCD=180°； ④AD I BE且∠B=∠D.其中，能得到ABIDC的条件为() D 1 3 C E A.①② B.②③ C.②④ D.②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可· 试卷第1页，共3页 【详解】解：①由∠I=∠2可得AD‖BE,无法得到AB‖DC,故①不满足 题意， ②由∠3=∠4可得AB‖DC,故②满足题意， ③由∠D+∠BCD=180°可得AD‖BE,无法得到ABIDC,故③不满足题 意， ④由AD‖BE可得∠D+∠BCD=180°，结合∠B=∠D可得 ∠B+∠BCD=180°，从而可得AB‖DC,故④满足题意， 能得到AB‖DC的条件为②④， 故选：C 2.小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题.如图，已知EF⊥AB, CD⊥AB,G是边AC上一点（不与点A,C重合）. 小方说：“如果还知道LCDG=∠BFE,那么能得到∠AGD=∠ACB.” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB,可得到 ∠CDG=∠BFE." 小明说：“∠AGD一定大于∠ACB." 小杰说："如果连接GF,那么GF一定平行于AB." 他们4个人中，有个人的说法是正确的。 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解 试卷第1页，共3页 题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可， 【详解】解：小方：EF⊥AB,CD⊥AB, ..EF CD, .∠BFE=∠BCD, .∠CDG=∠BFE, ∴.∠CDG=∠BCD, .DG∥BC, ∴.∠AGD=∠ACB；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：，EF⊥AB,CD⊥AB, .EF‖CD, ·.∠BFE=∠BCD, .∠AGD=∠ACB, .DG∥BC, ·.∠CDG=∠BCD, ·.∠CDG=∠BFE；故小辉的说法正确； 小杰：连接GF,如图所示： B 由已知条件并不能得出关于FG∥AB的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个： 故答案为2. 试卷第1页，共3页 3.如图，在ABC中，点D,E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边 上，DH∥AC,且∠1+∠2=180°. E D H (1)求证：EF‖DC: (2)若CD平分∠ACB,∠BHD=64°，求∠2的度数. 【答案】(1)证明见解析 (2)148° 【分析】(1)根据平行线的性质得∠1=∠ACD,结合已知可得 ∠ACD+∠2=180°，即可根据平行线的判定证明结论； (2)根据平行线的性质得∠ACB=64°，结合角平分线的定义，得到 ∠ACD=32°，再结合（1)中的结果，即可求得答案。 【详解】(1)证明：DH∥AC, .∠1=∠ACD, .∠1+∠2=180°， .∠ACD+∠2=180°， .EF∥DC; (2)解：DH∥AC, .∠ACB=∠BHD=64°， :CD平分∠ACB, .∠ACD=。∠ACB=32°， 试卷第1页，共3页 由(1)知∠ACD+∠2=180°， .∠2=180°-∠ACD=148°. 题型7平行线的性质与拐角模型综合 1.如图，若AB∥CD,则角O,B,Y的关系为（) y B a D A.+B+Y=360 B.-B+y=180° C.+B+y=180 D.a+B-y=180° 【答案】D 【分析】首先过点E作EF∥AB,由平行线的传递性可得EF‖CD,根据两直 线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，阝，Y的 关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题 的关键. 【详解】解：过点E作EF∥AB, A B a B AB‖CD,EF∥AB, D .EF‖CD, :ZDEF =Y, AB‖CD, 试卷第1页，共3页 ∴.a+∠AEF=180°， :∠AEF+∠DEF=B, .a+B-∠DEF=180° .a+B-y=180°. 故选：D 2.如图，如果AB∥CD∥EF,那么X、y、z之间的数量关系是 A G B x C 万 【答案】x+z=y 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平 行，同旁内角互补 依据平行线的性质得出x+z+∠CEF=180°，y+LCEF=180°，进而得到 ∠CEF=180°-(x+z),∠CEF=180°-y,据此可得x+2=y. 【详解】解：AB∥CD∥EF, ∴x+z+∠CEF=180°，y+∠CEF=180°， .∠CEF=180°-(x+z),∠CEF=180°-y, .x+2=y. 故答案为：x+z=y, 3.经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路. 试卷第1页，共3页 图1 图2 图3 (1)如图1，AB∥CD,∠ABD与∠CDB的平分线相交于点P,则∠P (2)如图2，AB∥CD,∠F-∠E=6°，∠ABE与∠CDF的平分线相交于点P, 求∠P的度数； (3)如图3，AB∥CD,∠E=,LF=B,∠G=Y,∠ABE与∠CDG的平 分线相交于点P,求∠P的度数.（用，B,Y的代数式表示） 【答案】(1)90° (2)87° (3)(a+y-B) 【分析】(I)如图，过P点作直线EF∥AB,则可得EFCD,根据平行线的 性质和角平分线的定义可得∠BPD=∠BPF+∠DPF=∠ABP+∠CDP=90° (2)如图，过E点作直线EG∥AB,过F点作直线HF∥AB,则可得 AB EG HF CD.根据平行线的性质可得∠I=∠ABE,∠2=∠3， ∠4+∠CDP-180.根据角平分线的定义可得∠1=∠8-∠1BE-)4, ∠5=∠6=∠CDF.由∠DFE-∠FEB=6°可得∠4-∠1=6°，结合(1) 中的结论可得∠P=∠5+∠7，进而可得=90°-（∠4-∠1）∠P=∠6+∠8 =87° 试卷第1页，共3页 (3)如图，过F点作直线HF∥AB,则可得AB∥HF∥CD.由(1)得 ∠BEF=∠ABE+∠I,∠DGF=∠CDG+∠2，进而可得 ∠ABE+∠CDG=a+y-B.由角平分线的定义可得∠3=∠ABE, 4nG,由()得P=∠3+4-a+y-1. 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识.熟练掌握平行线的判定与性 质，明确角度之间的数量关系是解题的关键. 【详解】(1)解：如图，过P点作直线EF∥AB, AB∥CD, ..EFCD ∴.∠BPF=∠ABP,∠DPF=∠CDP, AB∥CD, .∠ABD+∠CDB=180°， :BP、DP分别平分∠ABD和∠CDB, :.∠ABP=∠ABD,∠CDP=∠CDB, ∴.∠ABP+∠CDP=90°， ∴.∠BPD=∠BPF+∠DPF=90°. C E---- (2)解：如图，过E点作直线EG∥AB,过F点作直线HF∥AB. AB∥CD, 试卷第1页，共3页 ..AB EG HF CD, ∴∠I=∠ABE,∠2=∠3，∠4+∠CDF=180°， .BP、DP分别平分∠ABE和∠CDF, :.∠7=∠8=∠4BE=∠A,∠5=∠6=∠CDF, .∠DFE-∠FEB=6°， 即（∠3+∠4）-（∠1+∠2）=6°， .∠4-∠1=6°， 由(1)知∠P=∠5+∠7， .∠P=∠6+∠8， =80-24+4 0-14-4 =90°-3° =87°. C 2 ---G B (3)解：如图，过F点作直线HF∥AB. AB∥CD, ∴.AB∥HF∥CD, 试卷第1页，共3页 由(1)得∠BEF=∠ABE+∠I,∠DGF=∠CDG+∠2， ∴.∠BEF+∠DGF=∠ABE+∠1+∠CDG+∠2， :∠BEF=a,∠DGF=Y,∠GFE=∠I+∠2=B, ∴.a+y=∠ABE+∠CDG+B, .∠ABE+∠CDG=a+Y-B, :BP、DP分别平分∠ABE和∠CDG, :.3=∠ABE,∠4=∠CDG, 2 由(1)得∠P=∠3+∠4 -∠ABE+;∠CDG 2 2 -)∠ABE+∠cDGl -(a+r-B). 40 题型8平行线性质与角平分线的应用 1.如图，AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F,EG平分∠BEF交 CD于点G.若∠1=40°，则∠2的度数是() A B 试卷第1页，共3页 A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质求出∠BEF=140°，及∠2=∠BEG,再根据角平 分线的定义得出∠BEG=70°，则此题可解 【详解】解：AB‖CD, .∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG, ∴.∠BEF=180°-40°=140°. EG平分LBEF, ∠BEG=∠BEF=70°， 2 .∠2=70°. 2.一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ,碰到PQ上 的点B后便反弹而滚向桌边RS,碰到RS上的点C便反弹而滚入点Q,一共反 弹两次.已知AB,BC,CQ都是直线，PQ∥RS,且∠ABC的平分线BN垂直 于PQ,LBCQ的平分线CM垂直于RS,若LCQR=33°，则∠ABP的度数 为 B O4 R 【答案】57°/57度 【分析】根据角平分线的定义可得∠BCM=∠QCM,∠ABN=∠CBN,根据 试卷第1页，共3页 平行线的性质可得∠BCM=∠ABN=33°，最后由垂直的概念可得答案。 【详解】解：：BN⊥PQ,CM⊥RS, .BN∥CM, :BN平分∠ABC,CM平分LBCQ, :.∠BCM=∠QCM,∠ABN=∠CBN, 由题意可知：BN∥CM∥QR, :∠CQR=33°， ∴.∠BCM=∠QCM=∠COR=33° .∠ABN=∠CBN=∠BCM=33°， :BN⊥PQ, .∠ABP=90°-∠ABN=57°. 3.如图，已知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点（与 点A不重合)，BC和BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C, D. N M D (1)当∠A=60°时，求∠CBD的度数； (2)点P在射线AM上运动，若∠A=a· ①问∠CBD与α之间有何数量关系？请说明理由； ②当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，请直接写出∠ABC与O之间的数量关 系 【答案】(1)60° 试卷第1页，共3页 (2)①∠CBD= 80°-a 2 理由见解析；②∠ABC=45°-1。 【分析】(1)由平行线的性质及角平分线的定义可得结论； (2)①证明方法同（1)问；②由平行线的性质可得∠ACB=∠CBN,结合条 件∠ACB=∠CBN,可得∠ABC=∠DBN,再由角平分线的定义、平行线的 性质等可求得答案， 【详解】(1)解：：AM∥BN, .∠A+∠ABN=180°， 又：∠A=60°， .∠ABN=180°-∠A=120°. :BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, :∠CBP=∠ABP,∠DBP=∠PBN, ∴.∠CBD=∠CBP+∠DBP =∠ABP+∠PBN 2 2 1 =-∠ABN =60°； (2)解：①∠CBD= 180°-0 理由如下： 2 :BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, ∠CBP=∠ABP,∠DBP= ∠PBN, ∴.∠CBD=∠CBP+∠DBP 试卷第1页，共3页 =∠ABP+∠PBN 1 2 2 2∠ABN, :AM∥BN, .∠A+∠ABN=180°， .∠ABN=180°-∠A, ∠CBD= 180°-∠A180°- 2 2 ②：AM∥BN, .∠ACB=∠CBN, 当∠ACB=∠ABD时，有∠CBN=∠ABD, .∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN, ∴.∠ABC=∠DBN, :BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, :∠ABC=∠ABN, :AM∥BN, .∠A+∠ABN=180°， 即∠ABN=180°-∠A=180°-， E∠ABC=180°-a]=45°- 【点睛】本题核心是平行线同旁内角互补与角平分线的综合应用，关键是通过平 行线性质转化角度，再结合角平分线进行等量代换，推导出角度间的数量关系， 题型9平行线性质与折叠问题 试卷第1页，共3页 1.如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC,AB∥CD把纸片沿EF折叠后， 点C、D分别落在C'、D'的位置.若∠EFB=65°，则∠AED'等于() A.70° B.65° C.50° D.25° 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，由折叠可知， ∠DEF=∠D'EF,由题可知，AD‖BC,可知∠DEF=∠EFB=65°，由 平角为180°，可知∠AED的度数，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决此题 的关键 【详解】解：由折叠可知，∠DEF=∠D'EF, :AD‖BC, .∠DEF=∠EFB=65°， .∠AED'=180°-∠DEF-∠D'EF=50°， 故选：C 2.如图所示，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C、D分别落在点 C、D'处，C'E交AF于点G,∠CEF=70°，则∠GFD'= D 【答案】40° 试卷第1页，共3页 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得∠AFE，∠DFE 的度数，再由折叠的性质可得∠D'FE的度数，再由∠GFD'=∠D'FE-∠AFE可 得答案。 【详解】解：AD∥BC, ∴.∠AFE=∠CEF=70°（两直线平行，内错角相等）， ∠DFE=180°-∠CEF=180°-70°=110° 由折叠的性质可得∠D'FE=∠DFE=110°， .∠GFD'=∠D'FE-∠AFE=110°-70°=40°， 故答案为：40° 3.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D'、C的 位置处，若∠1=58°，则∠EFB的度数是 B D 【答案】61 【分析】根据折叠性质得出∠DED'=2上DEF,根据∠1的度数求出∠DED,即可 求出∠DEF的度数，进而得到答案 【详解】解：由折的性质得：∠DED'=2∠DEF, .∠1=58°， ∴.∠DED=180°-∠1=122°， .∠DEF=61°， 又ADII BC, 试卷第1页，共3页 .∴∠EFB=∠DEF=61°. 故答案为：61° D 【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记 折叠的性质是解题的关键 消过送检测提丑 一、单选题 1.如图，若AB∥CD,则下列结论正确的是（)》 D 4 B 2K5 一E A.∠1=∠2 B.∠B=∠4 C.∠3+∠D=180°D.∠B=∠5 【答案】D 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相 等；两直线平行，同旁内角互补，结合图形对各选项进行判断即可. 【详解】解：∠1和∠2是直线AD和BC被直线AC所截形成的内错角，只有 试卷第1页，共3页 当AD∥BC时，∠I=∠2，题目未给出AD∥BC,故A选项错误； ∠B和∠4无直接相等关系，故B选项错误； ∠3和☑D不是同旁内角，无法得出☑3+∠D=180°，故C选项错误； AB∥CD,.∠B=∠5（两直线平行，同位角相等），故D选项正确 2.如图，AB∥DF,BC∥DE;若∠1+∠2+∠3=231°，则∠2的度数为() E A.51° B.77 C.129° D.149° 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角. 由AB∥DF,可得∠I+∠2，结合已知可得∠3，由BC∥DE,可得∠BCD, 从而可得∠2的度数 【详解】解：AB∥DF, .∠1+∠2=180°， ∠1+∠2+∠3=231°， .∠3=231°-180°=51°， BC∥DE, .∠BCD=∠3=51°， ∴.∠2=180°-51°=129°. 故选：C. 3.现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1=122°，则 试卷第1页，共3页 ∠2的度数为（) A.56° B.58 C.64° D.660 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质 根据平行线的性质得到∠BCD=180°-∠1=58°，根据折叠的性质得到 ∠2=∠BCD=58°即可. 【详解】解：如图， B 长方形彩带， .AB∥CD, .∠BCD=180°-∠1=58°， 折叠， .∠2=∠BCD=58°. 故选：B 4.如图，体育场C既在教学楼A的南偏东30°方向上，又在礼堂B的南偏西 50°方向上，则∠ACB的度数是() 试卷第1页，共3页 北 北 A.60° B.80° C.90° D.100° 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作 出辅助线、构造平行线成为解题的关键 如图：由题意可得：∠CAE=30°，∠CBF=50°，AE∥BF,过C作 CD∥AE,则BF∥CD∥AE,由平行线的性质可得∠ACD=∠CAE=30°， ∠DCB=∠CBF=50°；再根据角的和差即可解答！ 【详解】解：如图：由题意可得：∠CAE=30°，∠CBF=50°，AE∥BF, 如图，过C作CD∥AE,则BF∥CD∥AE, ∴.∠ACD=∠CAE=30°，∠DCB=∠CBF=50°， .∠ACB=∠ACD+∠BCD=30°+50°=80°. 北 D 故选：B 5.已知M,N分别是长方形纸条ABCD边AB,CD上两点（AM>DW),如 图1所示，沿M,N所在直线进行第一次折叠，点A,D的对应点分别为点E, F,EM交CD于点P,如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B,C的 试卷第1页，共3页 对应点分别为点G,H,若∠1=∠2，则∠CPM的度数为（) D D D M 图1 图2 A.75° B.72° C.70° D.60° 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：∠AMW=∠NMP=∠I=∠2， ∠CPM=∠HPM,据此可得∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，再根据HP∥GM得 ∠HPM+∠GMP=180°，根据CP∥BM得∠CPM=∠AMP=2∠1，据此可求出 ∠1=36°，进而可求出∠CPM的度数 【详解】解：由翻折的性质得：∠AMN=∠NMP,∠CPM=∠HPM, 四边形ABCD为长方形， ∴.AB∥CD, ∠AMN=∠1， ∴.∠NMP=∠1， 又：∠1=∠2， ∴.∠AMN=∠NMP=∠1=∠2， ∴.∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1， :HP‖GM, .∠HPM+∠GMP=180°， 即：∠HPM+3∠1=180°， 试卷第1页，共3页 :CP BM .∠CPM=∠AMP=2∠1， ∴.∠HPM=∠CPM=2∠1， .2∠1+3∠1=180°， .∠1=36°， ∴.∠CPM=2∠1=72°. 二、填空题 6.小华将一副三角板（∠A=∠D=90°，∠C=30°，∠E=45)按如图所示 的方式摆放，其中AC∥EF,则∠a的度数为 B 【答案】75° 【详解】解：过点G作直线！∥AC, .∠2=∠C=30°， AC∥EF, 直线l∥EF, .∠3=∠F=45°， 试卷第1页，共3页 ∴.∠a=∠CGF=∠2+∠3=75°. 7.如图，已知AB∥CD,∠C=70°，∠DBC=65°，则∠ABD=一· D B E 【答案】 450 【分析】根据平行线的性质即可求解. 【详解】解：AB∥CD,∠C=70°， .∠ABC=180°-∠C=110°， .∠DBC=65°， .∠ABD=∠ABC-∠DBC=110°-65°=45° 8.小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东65°方向的大唐芙蓉园游玩.到大唐芙 蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的 方向 北 酒店 65° ● 大唐芙蓉园 【答案】 北偏西65 【详解】解：如图，酒店位于大唐芙蓉园的北偏西65°. 试卷第1页，共3页 北 酒店 65° 大唐芙蓉园 9.如图，点E在CB的延长线上，AB|CD,∠ABE=50°，∠D=∠C,则 ∠A的度数为 D E 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键 根据平行线的性质求出∠C=∠ABE=50°，根据∠D=∠C,得出∠D=50°， 最后根据平行线的性质，求出结果即可」 【详解】解：AB∥CD,∠ABE=50°， .∠C=∠ABE=50°， LD=∠C, .∠D=50°， AB∥CD, ∴.∠A=180°-∠D=180°-50°=130°. 故答案为：130°. 10.如图，AB∥ED,∠ECF=70°，则∠BAF的度数为 试卷第1页，共3页 E 【答案】 110° 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、 邻补角之和为180°是解题的关键 由AB‖CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠CAB的度数，再根据补角 的定义计算∠BAF的度数， 【详解】解：：AB‖ED .∠CAB=∠ECF=70° ,∠BAF与∠CAB是补角 .∠BAF=180°-∠CAB=180°-70°=110 故答案为：110°. 三、解答题 11.已知直线l∥1，，1和，2分别交于点A,B,点P在直线l上，且不与 点A,B重合，点E,F分别在直线(，I2上.记∠AEP=∠I,∠PFB=∠2， ∠EPF=∠3. D B B 图1 图2 试卷第1页，共3页 (1)当点P在图1位置时，若∠1=32°，∠3=72°，求∠2的度数； (2)当点P在图2位置时，请写出∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由 【答案】(1)∠2=40° (2)∠1+∠3=∠2，理由见解析 【分析】(1)过点P作PH∥1，得到∠I=∠EPH,结合题意可得PH∥2， 推出∠2=∠HPF,即可求解； (2)过点P作PGIl,得到∠1=∠GPE,结合题意可得PG∥1，，推出 ∠2=∠GPF=∠GPE+∠3，即可求解 【详解】(1)解：如图，过点P作PH∥(， E H------ ∴.∠1=∠EPH, (2 -1 B 图1 1∥12， .PH∥l2, .∠2=∠HPF, ∴.∠1+∠2=∠EPH+∠PHF=∠3， .∠1=32°，∠3=72°， ∴.∠2=∠3-∠1=72°-32°=40°： (2)解：∠1+∠3=∠2，理由如下： 如图，过点P作PGI4, 试卷第1页，共3页 G .∠1=∠GPE, 人2 B 图2 1∥12， .PG∥l2, ∴.∠2=∠GPF=∠GPE+∠3， .∠1+∠3=∠2」 12.【学科融合】把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它 真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方 向发生了改变.如图，AB∥CD,光线FO从空气射向水中发生折射，路径为 OM.延长FO与CD交于点E. (1)写出∠OEC的两个同位角： (答案不唯一) (2)比较∠FOB和∠AOM的大小；（直接写结果） (3)若∠0ED=115°，∠B0M=105°，求∠MOE的度数. 【答案】(1)∠FQH,∠FOB. (2)∠AOM>∠FOB (3)∠MOE=10° 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行 试卷第1页，共3页 解答，即可. (1)根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可； (2)根据对顶角相等，则∠AOE=∠FOB,根据∠AOM=∠AOE+∠EOM, 可得到∠AOM,∠FOB的大小关系； (3)根据平行线的性质，可得∠AOE+∠OED=180°，求出∠AOE=65°； 再根据∠AOE+∠EOM+∠BOM=180°，即可求出∠EOM. 【详解】(1)解：由题意可得，QH‖CD, .∠OEC=∠FQH, AB∥CD, ∴.∠OEC=∠FOB, 故答案为：∠FQH,∠FOB. (2)解：∠AOM>∠FOB. .∠AOE和∠FOB是对顶角， .∠AOE=∠FOB, .:∠AOM=∠AOE+∠EOM, ∴.∠AOM=∠FOB+∠EOM, ∴.∠AOM>∠FOB. (3)解：AB‖CD, .∠AOE+∠OED=180°， 试卷第1页，共3页 ∠0ED=115°， .∠A0E=65°， ∠AOE+∠EOM+∠BOM=180°，∠BOM=105°， .65°+∠E0M+105°=180°， ∴.∠EOM=10°. 13.【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形， 很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的 数量关系 A E B E B F D D F 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，AB∥CD,P是AB、CD之间的一点，连接BP、DP,试说 明：∠B+∠D=∠BPD;请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作PM∥AB. B D .PM∥AB.(辅助线的作法) .∠B=∠BPM.() .AB∥CD.(已知) ∴.PM∥CD.() ∴.∠D=∠DPM.() ,'∠BPM+∠DPM=∠BPD.(角的和差定义) 试卷第1页，共3页 ∴.∠B+_=∠BPD.(等量代换) 【方法应用】 (2)如图2，若AB∥CD,∠BEP=150°，∠PFD=128°，则∠EPF=_°； 【变式探究】 (3)如图3，AB∥CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之 间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图4，若∠EPF=98°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q, 则∠Q=_°. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行； 两直线平行，内错角相等；∠D；(2)82;(3)∠PFC-∠PEA=∠EPF,见 解析；（4)131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟 练掌握平行线的性质是解决问题的关键 (1)过P作PM∥AB,根据“两直线平行，内错角相等”得∠B=∠BPM, 再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得PM∥CD,进而根据“两 直线平行，内错角相等”得∠D=∠DPM,由此可得∠B+∠D=∠BPD; (2)过点P作PN∥AB(点N在点P的右侧)，则∠EPN+∠BEP=180°， 由此得∠EPN=30°，证明PN∥CD得∠FPN+∠PFD=180°，由此得 ∠FPN=52°，然后根据∠EPF=∠BEP+∠PFD即可得出答案； (3)过点P作PH∥AB(点H在点P的右侧)，则∠HPE=∠PEA,证明 PH∥CD得∠HPF=∠PFC,然后根据LEPF=LHPF-LHPE即可得出 试卷第1页，共3页 ∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系： (4)由角平分线定义设LAEQ=∠PEQ=a,LCFQ=LPFQ=B,则 ∠AEP=2a,∠CFP=2B,进而得∠BEP=180°-2C,LDFP=180°-2B, 由(1)的结论得L0=LAEQ+LCFQ=+B, ∠EPF=∠BEP+∠DFP=360°-2(a+B),再根据∠EPF=98°得 98°=360°-2(a+B),进而得a+阝=131°，据此即可得出∠Q的度数. 【详解】解：(1)如图，过P作PM∥AB, B M D .∵PM∥AB，(辅助线的作法) ∴.∠B=∠BPM，(两直线平行，内错角相等) AB∥CD,(已知) ∴.PM∥CD,(平行于同一条直线的两条直线互相平行) ∴.∠D=∠DPM,(两直线平行，内错角相等) .∠BPM+∠DPM=∠BPD,(角的和差定义) ∴.∠B+∠D=∠BPD.(等量代换) 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行； 两直线平行，内错角相等；∠D; (2)过点P作PN∥AB(点N在点P的右侧)，如图2所示： EB P F D 图2 试卷第1页，共3页 .∠EPN+∠BEP=180°， .∠BEP=150°， ∴.∠EPN=180°-∠BEP=30°， .AB∥CD, .PN∥CD, ∴.∠FPN+∠PFD=180°， .∠PFD=128°， .∠FPN=180°-∠PFD=52°， ∴.∠EPF=∠EPN+∠FPN=30°+52°=82°， 故答案为：82； (3)∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF ;理由如下： 过点P作PH∥AB(点H在点P的右侧)，如图3所示： H A B C D 图3 ∴.∠HPE=∠PEA, AB∥CD, .PH∥CD, .∠HPF=∠PFC, ·.∠EPF=∠HPF-∠HPE=∠PFC-∠PEA, 即∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF; 试卷第1页，共3页 (4):∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q, 设∠AEQ=LPEQ=a,LCFQ=LPFQ=B, ·.∠AEP=2,∠CFP=2B, .∠BEP=180°-∠AEP=180°-2a,LDFP=180°-∠CFP=180°-2B, 由(1)的结论得：∠Q=LAEQ+∠CFQ=a+B, ∠EPF=∠BEP+∠DFP=360°-2(a+B), .∠EPF=98°， .98°=360°-2(a+B), 解得：a+B=131°， .∠9=a+B=131°， 故答案为：131. 14.综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学 活动、 B 图① 图② 图③ 图④ (1)观察发现 如图①，AB∥CD,点E在直线AB、CD之间，连接EB、ED.若 ∠B=28°，∠D=50°，则∠BED的大小为 度 (2)探究迁移 (I)如图②，AB∥CD,BE,CE交于点E,探究∠BEC,∠B,∠C之 间的数量关系，并说明理由 试卷第1页，共3页 (Ⅱ)如图③，AB∥CD,若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE, QF平分LCQE,当∠PEQ=98°时，直接写出LPFQ的度数是 (3)拓展应用 如图④，AB∥CD,若E在直线AB的上方，QF平分LCQE,PH平分 ∠APE,PH的反向延长线交QF于点F,当∠PEQ=a时，直接写出∠PFQ 的度数= (用含的式子表示) 【答案】(1)78 (2)(I)∠B+∠BEC-∠C=180°，理由见解析，（Ⅱ）131° (3)180°- 【分析】(1)过E点作直线FG∥AB,由平行线的性质容易得到 LBED=LB+∠D; (2)（I)过E点作直线FG∥AB,利用平行线的性质可得 ∠1=180°-∠B,∠2=∠C,由∠BED=∠1+∠2可得 ∠B+∠BEC-∠C=180°； (Ⅱ)由(1)可得∠PE0=∠3+∠4=98°，则 ∠APE+∠CQE=360°-（∠3+∠4）=262°，结合角平分线的性质可得 ∠1+∠2=131°，由(1)可得∠PFQ=∠1+∠2=131°； (3)过E点作直线MN∥AB,由平行线的性质可得∠MEP=∠EPB, LMEQ=∠EQD.设LMEP=B,则LEPB=B,∠MEQ=LEQD=B+a 由角平分的性质可得∠C0r=90:-B-0,∠BPF=90-B,结台 (2)的模型可知∠BPF+∠PFQ-∠CQF=180°，将条件代入并化简即可得到 试卷第1页，共3页 结果。 【详解】(I)解：如图，过E点作直线FG∥AB, --G D .FG∥AB, ∴.∠1=∠B=28°， .AB∥CD, :.FG∥CD, ∴.∠2=∠D=50°， ∴.∠BED=∠1+∠2=78°； (2)解：(I)∠B+∠BEC-∠C=180°，理由如下： 如图，过E点作直线FG∥AB, B F--- ----G E C FG∥AB, ∴∠1=180°-∠B, AB∥CD, .FG∥CD, .∠2=∠C, .∠BEC=∠1+∠2=180°-∠B+∠C, ∴.∠B+∠BEC-∠C=180°； (Ⅱ)如图， 试卷第1页，共3页 D 3 B E C 2人4 O D 由(1)可得，∠PFQ=∠1+∠2，LPEQ=∠3+∠4， .∠PEQ=98° .∠3+∠4=98°， 又∠APE+∠3=180°，LCQE+∠4=180°， ·.∠APE+∠CQE=360°-（∠3+∠4=262°， PF平分∠APE,QF平分LCQE, :.1=∠APE,∠2=)∠CQE 2 1+2-<APE+<c0E=4PE+∠c0E-x262=131r, .∠PFQ=131°； (3)解：如图④，过E点作直线MN∥AB, M-- ----W A P B D 图④ AB∥CD, ∴.MN∥AB∥CD, ∴.∠MEP=∠EPB,LMEQ=LEQD, 设LMEP=B,则LEPB=B, 又LPEQ=a, .∠MEQ=∠EQD=B+a, 试卷第1页，共3页 QF平分LCQE, ∠C0F-∠F0E=l80-∠0Dj-580-(B+a]=90-B-a， PH平分∠APE, ∠aPH=∠EPH=180e-∠EPB)=180-Bj=90-8, Z8rF=∠4I=90A, 由(2)可得，∠BPF+∠PFQ-∠CQF=180°， 0-+2Pr0-(0--0-10, 化简，得∠PPQ=180°- 2. 试卷第1页，共3页